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2008年浙江省高中数学竞赛试卷2008.4.13



2008 年浙江省高中数学竞赛试卷 2008.4.13
一、选择题 (本大题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知集合 A ? y y ? x 2 ? 1, x ? R , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则下列正确的是( A. A B ? ? y y ? 1? , C. A ? B ? ? y ?2 ? y ? 1? B. A B ? ? y y ?

2? D. A ? B ? ? y y ? 2或y ? ?1?

?

?

?

?



解: 因为 A ? ? y y ? 1? , B ? ? x x ? 1, 或 x ? ?2? , 所以有 A B ? ? y y ? 1? , 正确答案为 A。 2.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ?
x ,则下列大小关系正确的是( lg x



A. f 2 ( x) ? f ( x2 ) ? f ( x) C.
f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x)

B. f ( x2 ) ? f 2 ( x) ? f ( x) D. f ( x2 ) ? f ( x) ? f 2 ( x)
2

? x ? x x2 2 解:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ? 0 , f (x ) ? ? 0 , f 2 ( x) ? ? ? ? 0。 2 lg x lg x ? lg x ?

又因为

x x2 2 x ? x 2 (2 ? x) x ? ? ? ? 0 。所以 f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x) 。 选 C。 2 lg x lg x 2lg x 2lg x

3.设 f ( x) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 有定义,则 a 的取值范围为 ( )

1 1 1 1 1 1 A. (??, ? ) ; B. [? , ] ; C. ( , ??) ; D. (??, ? ] ? [ , ??) 2 2 2 2 2 2
解: 函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域为 [a,1 ? a] ? [?a,1 ? a] 。 当 a ? 0 时, 应有 a ? 1 ? a ,
1 1 ;当 a ? 0 时,应有 ?a ? 1 ? a ,即 a ? ? 。 因此,选 B。 2 2 4 . 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ), 且 满 足

即a ?

( PB ? PA)(PB ? PA ? 2PC) ? 0 ,则△ABC 一定为(

)

A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 解 : 因 为 PB ? PA ? AB, PB ? PA ? 2PC ? CB ? CA , 所 以 已 知 条 件 可 改 写 为

AB ? (CB ? CA) ? 0 。容易得到此三角形为等腰三角形。

因此 选 D。

5.已知 f ? x ? ? x 2 ? ? a 2 ? b 2 ? 1? x ? a 2 ? 2ab ? b 2 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵 坐标的最大值是( A. 2 B. 2 ) C. 2 2 D. 4

解:由已知条件可知, a 2 ? b2 ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a 2 ? 2ab ? b2 。 令 a ? cos ? , b ? sin ? ,则

a2 ? 2ab ? b2 ? cos2 ? ? 2sin ? cos? ? sin 2 ? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 。因此 选 A。
6.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点, 动点 P 在圆锥底面内 (包括圆周) 。 若 AM⊥MP, 则 P 点形成的轨迹的长度为 ( ) A.

7

B.

7 2

C.

3

D.

3 2

解:建立空间直角坐标系。设 A(0,-1,0), B(0,1,0), S (0,0, 3) , M (0, 0,
3 3 ), MP ? ( x, y, ? ). 由于 AM⊥MP,所以 2 2

3 ) ,P(x,y,0).于 2

是有 AM ? (0,1,

(0,1,

3 3 3 ) ? ( x, y, ? ) ? 0 ,即 y ? ,此为 P 点形成的轨迹方程,其在底面圆盘内的长 4 2 2

3 7 度为 2 1 ? ( )2 ? 。 4 2

因此 选 B。

二、填空题 (本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. cos( 1 ? x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) = 。

解:根据题意要求, x2 ? 5x ? 6 ? 0 , 0 ? x 2 ? 5 x ? 7 ? 1。于是有 x 2 ? 5 x ? 7 ? 1 。因此
cos( 1 ? x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) ? cos 0 ? 1 。因此答案为 1。

8.设 a, b, c, d 为非负实数,满足
a?b b?c c?d d ?a ? ? ? = c?d a?d a?b b?c

a b c d ? ? ? ,则 b?c?d a?c?d a ?b?d a ?b?c


a b c d ? ? ? ,有 b?c?d a?c?d a ?b?d a ?b?c

解:显然 a ? b ? c ? d ? 0 ,由于

1 1 1 1 。于是有 a ? b ? c ? d ,故 ? ? ? b?c?d a?c?d a ?b?d a ?b?c a?b b?c c?d d ?a ? ? ? ?4。 c?d a?d a?b b?c

9.设 f ( x) ?

1 1 1 1 ? ? ,则 f ( x) ? f ( ) ? _________ 。 lg x lg x lg x 1? 2 1? 4 1? 8 x

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?3。 解: f ( x) ? f ( ) ? lg x lg x lg x ? lg x ? lg x x 1? 2 1? 4 1? 8 1? 2 1? 4 1 ? 8? lg x
10. 设实系数一元二次方程 x2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内,另一根在区间 (1, 2) 内,则
b?4 的取值范围是 a ?1



解: 根据题意,设两个相异的实根为 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则

1 ? x1 ? x2 ? ?a ? 3 , 0 ? x1 x2 ? 2b ? 2 ? 2 。
于是有 ?3 ? a ? ?1,1 ? b ? 2 ,也即有 ? 故有
1 1 1 ? ?? , 2 a ?1 4 ? 3 ? b ? 4 ? ?2 。

1 b?4 3 ?1 3? ? ? ,即取值范围为 ? , ? 。 2 a ?1 2 ?2 2?

