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高中数学(人教版必修2)配套练习-第二章2.3.1-直线与平面垂直的判定


§ 2.3

直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定

一、基础过关 1.已知直线 a∥b,平面 α∥β,a⊥α,则 b 与 β 的位置关系是 A.b⊥β C.b?β A.a⊥β C.a?β A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 4.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则△ABC 为 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.无法确定 ( ) B.b∥β D.b?β 或 b∥β ( ) B.a∥β D.a?β 或 a∥β ( ) ( )

2.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是

3.空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是

5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是______. 6. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,则∠C1MN=______.

7.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点. 求证:CF⊥平面 EAB.

8. 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别 是 AB、PC 的中点,PA=AD.

求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD. 二、能力提升 9. 如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )

A.4 在翻折过程中

B.3

C.2

D.1 ( )

10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 11 .在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, BC = CC1 ,当底面 A1B1C1 满足条件 ________ 时,有 AB1⊥BC1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况). 12. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为 ABCD 的中心,求证: B1O⊥平面 PAC.

三、探究与拓展 13.已知平面 α 外两点 A、B 到平面 α 的距离分别为 1 和 2,A、B 两点在 α 内的射影之间距 离为 3,求直线 AB 和平面 α 所成的角.

答案
1.A 2.D 3.C 4.B 5.(1)45° (2)30° (3)90° 6.90° 7.证明 在平面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90° ,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,又 AB∩BE=B, ∴CF⊥平面 EAB. 8.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD.

(2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG.又∵G、F 分别是 PD、PC 的中点, 1 ∴GF 綊 CD, 2 ∴GF 綊 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形,∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 9.A 10.B 11.∠A1C1B1=90° 12.证明 连接 AB1,CB1,设 AB=1. ∴AB1=CB1= 2,

∵AO=CO,∴B1O⊥AC.

连接 PB1.

3 2 2 ∵OB2 1=OB +BB1= , 2 9 2 2 PB2 1=PD1+B1D1= , 4 3 2 2 2 OP =PD +DO = , 4
2 2 ∴OB2 1+OP =PB1.

∴B1O⊥PO, 又∵PO∩AC=O,∴B1O⊥平面 PAC. 13.解 (1)如图①,当 A、B 位于平面 α 同侧时,由点 A、B 分别向平面 α 作垂线,垂足分 别为 A1、B1,则 AA1=1,BB1=2,B1A1= 3.过点 A 作 AH⊥BB1 于 H,则 AB 和 α 所成 2-1 3 角即为∠HAB.而 tan∠BAH= = . 3 3 ∴∠BAH=30° .

(2)如图②,当 A、B 位于平面 α 异侧时,经 A、B 分别作 AA1⊥α 于 A1,BB1⊥α 于 B1, AB∩α=C,则 A1B1 为 AB 在平面 α 上的射影,∠BCB1 或∠ACA1 为 AB 与平面 α 所成 的角. ∵△BCB1∽△ACA1, BB1 B1C ∴ = =2, AA1 CA1 ∴B1C=2CA1,而 B1C+CA1= 3, 2 3 ∴B1C= . 3 BB1 2 ∴tan∠BCB1= = = 3, B1C 2 3 3 ∴∠BCB1=60° . 综合(1)、(2)可知:AB 与平面 α 所成的角为 30° 或 60° .


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