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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 6.2 等差数列及其前n项和


数学 A(文)

第六章

数 列

§6.2 等差数列及其前n项和

? 基础知识 ? 题型分类 ? 思想方法 ? 练出高分

自主学习 深度剖析 感悟提高

基础知识·自主学习
1.等差数列的定义

知识梳理

如果一个数列 从第2项起,每一项减去它的前一项所得的差 都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常 数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示.

基础知识·自主学习
2.等差数列的通项公式

知识梳理

如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公
式是 an=a1+(n-1)d .

3.等差中项 a+b 如果 A= ,那么A叫做a与b的等差中项. 2

基础知识·自主学习
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d (n,m∈N*).

知识梳理

(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则 ak+al=am+an .

(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,
公差为 2d .

基础知识·自主学习

知识梳理

(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.

(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,?(k,
m∈N*) 是公差为 md 的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式
n?a1+an? 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn= 或 2 n?n-1? Sn=na1+ d . 2

基础知识·自主学习
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
d? d 2 ? ? Sn= n +?a1-2? ?n. 2 ? ?

知识梳理

数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最 大 值;
若a1<0,d>0,则Sn存在最 小 值.

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常
数,则这个数列是等差数列.( × )

(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有
2an+1=an+an+2.( √ ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )

基础知识·自主学习

知识梳理

(4) 数列 {an} 为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次 函数.( × ) (5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列. ( × ) (6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数), 则数列{an}一定是等差数列.( √ )

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
C B

解析

2
3

B
-49

4

10 由题意知 a1+a10=0,a1+a15= 3 . 10 两式相减得 a15-a10= =5d, 3 2 ∴d=3,a1=-3. ? ? n3-10n2 n ? n - 1 ? ? ? ∴nSn=n· =f(n), d ?na1+ ?= 3 2 ? ?
x3-10x2 令 f(x)= ,x>0, 3

1 f′(x)=3x(3x-20).

20 令 f′(x)=0 得 x=0(舍)或 x= 3 . 20 当 x> 3 时,f(x)是单调递增的; 20 当 0<x< 3 时,f(x)是单调递减的.

故当n=7时,f(n)取最小值,f(n)min=-49. ∴nSn的最小值为-49.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2,

且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an, 则数列{an}前10项的和为(
A.2 B.10 5 C. 2

)
5 D. 4

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 等差数列基本量的运算

由 2an+1=1+2an 例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2, 得 an+1-an=1, 2 且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,所以数列{an}是首项为-2, 1 公差为 的等差数列, 2 则数列{an}前10项的和为( )
A.2 B.10 5 C. 2 5 D. 4
所以 S10=10×(-2)+ 10×?10-1? 1 5 × = . 2 2 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 等差数列基本量的运算

由 2an+1=1+2an 例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2, 得 an+1-an=1, 2 且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,所以数列{an}是首项为-2, 1 公差为 的等差数列, 2 则数列{an}前10项的和为( C )
A.2 B.10 5 C. 2 5 D. 4
所以 S10=10×(-2)+ 10×?10-1? 1 5 × = . 2 2 2

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2,
等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 三个就能求另外两个,体 现了用方程的思想来解决 问题.

且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an, a1 , an , d, n , Sn ,知其中 则数列{an}前10项的和为( C )
A.2 B.10 5 C. 2 5 D. 4

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)(2013· 课标全国Ⅰ)设等

差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1
=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( )

A.3

B.4

C.5

D.6

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)(2013· 课标全国Ⅰ)设等

由题意得am=Sm-Sm-1=2,

差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1 am+1=Sm+1-Sm=3,故d=1,
=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 因为 Sm=0, 于( )
m?m-1? 故 ma1+ d=0, 2 m-1 故 a1=- , 2

A.3

B.4

C.5

D.6

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)(2013· 课标全国Ⅰ)设等
因为am+am+1

差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1

=Sm+1-Sm-1=5,

=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 故a +a =2a +(2m-1)d m m+1 1 于( )
=-(m-1)+2m-1=5,

