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第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系


第4讲
一、知识梳理

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元 二次方程的判别式为 Δ. 法位置关系 几何法 相 交 d<r 相 切 d=r 相 离 d>r 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 2 2 2 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0). 方 法位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 二、要点整合 1.辨明两个易误点 (1)对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不 存在的情形. (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形. 2.求圆的弦长的常用方法 ? l ?2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则?2? =r2-d2. ? ? (2)代数法:运用根与系数的关系及弦长公式: 设直线与圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]. 注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. 方 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0

几何法:圆心距 d 与 r1, 代数法:两圆方程联立组 r2 的关系 成方程组的解的情况 d>r1+r2 无解 d=r1+r2 一组实数解 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解 d=|r1-r2| 一组实数解 (r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解

三、双基自测 1.(必修 2 P132 习题 4.2 A 组 T1 改编)直线 l:x+ 3y-4=0 与圆 C:x2+ y2=4 的位置关系是( A.相交过圆心 C.相切 ) B.相交不过圆心 D.相离

|-4| 解析:选 C.圆心坐标为(0,0),圆心到直线 l 的距离 d= 2 =2=r,所以 直线 l 与圆 C 相切.故选 C. 2.若直线 x-y=2 被圆(x-a)2+y2=4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值 为( ) A.-1 或 3 C.-2 或 6 B.1 或 3 D.0 或 4 |a-2| ?2 2?2 ?|a-2|? ? ? +? ,则? ? 2 ? 2 ? 2 ?

解析:选 D.圆心(a,0)到直线 x-y=2 的距离 d= 2 =22,所以 a=0 或 4,故选 D.

3.圆 Q:x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

)

解析:选 D.因点 P 在圆上,且圆心 Q 的坐标为(2,0), 所以 kPQ= - 3 3 =- 3,所以切线斜率 k= 3 , 2-1

3 所以切线方程为 y- 3= 3 (x-1), 即 x- 3y+2=0. 4.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则实数 m= ________. 解析:圆 C1 的圆心是原点(0,0),半径 r1=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=25 -m, 圆心 C2(3, 4), 半径 r2= 25-m, 由两圆外切, 得|C1C2|=r1+r2=1+ 25-m =5,所以 m=9. 答案:9 5.(必修 2 P133 习题 4.2 A 组 T9 改编)圆 x2+y2-4=0 与圆 x2+y2-4x+4y -12=0 的公共弦长为________.

2 2 ?x +y -4=0, ? 解析:由 2 2 得 x-y+2=0. ?x +y -4x+4y-12=0,

又圆 x2+y2=4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 长的一半为 4-2= 2, 所以所求弦长为 2 2. 答案:2 2 四、典例剖析 考点一 直线与圆的位置关系

2 = 2.由勾股定理得弦 2

(1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 2 2 (2)(2016· 大连模拟)圆 x +y =1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是 k∈________. [解析] (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外, |a·0+b· 0-1| 所以 a2+b2>1,从而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= = 2 a +b2 1 <1, a +b2
2

所以直线与圆相交. (2)法一:将直线方程代入圆的方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,直线与圆没 有公共点的充要条件是 Δ=16k2-12(k2+1)<0,解得 k∈(- 3, 3). 法二:圆心(0,0)到直线 y=kx+2 的距离 d= 2 ,直线与圆没有公共点 k +1
2

的充要条件是 d>1,即 [答案]

2 >1,解得 k∈(- 3, 3). k +1
2

(1)B (2)(- 3, 3)

若将本例(1)的条件改为“点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 上”, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系如何? 解:由点 M 在圆上,得 a2+b2=1,所以圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d



1 =1,则直线与圆 O 相切. a +b2
2

判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程后利用 Δ 判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆 相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 1.(1)直线 l:mx-y+1-m=0 与圆 C:x2+(y-1)2=5 的位置关 系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2 (2)(2016· 聊城模拟)圆(x-3) +(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等 于 1 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ?mx-y+1-m=0, 解析:(1)选 A.法一:由? 2 消去 y,整理得(1+m2)x2-2m2x 2 ?x +(y-1) =5, +m2-5=0, 因为 Δ=16m2+20>0,所以直线 l 与圆相交. 法二:由题意知,圆心(0,1)到直线 l 的距离 d= |m| <1< 5,故直线 l m2+1

与圆相交. 法三:直线 l:mx-y+1-m=0 过定点(1,1),因为点(1,1)在圆 x2+(y- 1)2=5 的内部,所以直线 l 与圆相交. |9+12-11| (2)选 C.因为圆心到直线的距离为 =2,又因为圆的半径为 3,所 5 以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

考点二 圆与圆的位置关系[学生用书 P161]