11.已知 ? , ? ? R ,直线

x y x y ? ? 1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?

的交点在直线 y ? ? x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?



解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ? x0 ) ,且 sin ? , cos ? 为方程
x0 ? x0 ? ? 1, t ? sin ? t ? cos ?

的两个根,即为方程

t 2 ? (cos ? ? sin ? )t ? sin ? cos ? ? x0 (cos ? ? sin ? ) ? 0
的两个根。因此
sin ? ? cos ? ? ?(sin ? ? cos ? ) ,

即 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 0。

12.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上。AD 的长度的最小值为 。 解:设 AD ? x, ?ADE ? ? ,作△ADE 关于 DE 的对称图形,A 的对称点 G 落在 BC 上。在△DGB 中,

x sin

?
3

?

1? x

sin(2? ? ) 3

?

?x?

3

3 ? 2sin(2? ? ) 3

?

? 3 当 sin(2? ? ) ? 1 时,即 xmin ? ? 2 3 ? 3。 3 2? 3
三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤。 ) x2 y 2 4 13.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,其离心率为 ,两准线 5 a b 得分 评卷人
25 。 (1)求 a , b 之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为 2 椭圆 C 上的动点,以 A 为直角顶点,作等腰直角△ABP(字母 A, B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。

之间的距离为

解: (1)设 c 为椭圆的焦半径,则
c 4 a 2 25 ? , ? 。 a 5 c 4

于是有 a=5,b=3。 (2) 解法一:设 B 点坐标为 ( s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有

AB ? (s ? 6,) t , AP ? ( x ? 6,y)。
因为 AB ? AP ,所以有
(s ? 6,t) ( x ? 6,y) ? (s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。
又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y2 。

(A1 )

(A2 )

由(A1)推出 s ? 6 ? ?

ty t 2 y2 ,代入(A2) ,得 ? ( s ? 6)2 ? x?6 ( x ? 6)2
2 t2 ? (x ? 6)

2 从而有 y 2 ? ,即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。 (s ? 6)

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程
2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B( x1 , y1 ) , P( x, y), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方程为

? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?
设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为

? x1 ? 6 ? r cos ? , ? ? y1 ? r sin ?
P 点的参数表示为
0 ? ? x ? 6 ? r cos(90 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ,即 ? . ? 0 y ? ? r cos ? y ? r sin(90 ? ? ) ? ? ?

从上面两式,得到

? x1 ? 6 ? y 。 ? ? y1 ? x ? 6
又由于 B 点在椭圆上,可得
( x ? 6) 2 ( y ? 6) 2 ? ? 1。 9 25
此即为 P 点的轨迹方程。

得分

评卷人

14.求解不等式 x ? a ? x ? 1 ? 1 。
2

解: (I) x ? 1 情形。此时不等式为 x2 ? a ? x ? 2 。
于是有

? x2 ? a ? 0 2 ? x?2?0 ? x ? a。 (1) ? x?2 2 ? ? x ?a ? x?2

?

因此 当 a ? 0 时,有 1 ? x ? 2 ;当 0 ? a ? 1 时,有 1 ? x ? 2 ; 当 1 ? a ? 4 时,有 a ? x ? 2 ;当 a ? 4 时,空集。

? x2 ? a ? x2 ? a ? 0 ? ? ? x?2 x?2?0 ?? (2) ? 。 a 2 ? ? ? x ? a ? x ? 2 ? x ? ?1 ? 4
此时有 当 a ? 0 时,有 x ? 2 ;当 0 ? a ? 1 时,有 x ? 2 ;当 1 ? a ? 4 时,有 x ? 2 ;当 a ? 4 时,

x?

a ? 1。 4

(II) x ? 1 情形。此时不等式为 x2 ? a ? ? x 。
于是有

? x2 ? a ? 0 2 ? ? x ?a。 (3) ? ? x ? 0 x?0 2 ? ? x ? a ? ?x

?

因此 当 a ? 0 时,有 0 ? x ? 1 ;当 0 ? a ? 1 时,有 a ? x ? 1 ;当 a ? 1 时,空集。

? x2 ? a ? x2 ? a ? 0 ? ? (4) ? 。 ?x ? 0 ? ?x ? 0 2 2 2 ? ? x ? a ? ?x ? ?x ? a ? x
因此 当 a ? 0 时,有 x ? 0 ;当 a ? 0 时,空集。 综合(1)-(4)可得 当 a ? 0 时,有 x ? R ;当 0 ? a ? 4 时,有 x ?

a ;当 a ? 4 时, x ?

a ? 1。 4

得分

评卷人

15.设非负等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n
项和,证明: 1)若 m, n, p ? N * ,且 m ? n ? 2 p ,则
2007 1 1 ,则 ? ? 2008 。 1005 n ?1 S n

1 1 2 ? ? ; Sm Sn S p

2)若 a503 ?