A.3

B.4

C.5

D.6

即m=5.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)(2013· 课标全国Ⅰ)设等
因为am+am+1

差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1

=Sm+1-Sm-1=5,

=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 故a +a =2a +(2m-1)d m m+1 1 于( C )
=-(m-1)+2m-1=5,

A.3

B.4

C.5

D.6

即m=5.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例1

(2)(2013· 课标全国Ⅰ)设等

数列的通项公式和前 n 项 和公式在解题中起到变量 代换作用 ,而 a1 和 d 是等

差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1
=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( C )

差数列的两个基本量,用
它们表示已知和未知是常

A.3

B.4

C.5

D.6

用方法.

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 A.12 (1)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3, B.13 C.14 D.15

则a7等于( B )

`

5?a1+a5? =5a3=25, 解析 由题意得 S5= 2

故a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=13.

题型分类·深度剖析
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1 ,S4=20,则S6 2 等于( D )
A.16 B.24 C.36 D.48

解析

∵S4=2+6d=20,∴d=3,故S6=3+15d=48.

题型分类·深度剖析
S3 S2 (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 3 - 2 =1, 则 数列{an}的公差是( D ) 1 A.2 B.1 C.2 D.3

n?a1+an? Sn a1+an S3 S2 ,∴ n = 2 ,又 3 - 2 =1 解析 ∵Sn= 2

a1+a3 a1+a2 得 - =1,即 a3-a2=2, 2 2 ∴数列{an}的公差为2.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型二

等差数列的性质及应用

例2

(1)设等差数列{an}的前n项 )
B.45

和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7

+a8+a9等于(
A.63

C.36

D.27

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型二

等差数列的性质及应用

例2

和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7 S6-S3,S9-S6为等差数列.

(1)设等差数列{an}的前n项 )
B.45

由{an}是等差数列,得S3,

+a8+a9等于(
A.63

即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),

得到S9-S6=2S6-3S3
=45,故选B.

C.36

D.27

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型二

等差数列的性质及应用

例2

和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7 S6-S3,S9-S6为等差数列.

(1)设等差数列{an}的前n项

由{an}是等差数列,得S3,

+a8+a9等于( B )
A.63 B.45

即 2(S6 - S3) = S3 + (S9 - S6) ,

得到S9-S6=2S6-3S3
=45,故选B.

C.36

D.27

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

题型二

等差数列的性质及应用

例2

(1)设等差数列{an}的前n项

在等差数列{an}中,数列
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也 成等差数列;
Sn { }也是等差数列. n

和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7

+a8+a9等于( B )
A.63 B.45

C.36

D.27

等差数列的性质是解题的 重要工具.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 若一个等差数列前 3 项

的和为34,最后3项的和为146,

且所有项的和为 390 ,则这个数
列的项数为( A.13 B.12 ) C.11 D.10

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 若一个等差数列前 3 项 因为a +a +a =34, 1 2 3

的和为34,最后3项的和为146, an-2+an-1+an=146,

且所有项的和为 390 ,则这个数 a1+a2+a3+an-2+an-1+an =34+146=180, 列的项数为( ) 又因为a1+an=a2+an-1 A.13 B.12 C.11 D.10 =a3+an-2,

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 若一个等差数列前 3 项

所以3(a1+an)=180,
从而a1+an=60,
n?a1+an? n· 60 所以 Sn= = 2 2 =390,即 n=13.

的和为34,最后3项的和为146,

且所有项的和为 390 ,则这个数
列的项数为( A.13 B.12 ) C.11 D.10

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 若一个等差数列前 3 项

所以3(a1+an)=180,
从而a1+an=60,
n?a1+an? n· 60 所以 Sn= = 2 2 =390,即 n=13.

