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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修13.1.2(一)



3.1.2(一)

3.1.2 指数函数(一)
【学习要求】 1.了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念,掌握指数
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函数的图象; 2.初步学会运用指数函数解决问题. 【学法指导】 通过了解指数函数的实际背景,认识数学与现实生活及其他学 科的联系;通过展示函数图象,用数形结合的方法从具体到一 般地探索,概括指数函数的性质.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.1.2(一)

y=ax(a>0,a≠1) 1.指数函数的定义:一般地,函数____________________叫做
本 课 为R . 时 栏 (0,1) 2. 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象过一定点 __________. 目 开 x 关 3. 指数函数 y=a (a>0,a≠1),当 a>1 时,在(-∞,+∞)上是

指数函数 x _________________,其中________是自变量,函数的定义域

增 减 单调______函数; 0<a<1 时, 当 在(-∞, +∞)上是单调______
函数.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.1.2(一)

[问题情境]
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印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人.这位

聪明的大臣说:“陛下,请你在这张棋盘的第一个小格内,赏 给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,在第三个小格内给四 粒,照这样下去,每一小格内都比前一小格加一倍.直到摆满 棋盘上 64 格”, 国王说: “你的要求不高, 会如愿以偿的”. 于 是,下令把一袋麦子拿到宝座前,计算麦粒的工作开始了.还 没到第二十小格,袋子已经空了,一袋又一袋的麦子被扛到国 王面前来,但是,麦粒数一格接一格地增长得那样迅速,很快 看出,即使拿出来全印度的粮食,国王也兑现不了他对象棋发 明人许下的诺言.想一想,共需要多少粒麦子?

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探究点一 指数函数的概念

3.1.2(一)

问题 1 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,4 个分裂成 8 个??一个细胞分裂 x 次后,得到细胞
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的个数为 y,则 y 与 x 的函数关系是什么?
答 y=2x .

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问题 2

3.1.2(一)

从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至

今大部分还能发芽开花.这些古莲子是多少年以前的遗物呢? 要测定古生物的年代,可以用放射性碳法:在动植物体内都含 有微量的放射性 14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C 不再
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产生,且原有的 14C 会自动衰变,经过 5 730 年(14C 的半衰期), 它的残余量只有原始量的一半.若 14C 的原始含量为 1,经过 x 年后的残留量为 y,则 y 与 x 的函数关系是什么?



y 与 x 的函数关系是 y= ?0.5?

x 5 730

=0.999 879x.

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问题 3 问题 1 和问题 2 有什么共同特征?

3.1.2(一)

答 这两个函数的共同特征为:底数是一个正数,自变量为 指数,即都可以用 y=ax(a>0 且 a≠1 来表示).
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3.1.2(一)

小结
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指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指

数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.

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3.1.2(一)

问题 4

指数函数定义中为什么规定了 a>0 且 a≠1?

答 将 a 如数轴所示分为:a<0,a=0,0<a<1,a=1 和 a>1 五部分进行讨论:
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1 1 (1)如果 a<0,比如 y=(-4) ,这时对于 x= ,x= 等,在实 4 2
x

数范围内函数值不存在,所以没有研究的价值;

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?当x>0时,ax=0 ? a=0,? ?当x≤0时,ax无意义 ?

3.1.2(一)

(2)如果



(3)如果 a=1,y=1x=1,是个常值函数,没有研究的必要;
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(4)如果 0<a<1 或 a>1 即 a>0 且 a≠1,x 可以是任意实数.为了便 于研究,所以规定:a>0 且 a≠1.

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问题 5 函数 y=2x 和函数 y=x2 有什么区别?

3.1.2(一)

答 函数 y=2x 的指数是变量,是指数函数;函数 y=x2 的指 数是常数,是二次函数.
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(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=πx; (5)y=x2;(6)y=(a-1)x(a>1,且 a≠2).

3.1.2(一)

例 1 在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么?

解 只有(4),(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;
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(1)中解析式可变形为 y=2x·2=4·x, 2 2 不满足指数函数的形式; (2)中底数为负,所以不是; (3)中解析式中多一负号,所以不是;
(5)中指数为常数,所以不是; (6)中令 b=a-1,则 y=bx,b>0 且 b≠1,所以是.