分别求当实数 k 为何值时,两圆 C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2: x2+y2-2x-14y+k=0 相交和相切. [解] 将两圆的一般方程化为标准方程,得 C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k, 则圆 C1 的圆心为 C1(-2,3),半径 r1=1; 圆 C2 的圆心为 C2(1,7),半径 r2= 50-k,k<50. 从而|C1C2|= (-2-1)2+(3-7)2=5. 当| 50-k-1|<5< 50-k+1, 即 4< 50-k<6, 即 14<k<34 时,两圆相交. 当 1+ 50-k=5,即 k=34 时,两圆外切;当| 50-k-1|=5,即 k=14 时,两圆内切.所以当 k=14 或 k=34 时,两圆相切. (1)判断两圆位置关系的方法 常用几何法, 即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用 代数法. (2)两圆公共弦长的求法 l 两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长2,半径 r 所在线段构 成直角三角形,利用勾股定理求解. 2.(1)圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+4 =0 的公切线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 (2)(2016· 郑州质检)若⊙O1:x +y2=5 与⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交 于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. 解析:(1)圆 C1:(x+1)2+(y+1)2=4, 所以圆心 C1(-1,-1),半径长 r1=2; 圆 C2:(x-2)2+(y-1)2=1, 所以圆心 C2(2,1),半径长 r2=1. 所以 d= (-1-2)2+(-1-1)2= 13, r1+r2=3, 所以 d>r1+r2,所以两圆外离, 所以两圆有 4 条公切线. (2)由两圆在点 A 处的切线互相垂直,可知两切线分别过另一圆的圆心,即

AO1⊥AO2,在直角三角形 AO1O2 中,(2 5)2+( 5)2=m2,所以 m=± 5,|AB|= 2 5× 5 2× =4. 5 答案:(1)D (2)4 考点三 与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)[学生用书 P161] 与圆有关的切线及弦长问题,是近年来高考的一个热点,多以选择题、填空 题的形式呈现,试题难度不大,多为中、低档题目. 高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下四个命题角度: (1)求圆的切线方程; (2)求弦长; (3)与切线长有关的问题; (4)由弦长及切线问题求参数. (1)(2015· 高考重庆卷)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则 该圆在点 P 处的切线方程为________. (2)(2015· 高考湖南卷)若直线 3x-4y+5=0 与圆 x2+y2=r2(r>0)相交于 A,B 两点,且∠AOB=120°(O 为坐标原点),则 r=________. [解析] (1)因为以原点 O 为圆心的圆过点 P(1,2), 所以圆的方程为 x2+y2=5. 1 因为 kOP=2,所以 切线的斜率 k=-2. 1 由点斜式可得切线方程为 y-2=-2(x-1), 即 x+2y-5=0. (2)

如图,过点 O 作 OD⊥AB 于点 D,则|OD|= 因为 ∠AOB=120°,OA=OB, 所以∠OBD=30°, 所以|OB|=2|OD|=2,即 r=2. [答案] (1)x+2y-5=0 (2)2

5 =1. 3 +(-4)2
2

解决直线与圆综合问题的常用结论 (1)圆与直线 l 相切的情形:圆心到 l 的距离等于半径,圆心与切点的连线垂

直于 l. (2)圆与直线 l 相交的情形:①圆心到 l 的距离小于半径,过圆心且垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦; ②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦; ③过圆内一点的所有弦中, 最短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的 是过这点的直径. 3.(1)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点, 若|MN|≥2 3,则 k 的取值范围是( ? 3 ? A.?-4,0? ? ? )

? 3 3? B.?- , ? 3? ? 3 ? 2 ? C.[- 3, 3] D.?-3,0? ? ? 2 2 (2)(2016· 云南省统一考试)已知圆 O: x +y =1, 直线 x-2y+5=0 上动点 P, 过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则|PA|的最小值为________. 解析:

(1)如图,设圆心 C(2,3)到直线 y=kx+3 的距离为 d,若|MN|≥2 3, ?1 ?2 则 d2=r2-?2|MN|? ≤4-3=1, ? ? |2k|2 即 ≤1, 1+k2 3 3 解得- 3 ≤k≤ 3 . (2)过 O 作 OP 垂直于直线 x-2y+5=0,过 P 作圆 O 的切线 PA,连接 OA, 易知此时|PA|的值最小.由点到直线的距离公式,得|OP|= 又|OA|=1,所以|PA|= |OP|2-|OA|2=2. 答案:(1)B (2)2 |1×0-2×0+5| = 5. 12+22

五、素养提升

交汇创新——与圆有关的交汇问题 (2015· 高考山东卷)一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆 2 (x+3) +(y-2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) 5 3 3 2 A.-3或-5 B.-2或-3 5 4 4 3 C.-4或-5 D.-3或-4 [解析] 由已知,得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线 与反射光线的对称性,知反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜 率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反
2

射光线与圆相切,则有 d= D. [答案] D

|-3k-2-2k-3| 4 3 =1,解得 k=-3或 k=-4,故选 2 k +1

(1)本题是圆与物理知识的交汇, 圆还常与集合问题、 线性规划、 不等式、向量相交汇等. (2)解决此类创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目所给条件, 结合题目要求进行恰当转化,将问题转化为熟知的问题解决. 1.(2015· 高考山东卷)过点 P(1, 3)作圆 x2+y2=1 的两条切线, → ·PB → =________. 切点分别为 A,B,则PA 解析:

如图所示,可知 OA⊥AP,OB⊥BP, OP= 1+3=2,又 OA=OB=1,可以 → ·PB → = 3× 3×cos 60°=3. 求得 AP=BP= 3,∠APB=60°,故PA 2 3 答案:2 2.设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是________. 解 析 : 圆 心 (1 , 1) 到 直 线 (m + 1)x + (n + 1)y - 2 = 0 的 距 离 为 |m+n| 1 所以 m+n+1=mn≤4(m+n)2, 所以 m+n≥2+2 2 2 2=1, (m+1) +(n+1)

或 m+n≤2-2 2. 答案:(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)


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