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2.1.1 指数与指数幂的运算 第3课时



数学必修 1

第二章

基本初等函数(1)

第 3 课时

指数与指数幂的运算(三)

导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就 推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过

程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程 中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内 容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数 的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二 次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的 发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们 必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂, 因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2 =1.414 213 56…,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是 2 的什么近似值? 而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是 2 的什么近似值? ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

2 的过剩近似值 5
1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563

5

2

的近似值

11.18033989 9.82935328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.73817752

5

2

的近似值

2 的不足近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2
1

9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174
王灵聪

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基本初等函数(1)

9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5
2

1.414 213 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562

,根据你学过的知识,能作出判

断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解 释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2 的方向,另一方面从小于 2 的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨 论结果: ①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于

2 ,称 2 的不足近似值,而

1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于 2 ,称 2 的过剩近似值. ②第一个表:从大于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2 2

就从 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于 52

.
2

第二个表:从小于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2

就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于 5

2

.
2

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面 5 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…, 即 小 于 5 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于 5 即逼近 5
2 2 2

从 从
2

的方向接近 5
2

2

,而另一方面 5

2

的方向接近 5

,可以说从两个方向无限地接近 5

,

,所以 5

2

是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理

数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点 从两个方向向表示 5 是
王灵聪
2

的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 5 实 数 , 即 51.4<51.41<51.414<51.414

2

一定





2<51.414
2

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21<…<5

2

<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.
2

充分表明 5

是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 5
2

是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义: 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在 数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知 道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂. 提出问题 (1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? (2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? (3)你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. 对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个 确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. 讨论结果: (1)底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 aα 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造成 混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 aα 是一个确定的实数,就不会再造成混乱. (2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理 数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无 理数指数幂的运算法则: ①ar·s=ar+s(a>0,r,s 都是无理数). a r s ②(a ) =ars(a>0,r,s 都是无理数). ③(a· r=arbr(a>0,b>0,r 是无理数). b) (3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar·s=ar+s(a>0,r,s∈R). a r s ②(a ) =ars(a>0,r,s∈R). ③(a· r=arbr(a>0,b>0,r∈R). b) 应用示例 思路 1 例 1 利用函数计算器计算.(精确到 0.001) (1)0.3 ;(2)3.14 ;(3)3.1 ;