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2.1.1 指数与指数幂的运算 第3课时



数学必修 1

第二章

基本初等函数(1)

第 3 课时

指数与指数幂的运算(三)

导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就 推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过

程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程 中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内 容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数 的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二 次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的 发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们 必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂, 因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2 =1.414 213 56…,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是 2 的什么近似值? 而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是 2 的什么近似值? ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

2 的过剩近似值 5
1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563

5

2

的近似值

11.18033989 9.82935328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.73817752

5

2

的近似值

2 的不足近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2
1

9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174
王灵聪

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第二章

基本初等函数(1)

9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5
2

1.414 213 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562

,根据你学过的知识,能作出判

断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解 释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2 的方向,另一方面从小于 2 的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨 论结果: ①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于

2 ,称 2 的不足近似值,而

1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于 2 ,称 2 的过剩近似值. ②第一个表:从大于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2 2

就从 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于 52

.
2

第二个表:从小于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2

就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于 5

2

.
2

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面 5 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…, 即 小 于 5 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于 5 即逼近 5
2 2 2

从 从
2

的方向接近 5
2

2

,而另一方面 5

2

的方向接近 5

,可以说从两个方向无限地接近 5

,

,所以 5

2

是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理

数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点 从两个方向向表示 5 是
王灵聪
2

的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 5 实 数 , 即 51.4<51.41<51.414<51.414

2

一定





2<51.414
2

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基本初等函数(1)

21<…<5

2

<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.
2

充分表明 5

是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 5
2

是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义: 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在 数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知 道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂. 提出问题 (1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? (2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? (3)你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. 对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个 确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. 讨论结果: (1)底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 aα 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造成 混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 aα 是一个确定的实数,就不会再造成混乱. (2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理 数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无 理数指数幂的运算法则: ①ar·s=ar+s(a>0,r,s 都是无理数). a r s ②(a ) =ars(a>0,r,s 都是无理数). ③(a· r=arbr(a>0,b>0,r 是无理数). b) (3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar·s=ar+s(a>0,r,s∈R). a r s ②(a ) =ars(a>0,r,s∈R). ③(a· r=arbr(a>0,b>0,r∈R). b) 应用示例 思路 1 例 1 利用函数计算器计算.(精确到 0.001) (1)0.3 ;(2)3.14 ;(3)3.1 ;(4) 3
2.1 -3
3 4

3

.

活动: 教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数

3 王灵聪

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基本初等函数(1)

值,对于(1),可先按底数 0.3,再按 对于(2),先按底数 3.14,再按 对于(3),先按底数 3.1,再按

键,再按幂指数 2.1,最后按 键,再按 3,最后按 即可;

,即可求得它的值; 即可;

键,再按负号

键,再按 3

4,最后按

对于 (4) ,这种无理指数幂,可先按底数 3,其次按 键,再按 可按 或 键,使用键上面的功能去运算.

键,再按 3,最后按

键.有时也

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案: (1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032; (3)3.1 ≈2.336;(4) 3
3 4

3

≈6.705.

点评:熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现 代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后 n 位,只需看第(n+1)位能否进位即 可. 例 2 求值或化简.
?4 2 3 2 (1) a b ab (a>0,b>0);

(2)(

1 ?2 ) 4

1

( 4ab?1 ) (0.1) ?2 (a 3b )
1 ?3 2

(a>0,b>0);

(3) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . 活动: 学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子 达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于 运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的 意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重 根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把 5,7,6 拆成 ( 3 )2+( 2 )2,22+( 3 )2,22+( 2 )2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解:(1) a b
?4 23 2

ab = a b (a b ) =a ba b =a

?

4 2

2 2

1 3

2 3

1 2

-2

1 6

1 3

?

11 4 6 b3

3

=

b4 a 11

6

.

点评: 根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.

(2)(

1 ) 4

?

1 2

( 4ab )

?1 3 1

=

(0.1) ?2 (a 3b ?3 ) 2

4 ? 4 2 ?2 ?2 2 4 0 0 4 a a b b = ab= . 25 25 10 2
3

1 2

3 2

3

3

3

点评:化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一 个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)

5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2
4

王灵聪

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基本初等函数(1)

= ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )
2 2

2

= 3 - 2 +2- 3 -2+ 2 =0. 点评:考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.
? 1 2 例 3 已知 x= (5 n -5 n ),n∈N*,求(x+ 1 ? x )n 的值. 2
1 n 1

1

活动: 学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5 与 5

?