的和为34,最后3项的和为146,

且所有项的和为 390 ,则这个数
列的项数为( A ) A.13 B.12 C.11 D.10

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(2) 若一个等差数列前 3 项 在等差数列{an}中,数列 成等差数列;
Sn { }也是等差数列. n

的和为34,最后3项的和为146, Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也

且所有项的和为 390 ,则这个数
列的项数为( A ) A.13 B.12 C.11 D.10

等差数列的性质是解题的 重要工具.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(3) 已知 Sn 是等差数列 {an}

S2 014 的前n项和,若a1=-2 014, 2 014 S - 2 008 =6,则S2 016=________. 2 008

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

Sn 由等差数列的性质可得{ }也 n 例 2 (3) 已知 Sn 是等差数列 {an} 为等差数列,设其公差为d. S2 014 S2 014 S2 008 的前n项和,若a1=-2 014, 2 014 则2 014-2 008=6d=6, ∴d=1. S2 008 - =6,则S2 016=________. S2 016 S1 2 008 故 = +2 015d 2 016 1

=-2 014+2 015=1,

∴S2 016=1×2 016=2 016.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

Sn 由等差数列的性质可得{ }也 n 例 2 (3) 已知 Sn 是等差数列 {an} 为等差数列,设其公差为d. S2 014 S2 014 S2 008 的前n项和,若a1=-2 014, 2 014 则2 014-2 008=6d=6, ∴d=1. S2 008 2 016 - =6,则S2 016=________. S2 016 S1 2 008 故 = +2 015d 2 016 1

=-2 014+2 015=1,

∴S2 016=1×2 016=2 016.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2

(3) 已知 Sn 是等差数列 {an}

在等差数列{an}中,数列
Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也

S2 014 的前n项和,若a1=-2 014, 2 014 成等差数列; Sn S2 008 2 016 - =6,则S2 016=________. { }也是等差数列. n 2 008

等差数列的性质是解题的 重要工具.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2

(1)设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=
B.21 C.28 D.35

12,则a1+a2+?+a7等于( C ) A.14

解析 ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4, ∴a1+a2+?+a7=7a4=28.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10

=10,S20=30,则S30=________. 60
解析 ∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列, ∴2(S20-S10)=S10+S30-S20, ∴40=10+S30-30,∴S30=60.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三

等差数列的判定与证明

3 例3 已知数列{an}中,a1= ,an 5 1 =2- (n≥2, n∈N*), 数列{bn} an-1 1 满足 bn= (n∈N*). an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三

等差数列的判定与证明

3 例3 已知数列{an}中,a1 = ,an 5 (n≥2,n∈N*), 1 1 =2- (n≥2, n∈N*), 数列{bn} bn= (n∈N*), a n -1 an-1 1 所以 bn+1-bn 满足 bn= (n∈N*). an-1 1 1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; =a -1-a -1 n+1 n

证明 因为 an=2- an-1

1

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三

1 1 = - 1 an-1 3 ?2-a ?-1 例3 已知数列{an}中,a1 = ,an n 5 an 1 = - =1. 1 * an-1 an-1 =2- (n≥2, n∈N ), 数列{bn} a n -1 1 5 又 b1= =- . 1 2 a1-1 满足 bn= (n∈N*). 5 an-1 所以数列{bn}是以-2为首 (1)求证:数列{bn}是等差数列; 项,1 为公差的等差数列.