解:设非负等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 0 ,公差为 d ? 0 。
(1)因为 m ? n ? 2 p ,所以 m2 ? n2 ? 2 p2 , p 2 ? mn , am ? an ? 2a p 。 从而有 (ap )2 ? am · an 。 因为 Sn ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ,所以有 2 2

S n ? S m ? (m ? n)a1 ?

n(n ? 1) ? m(m ? 1) d 2 n2 ? m2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d 2 2 p2 ? 2 p ? 2 pa1 ? d ? 2S p 2

Sn · Sm ?

n(a1 ? an ) m(a1 ? am ) mn 2 ? ? a1 ? a1 (am ? an ) ? am an ? 2 2 4
2

2 ? p(a1 ? a p ) ? p2 2 ? a1 ? 2a1a p ? a p a p ? ? ? ? ? ? ?Sp ? 4 2 ? ?

于是
1 1 S ? Sn 2S p 2 。 ? ? m ? ? Sm Sn Sm Sn SpSp Sp

(2 )
?1 1 ? ? 1 1 ? ?? ? ??? ? ?? n ?1 n ? S1 S 2007 ? ? S 2 S2006 ? 2*1003 ? 1 2007 ? ? S1004 S1004
2007

?S

1

? 1 1 ? 1 ?? ? ?? ? S1003 S1005 ? S1004

又因为 S1004 ? 1004a1 ?

1004· 1003 1004 d ? 1004(a1 ? 502d ) ? 1004a503 ? ,所以有 2 1005
2007 n ?1

?S

1
n

?

2007 2007 ? 1005 ? 2008. S1004 1004

四、附加题(本大题满分 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。选考 B 卷的学生选做本大题,不计入总分。 ) 16.设 ?1,?2 ,
k ?{1, 2,

,?2008 为 2008 个整数,且 1 ? ?i ? 9 ( i ? 1, 2,
, 2008} ,使得 2008 位数 ?k?k ?1 , 2008} ,2008 位数 ?i?i?1

, 2008 ) 。如果存在某个

?2008?1 ?k ?1 被 101 整除,试证明:对

一切 i ?{1, 2,

?2008?1 ?i?1 均能被 101 整除。
?2008 被 101 整除,只要能证

解: 根据已知条件,不妨设 k=1,即 2008 位数 ?1?2 明 2008 位数 ?2?3 事实上, A ? ?1?2

?2008?1 能被 101 整除。

?2008 ? 102007?1 ?102006?2 ?

?10?2007 ? ?2008 ,

B ? ?2?3

?2008?1 ? 102007?2 ?102006?3 ?

?10?2008 ? ?1

从而有 10 A ? B ? (102008 ?1)?1 ? [(104 )502 ?1]?1 ? [(9999 ? 1)502 ?1]?1 ? [9999N ? 1?1]?1 , 即有 B ? 10 A ? 9999 N?1 。 因为 101 A,101 9999 ,所以 101 B 。 利用上述方法依次类推可以得到 对一切 i ?{1, 2,
, 2008} ,2008 位数 ?i?i?1

?2008?1 ?i?1 均能被 101 整除。

17. 将 3k(k 为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石 子,而最后取完,则称这样的分法是“和谐的” 。试给出和谐分法的充分必要条 件,并加以证明。 解: 分法是和谐的 充分必要条件 是 最多一堆石子的个数不超过 k。 下面设五堆石子的个数分别为 a,b,c,d,e(其中 a ? b ? c ? d ? e ) 。 “必要性”的证明: 若分法是和谐的,则把 a 所对应的石子取完至少要取 a 次,这 a 次每次都要取走 3 个石子。如果 a ? k ,则 3a ? 3k ,即把 a 所对应的一堆取完时,需 取走的石子多于五堆石子的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过 k。 “充分性”的证明: (数学归纳法) (1) 当 k ? 1 时,满足“ a ? k ” 的分法只能是 1,1,1,0,0。显然这样的分法是 和谐的。 (2) 假设 k ? n 时,满足“ a ? k ” 的分法是和谐的。 (3) 当 k ? n ? 1 时,若 a ? n ? 1 ,且分法 a,b,c,d,e 是不和谐的,则分法 a-1,b-1,c -1, d, e 也是不和谐的。由(2)及必要性的证明,可知
max{a ? 1, b ? 1, c ? 1, d , e} ? n 。

因为 a ? b ? c ? d ? e ,所以 max{a ? 1, b ? 1, c ? 1, d , e} ? max{a ?1, d} ? n 。 若 a ? 1 ? d ,则有 a ? 1 ? n 。这与 a ? n ? 1 矛盾。 若 a ? 1 ? d ,则有 n ? d ? c ? b ? a ? n ? 1 ,从而有 a ? b ? c ? d ? n ? 1 ,于是有
3(n ? 1) ? a ? b ? c ? d ? e ? 4(n ? 1) ? e ,这是不可能的。矛盾。

因此当 a ? n ? 1 时,分法 a,b,c,d,e 是和谐的。



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