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跟踪训练 1 指出下列函数哪些是指数函数: (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=(-4)x; ? 1 ? x x (4)y=x ;(5)y=(2a-1) ?a> ,且a≠1?. ? 2 ?
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3.1.2(一)



(1)、(5)为指数函数;

(2)自变量在底数上,所以不是; (3)底数-4<0,所以不是; (4)底数 x 不是常数,所以不是.

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例 2 已知指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象过点(3, 求 f(0), π), f(1),f(-3)的值.

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将点(3,π),代入 f(x)=ax,得到 f(3)=π,即 a3=π,解得:
1 3 x 3

a= ? ,于是 f(x)= ? ,
1 3 所以 f(0)=π =1,f(1)= ? = π,f(-3)=π-1= . π
0
1 3

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小结
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要求指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的解析式,只需要求出 a

的值,要求 a 的值,只需一个已知条件即可.

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跟踪训练 2 已知指数函数 y=(2b-3)ax 经过点(1,2),求 a,b 的值.

解 由于函数 y=(2b-3)ax 是指数函数,
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所以 2b-3=1,即 b=2.
将点(1,2)代入 y=ax,得 a=2.

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探究点二 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质 1x 导引 分别在同一坐标系内画出 y=2 与 y=( ) 的图象及 y=3x 2 1x 本 与 y=( ) 的图象,如何通过观察具体的指数函数的图象,归 3 课
x

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纳、抽象出 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质?

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问题 1


3.1.2(一)

图象分布在哪几个象限?这说明了什么?

图象分布在第一、二象限,说明值域为{y|y>0}.

问题 2
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图象有什么特征?猜想图象的上升、下降与底数
它们的图象都在 x 轴上方,向上无限伸展,向下无限

a 有怎样的关系?对应的函数的单调性如何?
答 接近于 x 轴;当底数大于 1 时图象上升,为增函数;当底 数大于 0 小于 1 时图象下降,为减函数.

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3.1.2(一)

问题 3 图象过哪些特殊的点?这与底数的大小有关系吗?
答 不论底数 a>1 还是 0<a<1,图象都过定点(0,1). 1 1 问题 4 函数 y=2x 与 y=( 2)x 或者 y=3x 与 y=( 3)x 图象有什么关系? ?1?x ?1?x x x 可否利用 y=2 或 y=3 的图象画出 y=? ? 或 y=? ? 的图象? ?2? ?3? ?1? ?1? x x x 答 通过图象看出 y=2 与 y=?2? 的图象关于 y 轴对称,y=3 与 y=?3?x ? ? ? ?
的图象也关于 y 轴对称.所以能利用 y=2x 或 y=3x 的图象通过对称性画 ?1?x ?1?x 出 y=?2? 或 y=?3? 的图象. ? ? ? ?

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3.1.2(一)

问题 5 你能根据具体函数的图象抽象出指数函数 y=ax 的哪些性 质?(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)

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定义域为 R, 值域为{y|y>0}, 过(0,1)点, 时为增函数, a>1 0<a<1

时为减函数,没有最值,既不是奇函数也不是偶函数.

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指数函数的图象与性质

a>1
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0<a<1

图象

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3.1.2(一)

定义域:R
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性质

值域:(0,+∞) 图象过点(0,1),即 x=0 时,y=1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

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例 3 比较下列各组数中两个值的大小: (1)1.52.5,1.53.2;(2)0.5
-1.2

3.1.2(一)

,0.5

-1.5

;(3)1.50.3,0.81.2.


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(1)考虑指数函数 f(x)=1.5x.因为 1.5>1,

所以 f(x)=1.5x 在 R 上是单调增函数. 因为 2.5<3.2,所以 1.52.5<1.53.2.

(2)考虑指数函数 f(x)=0.5x.因为 0<0.5<1, 所以 f(x)=0.5x 在 R 上是单调减函数. 因为-1.2>-1.5,所以 0.5 1.50.3>0.81.2.
-1.2

<0.5

-1.5

.

(3)由指数函数的性质知 1.50.3>1.50=1,而 0.81.2<0.80=1,所以

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3.1.2(一)

小结
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比较两个数的大小时,一般是将其看作一个函数的两

个函数值,利用函数的单调性直接比较它们的大小,如(1)、 (2).当两个数不能直接比较时,我们可以将其与一个已知的 过渡数进行比较大小,从而得出该两数的大小关系.常用来 过渡的值有 0 或± 等,根据实际问题也可能是其它数值. 1

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跟踪训练 3 比较下列各组数中两个值的大小:

3.1.2(一)

(1)30.8,30.7;(2)0.75-0.1,0.750.1;(3)1.012.7,1.013.5; (4)0.993.3,0.994.5.