1 n



有对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时 给予提示. x2=
? 1 n ?n 2 1 2 (5 -5 ) = (5 n -2·0+5 n ) 5 4 4 2
1

1

2

=

? 1 2 (5 n +2+5 n -4) 4
1

? 1 = (5 n +5 n )2-1. 4

1

这时应看到 1+x2=1+

1 n ?n 2 1 n ?n 2 ( -5 ) = (5 +5 ) , 4 4
2

1

1

1

1

这样先算出 1+x2,再算出 1 ? x ,带入即可.
? ? ? 1 1 1 解:将 x= (5 n -5 n )代入 1+x2,得 1+x2=1+ (5 n -5 n )2= (5 n +5 n )n, 2 4 4
1 1

1

1

1

1

1

? ? 1 n 1 (5 ? 5 n ) 2 ]n 所以(x+ 1 ? x ) =[ (5 n -5 n )+ 4 2
2

1

1

1

n

=[

1 n ?n 1 n ?n n n n (5 -5 )+ (5 +5 )] =(5 ) =5. 2 2

1

1

1

1

1

点评:运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 思路 2 例 1 计算:(1) 6

1 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 ; 4 8

5 王灵聪

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基本初等函数(1)

1 1 ?3 (2)125 +( )-2+343 3 -( ) ; 2 27
1

2 3

1

1

(3)(-2x 4 y
1 1

?

1 1 3 )(3x 2 1

2

y 3 );
1

(4)(x 2 -y 2 )÷ 4 -y 4 ). (x 活动:学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识, 教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的 运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先 因式分解,并对学生作及时的评价. 解:(1) 6
1

1 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 4 8
1
1

=(

25 2 27 3 1 ) +( ) +(0.062 5) 4 +14 8 2
1 1

4? 5 1 3 3? 1 =( )2× +( ) 3 +(0.5) 4 + 2 2 2 2

=

5 3 1 + +0.5+ =5; 2 2 2
2

(2)125 3 +(
2

1 -2 1 ?3 ) +343 3 -( ) 2 27
1 ? 1 3

1

1

=(53) 3 +(2-1)-2+(73) 3 -(3-3)
3?

=5

2 3

+2-2×(-1)+7
1 4

3?

1 3

-3
2 3

1 ?3?( ? ) 3

=25+4+7-3=33;
?

(3)(-2x y = ? 6x 4
1 1 ? 2

1 1 3 )(3x 2

y )=(-2× 3)(x x · y
3

1 4

1 2

?

1 2 3y3

)

?y

1 2 ? ? 3 3

1

=-6x 4 y 3

3 4 =? 6 x 3 y ;
1 1 1 1 1 1 1 1

(4)(x 2 -y 2 )÷ 4 -y 4 )=((x 4 )2-(y 4 )2)÷ 4 -y 4 ) (x (x
1 1 1 1 1 1

=(x 4 +y 4 )(x 4 -y 4 )÷ 4 -y 4 ) (x =x +y . 点评:在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例 2 化简下列各式:
6 王灵聪
1 4 1 4

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基本初等函数(1)

(1)

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

?

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

; (2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷ [(a4+a-4+1)(a-a-1)].

活动: 学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意
2

分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查 x2 与 x 3 的
2

关系可知 x2=(x 3 )3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转 化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解:(1)原式=

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y
2 3

?

2 3

?
? 2

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y
?

?

2 3

= (x =x
?

?

2 3

)2 ? x 3 y ? ( xy)
? 2 3

?

2

?

2

? ( y 3 ) 2 ? [( x 3 ) 2 ? ( x 3 )( y 3 ) ? ( y 3 ) 2 ]
? 4 3

?

2

?

2

?

2

4 3

?y

?x

?

4 3

? ( xy)

?

2 3

? y 3 = ? 2( xy)

?

4

?

2 3

? ?2

3

xy ; xy

(2)原式=[(a3)2-(a-3)2]÷ [(a4+a-4+1)(a-a-1)] =

( a 2 ) 2 ? ( a ?2 ) 2 (a 2 ? a ?2 )( a 4 a ? ?4 ?1) a 2 ? (a ?1 ) 2 = 4 = =a+a-1. 4 ?4 ?1 ?4 ?1 ?1 (a ? a ? 1)( a ? a ) (a ? a ? 1)( a ? a ) a?a

点评:注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一 般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a =(a )3 还容易看出,对其
1 3 2 1 2

中夹杂的数字 m 可以化为 m· 2 a a 式的能力. 知能训练 课本 P59 习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习:
?

