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广东省佛山南海九学中学高三第二轮专题复习资料:数列的题型与方法(文科)



专题二:数列的题型与方法(文科)
一、 考点回顾 1.数列的概念,数列的通项公式与递推关系式,等差数列和等比数列的概念、有 关公式和性质。 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 a n ? a n ?1 ( a n / a n ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 a n ? a1 ? ( n ?

1) d ? a k ? ( n ? k ) d ,则 ? a n ? 为等差数列; ②若 ③中项公式法:验证 ,则 ? a n ? 为等比数列; 都成立。

3.在等差数列 ? a n ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当 a1 ? 0 ,d<0 时,满足

的项数 m 使得 S m 取最大值.

(2)当 a1 ? 0 ,d>0 时,满足

的项数 m 使得 S m 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、 累加累积法、归纳猜想证明法等。 5.数列的综合应用: ⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。 6.注意事项: ⑴证明数列 ?a n ? 是等差或等比数列常用定义,即通过证明 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 或
a n ?1 an ? an a n ?1

而得。

⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活 地运用性质,可使运算简便。 ⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意 s n 与 a n 之间关系的转化。如:
an =
s1 ,
n ?1

s n ? s n ?1 , n ? 2

, a n = a1 ?

?
k?2

n

( a k ? a k ?1 ) .

⑹数列的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列的概念和 性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. ⑺解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本 质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. ⑻通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解 综合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力.

7.知识网络
? ?数 列 的 分 类 ? 数列 ? ?数 列 的 通 项 公 式 ? 函 数 角 度 理 解 ? 的概念 ? ? ?数 列 的 递 推 关 系 ? ? ? ? 等 差 数 列 的 定 义 a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 ) ? ? ? ? ? ? 等 差 数 列 的 通 项 公 式 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? ? ?等 差 数 列 ? n n ( n ? 1) ? d ? ? 等 差 数 列 的 求 和 公 式 S n ? ( a1 ? a n ) ? n a1 ? ? 2 2 ? ? ? ? ?等 差 数 列 的 性 质 an ? am ? a p ? aq (m ? n ? p ? q ) ? ? ? ?两 个 基 ? an ? 等比数列的定义 ? q (n ? 2) ? ? ? 本数列 a n ?1 ? ? ? n ?1 ? ? ? 等 比 数 列 的 通 项 公 式 a n ? a1 q ? ? ? n a 1 (1 ? q ) ? a1 ? a n q ? ?等 比 数 列 ? 数列 ? ? ( q ? 1) ? ?等 比 数 列 的 求 和 公 式 S ? ? 1 ? q 1? q ? n ? ? ? ? n a ( q ? 1) ? ? 1 ? ? ? ? ?等 比 数 列 的 性 质 a a ? a a (m ? n ? p ? q ) n m p q ? ? ? ? ?公 式 法 ? ? ? 分组求和 ? ? ?错 位 相 减 求 和 ? 数列 ? ? ?裂 项 求 和 ?求 和 ?倒 序 相 加 求 和 ? ? ? ?累 加 累 积 ? ? ? ?归 纳 猜 想 证 明 ? ?分 期 付 款 ? 数列的应用? ? ?其 他 ?

二、

经典例题剖析

考点一:等差、等比数列的概念与性质 例题 1. (山东省滨州市 2007 年高三第三次复习质量检测)已知等比数列 { a n }中 , a 2 , a 3 , a 4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且 a 1 ? 64 , 公比 q ? 1 (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)设 b n ? log
2

a n ,求数列 {| b n |}的前 n 项和 T n .

解析:(I)依题意 a 2 ? a 4 ? 3 ( a 3 ? a 4 ), 即 2 a 4 ? 3 a 2 ? a 2 ? 0
? 2 a1 q ? 3a1 q ? a1 q ? 0
3 3

? 2q

2

? 3 q ? 1 ? 0 ? q ? 1或 q ? ? q ? 1 2

1 2

? q ?1

1 n ?1 故 a n ? 64 ? ( ) 2

(II) b n ? log 2 [ 64 ? ( )
2

1

n ?1

] ? log

2

2

7?n

? 7 ? n

?7 ? n ?| b n | ? ? ?n ? 7

n ? 7 n ? 7
(6 ? 7 ? n ) 2 2 ? n (13 ? n ) n ? 21 ? ( n ? 6 )( n ? 7 ) 2

? 当 n ? 7 时 , | b 1 |? 6 , T n ?

当 n ? 7 时 , | b 8 | ? 1, T n ? T 7 ?

(1 ? n ? 7 )( n ? 7 )

? Tn

? n (13 ? n ) (n ? 7) ? ? 2 ? ? ? ( n ? 6 )( n ? 7 ) ? 21 ( n ? 7 ) ? 2 ?

点评:本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和,本题还考查了转化的思想。 例题 2. (2007 年湖南省长郡中学第二次月考)设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 ?S n ? 是首 项为 1,各项均为正数且公比为 q 的等比数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (2)试比较 a n ? a n ? 2 与 2 a n ? 1 ( n ? N ? ) 的大小,并证明你的结论. 解析:(Ⅰ)∵ ?S n ? 是各项均为正数的等比数列. ∴S
?q
n ?1

n

( q ? 0) .