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(1)考虑函数 y=3x,∵3>1,

∴指数函数 y=3x 在 R 上是增函数. ∵0.8>0.7,∴30.8>30.7. (2)考虑函数 y=0.75x,∵0<0.75<1, ∴指数函数 y=0.75x 在 R 上是减函数. ∵-0.1<0.1,∴0.75
-0.1

>0.750.1.

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(3)考虑函数 y=1.01x,∵1.01>1, ∴指数函数 y=1.01x 在 R 上是增函数. ∵2.7<3.5,∴1.012.7<1.013.5.
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3.1.2(一)

(4)考虑函数 y=0.99x,∵0<0.99<1, ∴指数函数 y=0.99x 在 R 上是减函数. ∵3.3<4.5,∴0.993.3>0.994.5.

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例4 (1)已知 3x≥30.5,求实数 x 的取值范围;

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(2)已知 0.2x<25,求实数 x 的取值范围.


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(1)因为 3>1,所以指数函数 f(x)=3x 在 R 上是单调增函数,

由 3x≥30.5,可得 x≥0.5,即 x 的取值范围为[0.5,+∞).
(2)因为 0<0.2<1, 所以指数函数 f(x)=0.2x 在 R 上是单调减函数, 1 -2 - 因为 25=(5) =0.2 2, 所以 0.2x<0.2-2,由此可得 x>-2, 即 x 的取值范围为(-2,+∞).

小结 通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性 运用的又一常用方法.

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跟踪训练 4 已知函数 y=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大 值与最小值的差是 1,求实数 a 的值.

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解 当 a>1 时,函数 y=ax 在区间[-1,1]上是增函数,a1-a 1 1+ 5 =1,∵a>1,∴a= ; 2 - 当 0<a<1 时, 函数 y=ax 在区间[-1,1]上是减函数, 1-a1=1, a -1+ 5 ∵0<a<1,∴a= ; 2 1+ 5 -1+ 5 综上:a= 或 a= . 2 2



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3.1.2(一)

1.不等式 6
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x2 ? x- 2

(-2,1) <1 的解集是________.
<1,即 6
x2 ? x- 2

解析

∵6

x2 ? x- 2

<60,又∵y=6x 在 R 上是增函数,

∴x2+x-2<0,解之得:-2<x<1.

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2.若函数 y=(a2-3a+3)·x 是指数函数,则它的单调性情况为 a

在R上是单调增函数 __________________________.
解析
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由题意知,a2-3a+3=1,解得 a=1 或 a=2,a=1

不合题意,所以 a=2,因此函数是 R 上的单调增函数.

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3.已知下列不等式,比较 m、n 的大小. (1)2m<2n;(2)0.2m>0.2n;(3)am<an(0<a<1); (4)am>an(a>1).
解 (1)考虑函数 y=2x,
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3.1.2(一)

∵2>1,∴函数 y=2x 在 R 上是增函数. ∵2m<2n,∴m<n;
(2)考虑函数 y=0.2x, ∵0<0.2<1,∴指数函数 y=0.2x 在 R 上是减函数. ∵0.2m>0.2n,∴m<n;

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3.1.2(一)

(3)考虑函数 y=ax, ∵0<a<1,∴函数 y=ax 在 R 上是减函数.
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∵am<an,∴m>n;
(4)考虑函数 y=ax, ∵a>1,∴函数 y=ax 在 R 上是增函数,∵am>an ,∴m>n.

3.1.2(一)

1.理解指数函数的概念,注意 a>1 与 0<a<1 两种情况. 2.由于指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域为 R,所以函数 y
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=af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同,求与指数函数 有关的函数的值域时,要考虑并利用指数函数本身的要求, 并利用好指数函数的单调性.

3.1.2(一)

3.比较两个指数式值的大小的主要方法 (1)比较形如 am 与 an 的大小,可运用指数函数 y=ax 的单调
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性. (2)比较形如 am 与 bn 的大小,一般找一个“中间值 c”,若 am<c 且 c<bn,则 am<bn;若 am>c 且 c>bn,则 am>bn.



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