等差数列的判定与证明

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三

等差数列的判定与证明

3 等差数列的四个判定方法: 例3 已知数列{an}中,a1= ,an 5 (1) 定义法:证明对任意正 1 * =2- (n≥2, n ∈ N ), 数列{bn} an - 1 整数 n 都有 an + 1 - an 等于同 1 满足 bn= (n∈N*). an-1 一个常数. (1)求证:数列{bn}是等差数列;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三

等差数列的判定与证明

(2) 等差中项法:证明对任

3 例3 已知数列{an}中,a1= ,an 意正整数n都有2an+1=an+ 5 an+2后,可递推得出an+2- 1 * =2- (n≥2, n ∈ N ), 数列{bn} an - 1 a =a -a =a -a 1 满足 bn= (n∈N*). an-1
n+1 n+1 n n n-1

= a n - 1 - a n - 2 = ? = a2 - a1 ,
根据定义得出数列{an}为等

(1)求证:数列{bn}是等差数列;

差数列.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

题型三

等差数列的判定与证明 (3)通项公式法:得出a =pn n 3 + q 后,得 an + 1 - an = p 对任 例3 已知数列{an}中,a1= ,an 5 意正整数 n 恒成立,根据定 1 =2- (n≥2, n∈N*), 数列{bn} 义判定数列{an}为等差数列. an - 1 (4)前n项和公式法:得出Sn 1 满足 bn= (n∈N*). =An2+Bn后,根据Sn,an的 an-1
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
关系,得出an,再使用定义

法证明数列{an}为等差数列.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2) 求数列 {an} 中的最大项

和最小项,并说明理由.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2) 求数列 {an} 中的最大项

和最小项,并说明理由.

7 解 由(1)知 bn=n-2, 1 2 则 an=1+ =1+ . bn 2n-7 2 设 f(x)=1+ , 2x-7 7 则 f(x)在区间(-∞,2)和 7 (2,+∞)上为减函数.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2) 求数列 {an} 中的最大项

所以当n=3时,

和最小项,并说明理由.

an取得最小值-1,
当n=4时, an取得最大值3.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2) 数列 {an} 中, a1 = 1 , 等差数列的四个判定方法:

an+ 1=3an+2 ,则它的一个通 (1) 定义法:证明对任意正 项公式为an=________.
整数 n 都有 an + 1 - an 等于同 一个常数.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2) 数列 {an} 中, a1 = 1 ,

(2) 等差中项法:证明对任 意正整数n都有2an+1=an+ an + 1 = an + 1 - an = an - an - 1 根据定义得出数列{an}为等

an+ 1=3an+2 ,则它的一个通 an+2后,可递推得出an+2- 项公式为an=________.

= a n - 1 - a n - 2 = ? = a2 - a1 , 差数列.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(3)通项公式法:得出 an=pn

例3

(2) 数列 {an} 中, a1 = 1 , + q 后,得 an + 1 - an = p 对任
意正整数 n 恒成立,根据定 义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法:得出Sn

an+ 1=3an+2 ,则它的一个通 项公式为an=________.

=An2+Bn后,根据Sn,an的
关系,得出an,再使用定义

法证明数列{an}为等差数列.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3
是( C )

(1)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n} B.公差为4的等差数列
D.公差为9的等差数列

A.公差为3的等差数列
C.公差为6的等差数列 解析

(1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2)

=(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2)
=2+2×2=6,

∴{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.

题型分类·深度剖析
1 2 1 1 (2)在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N*), 2 an+1 an an+2 则该数列的通项为( 1 A.an= n ) 2 C.an= n+2 3 D.an= n 2 B.an= n+1

解析
1

1 1 由已知式 =a + 可得 an+1 n an+2

2

1 1 1 1 1 -a = - ,知{ a } 是首项为a =1, an+1 an+2 an+1 n n 1

题型分类·深度剖析
1 2 1 1 (2)在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N*), 2 an+1 an an+2 则该数列的通项为( A ) 1 A.an= n 2 B.an= n+1 2 C.an= n+2 3 D.an= n

1 1 公差为a -a =2-1=1 的等差数列, 2 1
1 1 所以a =n,即 an=n. n

题型分类·深度剖析 高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值
) D.90
温 馨 提 醒

典例:(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54, 则此数列前10项的和S10等于( A.45 B.60
思 维 点 拨

C.75
解 析

题型分类·深度剖析 高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值
) D.90
温 馨 提 醒

典例:(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54, 则此数列前10项的和S10等于( A.45 B.60
思 维 点 拨