?

1 2

=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公

1.化简:(1+2
1

1 32

?

)(1+2

1 16

?

)(1+2 B.(1-2

1 1 ? 8 )(1+2 4 1 32 )-1

?

)(1+2

1 2

)的结果是(
? 1 32

) D.
? 1 (1-2 32 ) 2 1

A.

? 1 (1-2 32 )-1 2

?

C.1-2

分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2
? 1 32 ?

)(1-2

1 32

?

)=1-2
? 1 2

1 16

?

,所以原式的分子分母同乘以(1-2
? 1 2

1 32

),

依次类推,所以

(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 1? 2
? 1 32

=

1 ? 2 ?1 1? 2
? 1 32

? 1 = (1-2 32 )-1. 2

1

答案:A

7 王灵聪

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基本初等函数(1)

7 10 ? 3 0 -0.5 0.5 -4 2.计算(2 )0.5+0.1-2+(2 ) -3π +9 +49 × . 2 9 27
解:原式=(

2

1 7 25 2 27 3 1 3 9 ) +100+( ) -3+49 2 × = +100+ -3+ + =100. 3 16 9 64 16 5 16
a ? 2 a ? 1 (a≥1).
2 2

1

2

1

3.计算 a ? 2 a ? 1 ?

解:原式= ( a ? 1 ? 1) ? ( a ? 1 ? 1) ?

a ? 1 ? 1? | a ? 1 ? 1 | (a≥1).

本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习. 4.设 a>0,x=

1 n ?n 2 (a -a ),则(x+ 1 ? x )n 的值为_______. 2

1

1

分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到 解:1+x2=1+

1 n ?n 2 1 n ?n 2 (a -a ) = (a +a ) . 4 4
2

1

1

1

1

这样先算出 1+x2,再算出 1 ? x ,
? ? ? 1 1 1 将 x= (a n -a n )代入 1+x2,得 1+x2=1+ (a n -a n )2= (a n +a n )2. 2 4 4
1 1

1

1

1

1

1

所以(x+ 1 ? x )n=[
2

? ? 1 n ?n 1 n ?n 2 n 1 1 (a -a )+ (a +a ) ] =[ (a n -a n )+ (a n +a n )]n=a. 2 4 2 2

1

1

1

1

1

1

1

答案:a 拓展提升 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂 2 活动:教师引导学生回顾无理数指数幂 5
2 3

的意义.

的意义的过程,利用计算器计算出 3 的近似值,取
3

它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算 2 近思想,“逼出” 2
3

的过剩近似值和不足近似值,利用逼

的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.

解:3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.

3 的过剩近似值
1.8 1.74 1.733 1.7321 1.73206
王灵聪

2

3

的过剩近似值

3 的不足近似值
1.7 1.73 1.731 1.7319 1.73204

2

3

的不足近似值

3.482202253 3.340351678 3.324183446 3.32211036 3.322018252

3.249009585 3.317278183 3.319578342 3.321649849 3.3219722
8

数学必修 1

第二章

基本初等函数(1)

1.732015 1.7320509 1.73205081

3.321997529 3.321997298 3.321997019

1.732049 1.7320507 1.73205079

3.321992923 3.321996838 3.321997045

我们把用 2 作底数, 3 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用 2 作底数,

3 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:

21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出 3 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 3 的近似 值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2α 会越来越趋近于同一个数,我们 把这个数记为 2
3

.
3

即 21.7<21.73<21.731<21.7319<…< 2 也就是说 2
3

<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.

是一个实数, 2

3

=3.321 997 …也可以这样解释:
3

当 3 的过剩近似值从大于 3 的方向逼近 3 时, 2 当 3 的不足近似值从小于 3 的方向逼近 3 时, 2 所以 2
3

的近似值从大于 2 的近似值从小于 2

3

的方向逼近 2 的方向逼近 2

3

; .

3

3

3

就 是 一 串 有 理 指 数 幂 21.7,21.73,21.731,21.7319,…, 和 另 一 串 有 理 指 数 幂
3

21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即 2

≈3.321 997.

课堂小结 (1)无理指数幂的意义. 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar·s=ar+s(a>0,r,s∈R). a r s ②(a ) =ars(a>0,r,s∈R). ③(a· r=arbr(a>0,b>0,r∈R). b) (3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂 的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本 堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的 思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.

9 王灵聪



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