C.75
解 析

(1)求等差数列前n项和,可以通过求解基本量a1,d,代入
前n项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a1+an= a2+an-1=?;

题型分类·深度剖析 高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值
) D.90
温 馨 提 醒

典例:(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54, 则此数列前10项的和S10等于( A.45 B.60
思 维 点 拨

C.75
解 析

由题意得a3+a8=9,
10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×9 ∴S10= = = = 45. 2 2 2

题型分类·深度剖析 高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值
典例:(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54, 则此数列前10项的和S10等于( A ) A.45 B.60
思 维 点 拨

C.75
解 析

D.90
温 馨 提 醒

由题意得a3+a8=9,
10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×9 ∴S10= = = = 45. 2 2 2

题型分类·深度剖析 高频小考点7 等差数列的前n项和及其最值
典例:(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54, 则此数列前10项的和S10等于( A ) A.45 B.60
思 维 点 拨

C.75
解 析

D.90
温 馨 提 醒

利用等差数列的性质求Sn,突出了整体思想,减少了运算量.

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

求等差数列前n项和,可以通过求解基本量a1,d,代入前

n项和公式计算,也可以利用等差数列的性质:a1+an=a2
+an-1=?;

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

方法一 设数列{an}的公差为d,首项为a1,
? ?10a +10×9d=100, 1 ? 2 则? 100×99 ? 100a1+ d=10, ? 2 ? ? ?a =1 099, 100 ? 1 解得? 11 ? d=-50. ? ?

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

?a11+a100?×90 方法二 因为 S100-S10= =- 90 , 2

110×109 所以 S110=110a1+ d=-110. 2

所以a11+a100=-2,

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

?a1+a110?×110 ?a11+a100?×110 所以 S110= = 2 2

=-110.

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________. -110
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

?a1+a110?×110 ?a11+a100?×110 所以 S110= = 2 2

=-110.

题型分类·深度剖析
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________. -110
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

利用等差数列的性质求 Sn ,突出了整体思想,减少了运
算量.

题型分类·深度剖析
(3)已知等差数列 {an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和 Sn的最大值为________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(3)已知等差数列 {an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和 Sn的最大值为________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

求等差数列前n项和的最值,可以将Sn化为关于n的二次函

数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化
趋势,找最后的非负项或非正项.

题型分类·深度剖析
(3)已知等差数列 {an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和 Sn的最大值为________.
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

21 2 21 2 =-n +21n=-(n- ) +( ) , 2 2
2

因为等差数列 {an}的首项 a1 =20 ,公差 d =- 2,代入求和公式得, n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=20n- ×2 2 2

又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,Sn取得最大值,最大值为110.

题型分类·深度剖析
(3)已知等差数列 {an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和 Sn的最大值为________. 110
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

21 2 21 2 =-n +21n=-(n- ) +( ) , 2 2
2

因为等差数列 {an}的首项 a1 =20 ,公差 d =- 2,代入求和公式得, n?n-1? n?n-1? Sn=na1+ d=20n- ×2 2 2

又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,Sn取得最大值,最大值为110.

题型分类·深度剖析
(3)已知等差数列 {an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和 Sn的最大值为________. 110
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

利用函数思想求等差数列前 n 项和 Sn 的最值时,要注意到 n∈N*;

题型分类·深度剖析
(4)(2014· 北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当n=________时,{an}的前n项和最大.
思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(4)(2014· 北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当n=________时,{an}的前n项和最大.
思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

求等差数列前n项和的最值,可以将Sn化为关于n的二次函

数,求二次函数的最值,也可以观察等差数列的符号变化
趋势,找最后的非负项或非正项.

题型分类·深度剖析
(4)(2014· 北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当n=________时,{an}的前n项和最大.
思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.
∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴数列的前8项和最大,即n=8.

题型分类·深度剖析
(4)(2014· 北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当n=________ 时,{an}的前n项和最大. 8
思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

∵a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0.
∵a7+a10=a8+a9<0,∴a9<-a8<0. ∴数列的前8项和最大,即n=8.

题型分类·深度剖析
(4)(2014· 北京)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0, 则当n=________ 时,{an}的前n项和最大. 8
思 维 点 拨

解 析

温 馨 提 醒

利用等差数列的性质求 Sn ,突出了整体思想,减少了运

算量.

思想方法·感悟提高
1.等差数列的判断方法

方 法 与 技 巧

(1)定义法:an+1-an=d (d是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差 数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)?{an}是等差数列.

(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn (A,B为常数)?{an}是等
差数列.

思想方法·感悟提高
2.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时可

方 法 与 技 巧

以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解.

3.等差数列性质灵活使用,可以大大减少运算量.
4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为(1)a, a+d,a+2d;(2)a-d,a,a+d;(3)a-d,a+d,a +3d等,可视具体情况而定.

思想方法·感悟提高

1.当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,

失 误 与 防 范

当公差d=0时,an为常数.

2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,

且常数项为 0. 若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0
的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起

成等差数列.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1. 已知数列 {an} 是等差数列, a1 + a7 =- 8 , a2 = 2 ,则数 列{an}的公差d等于( C ) A.-1 C.-3 D.-4 ?a1+?a1+6d?=-8, 解析 方法一 由题意可得 ? ?a1+d=2, 解得a1=5,d=-3. 方法二 a1+a7=2a4=-8,∴a4=-4, ∴a4-a2=-4-2=2d,∴d=-3. B.-2

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+?+a101=0,则有( C ) A.a1+a101>0 C.a3+a99=0 解析 B.a2+a100<0 D.a51=51

由题意,得a1+a2+a3+?+a101

a1+a101 = ×101=0. 2 所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2 =100,则a37+b37等于( C ) A.0 解析 B.37 C.100 D.-37 设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,

则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2, ∴{an+bn}为等差数列,又a1+b1=a2+b2=100, ∴{an+bn}为常数列,∴a37+b37=100.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和 Sn的最大值为( B ) A.S4 C.S6 B.S5 D.S7 ?a4+a7=a5+a6<0,
?a5>0, ∴? ?a6<0,

解析 ∵? ?a5>0,

∴Sn的最大值为S5.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5. 在等差数列 {an} 中, a1>0 , a10· a11<0 ,若此数列的前 10 项
和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18的

值是( C )
A.24 B.48 C.60 D.84

解析 由a1>0,a10· a11<0可知d<0,a10>0,a11<0,
∴T18=a1+?+a10-a11-?-a18

=S10-(S18-S10)=60.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.已知递增的等差数列{an}满足a1=1,a3=a2 -4,则an=______. 2n-1 2 解析 设等差数列的公差为d,
2 ∵a3=a 2 2 -4,∴1+2d=(1+d) -4,

解得d2=4,即d=±2.

由于该数列为递增数列,故d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=-2, 则当Sn取最大值时,n的值是________. 6 解析 依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7=-1<0;

又数列{an}是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,
自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 1 1 1 4 8.已知数列{an}中, a1=1 且 = + (n∈N*), 则 a10=_____. a 3 an+1 n
解析 1 1 1 由已知a =a +(10-1)×3=1+3=4, 10 1

1 ∴a10=4.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; 解 设等差数列{an}的公差为d, 则an=a1+(n-1)d.

由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值. 解 由(1)可知an=3-2n, n[1+?3-2n?] 2 所以 Sn= = 2 n - n . 2 由Sk=-35,可得2k-k2=-35,

即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.
又k∈N*,故k=7.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1<0,S2 015=0. (1)求Sn的最小值及此时n的值; 解 设公差为d,则由S2 015=0? 2 015a1+ 2 015×2 014 d=0?a1+1 007d=0, 2 2 015-n 1 d=-1 007a1,a1+an= 1 007 a1,

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

n n 2 015-n ∴Sn=2(a1+an)=2· 1 007 a1 a1 =2 014(2 015n-n2).

∵a1<0,n∈N*,

∴当n=1 007或1 008时,Sn取最小值504a1.

练出高分
1
2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

(2)求n的取值集合,使其满足an≥Sn. 1 008-n 解 an= a, 1 007 1 ∵a1<0,∴n2-2 017n+2 016≤0, 即(n-1)(n-2 016)≤0, 解得1≤n≤2 016.

1 008-n a1 2 Sn≤an? (2 015n-n )≤ a. 2 014 1 007 1

故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016,n∈N*}.

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

a11 11.已知数列{an}为等差数列,若 a <-1,且它们的前n项和 10

Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为(

)

A.11
解析

B.19

C.20

D.21

a11 ∵ <-1,且 Sn 有最大值, a10

∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0,

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

19?a1+a19? ∴S19= =19· a10>0, 2
20?a1+a20? S20= =10(a10+a11)<0 , 2

故使得Sn>0的n的最大值为19.
答案

B

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

12.(2013· 辽宁)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列; ? ?an? p3:数列 ? ? ?是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列. ? ?n? ? 其中,真命题为( ) A.p1,p2 B.p3,p4

C.p2,p3

D.p1,p4

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

解析 由于p1:an=a1+(n-1)d,d>0, ∴an-an-1=d>0,命题p1正确. 对于p2:nan=na1+n(n-1)d, ∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关. 故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确. an a1 n-1 an an-1 -a1+d 对于 p3: = + d,∴ - = , n n n n n-1 n?n-1?

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

an 当 d-a1>0,即 d>a1 时,数列{ }递增, n 但d>a1不一定成立,则p3不正确.
对于p4:设bn=an+3nd,

则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.
∴数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.

综上,正确的命题为p1,p4.
答案 D

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

13.设等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意自然 19 Sn 2n-3 a9 a3 数 n 都有 = ,则 + 的值为________. 41 Tn 4n-3 b5+b7 b8+b4
解析 ∵{an},{bn}为等差数列,

a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 ∴ + = + = = . 2 b 2 b 2 b b6 b5+b7 b8+b4 6 6 6

a6 19 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 ∵ = = = = ,∴ = . T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41 b6 41

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

14.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前n项和为Sn,且

Sk=110.
(1)求a及k的值; 解 设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,

由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

k?k-1? k?k-1? 所以 Sk=ka1+ · d=2k+ ×2=k2+k. 2 2

由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

S (2)设数列{bn}的通项bn= n,证明数列{bn}是等差数列,并 n 求其前n项和Tn.
解 n?2+2n? 由(1)得 Sn= =n(n+1), 2

Sn 则 bn= =n+1, n

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,
n?2+n+1? n?n+3? 所以 Tn= = 2 2 .

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

1 3an 15.已知数列{an}中,a1= ,an+1= . 2 an+3

(1)求an;
由已知得an≠0,则由an+1= 3an , an+3 an+3 1 得 = , an+1 3an


练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

1 1 1 即 - = ,而 =2, a1 an+1 an 3

1

1 1 ∴{ }是以 2 为首项,以 为公差的等差数列. an 3 n+5 1 1 ∴a =2+3(n-1)= 3 , n

3 ∴an= . n+5

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

n?3-4an? (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 bn· a =1,
n

1 求证:2≤Sn<1. n?3-4an? 证明 ∵bn· a =1, n 1 则由(1)得 bn= , n?n+1?

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

1 1 1 1 1 ∴Sn=b1+b2+?+bn=(1- )+( - )+( - )+?+ 2 2 3 3 4 1 1 1 ( - )=1- 关于 n 单调递增, n n+1 n+1

1 ∴2≤Sn<1.


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