当 n=1 时,a1=1, 当 n ?

2时 , a n ? S n ? S n ?1 ? ( q ? 1) q

n?2

.

∴ an

( n ? 1) ?1 。 ? ? n?2 (n ? 2) ? ( q ? 1) q

(Ⅱ)当 n=1 时,
a 1 ? a 3 ? 2 a 2 ? S 1 ? S 1 ( q ? 1) q ? 2 S 1 ( q ? 1) ? [( q ? 3 2 ) ?
2

1 4

] ? 0.

∴ a1

? a3 ? 2a2
n ?1

∴当 n

? 2时 , a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? S 1 ( q ? 1) q
? 0.

n?2

? S 1 ( q ? 1) q

n

? 2 S 1 ( q ? 1) q

? ( q ? 1) q
3

n?2

∵ q ? 0, q n ? 2

①当 q=1 时, ( q ? 1) 3 ②当 0 ? q ? 1时 ,

? 0 ,? a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 .

( q ? 1) ? 0 ,? a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 .
3

③当 q ? 1时 , 综上可知: 当n 若0 若q

( q ? 1) ? 0 ,? a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 .
3

当 n=1 时, a 1 ? a 3

? 2a2

? 2时 , 若 q ? 1, 则 a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ;
? q ? 1, 则 a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ;
? 1, 则 a n ? a n ? 2 ? 2 a n ? 1 .

点评:本题考查了等比数列的基本知识,还要注意分类讨论。 考点二:求数列的通项与求和 例题 3. (2007 年 5 月湖北省十一校).已知数列 { a n } 中各项为:
1 ?? 2 12、1122、111222、??、 1 ?? ??1 2 ?? ?? 2 ???? ? ? ??? ?? ?
个n 个n

??

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前 n 项之和 Sn . 解析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。 答案:(1) a n ?
1 9
1 9
n n

(1 0 ? 1) ? 1 0 ?
n n

2 9

? (1 0 ? 1)
n

?

(1 0 ? 1) ? (1 0 ? 2 ) ? (

10 ? 1
n

)?(

10 ? 1
n

? 1)

3

3

记:A =

10 ? 1
n

,

3

3 则 A= 3 ?? ??3 为整数 ? ??? ?? ?
n



?

a n = A (A+1) ,
1 9 10
2
2n

得证
1 9
4

(2) ? a n ?
Sn ? ? 1 891 1 9

?

10

n

?

2 9
2n

(1 0 ? 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0
2n?2

)?

1 9

(1 0 ? 1 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ) ?
2 n

2 9

n

(1 0

? 1 1 ?1 0

n ?1

? 198n ? 210)

点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此 题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例题 4. (云南省 2007 年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知 S n 是数列{ a n }的前 n 项和, 并且 a 1 =1,对任意正整数 n, S n ?1 ? 4 a n ? 2 ;设 b n ? a n ? 1 ? 2 a n ( n ? 1, 2 ,3 , ? ).

(I)证明数列 {b n } 是等比数列,并求 {b n } 的通项公式; (II)设 C n ?
bn 3 , T n 为数列 { 1 log
2

C n ? 1 ? log

2

C n?2

} 的前 n 项和,求 T n .

解析:(I)? S n ? 1 ? 4 a n ? 2 ,? S n ? 4 a n ?1 ? 2 ( n ? 2 ), 两式相减: a n ? 1 ? 4 a n ? 4 a n ?1 ( n ? 2 ),
? a
n ? 1 ? 1

? 4(a ? a

n

? a

n ? 1

)( n ? 2 ), ? b n ? 4(a
n ? 1

? a
n

n ? 1

? 2a
n ? 1

n

,
? 1

? bn

n ? 2

? 2a

n ? 1

? a

) ? 2a

,bn

? 2(a

n ? 1

? 2a

n

) ? 2 b n ( n ? N *),

?

b n ?1 bn

? 2,

? { b n } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a 2 ? 2 a 1 , 而 a 1 ? a 2 ? 4 a 1 ? 2 ,? a 2 ? 3 a 1 ? 2 ? 5 , b1 ? 5 ? 2 ? 3 ,
? bn ? 3 ? 2
n ?1

( n ? N *)

(II) C n ?

bn 3

? 2

n ?1

,

? log
2

1 C n ? 1 ? log
1 n
1 2
2

? C n?2
1 n ?1
)? (

1 log
2

2 ? log
n

2

2

n ?1

?

1 n ( n ? 1)

,



1 n ( n ? 1)

?

?

,

? T n ? (1 ?

1 2

?

1 3

)? (

1 3

?

1 4

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

) ?1?

1 n ?1

.

点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 ?a n ? 的通项 a n ,第 二问求和用到裂项的办法求和。 考点三:数列与不等式的联系 例题 5.(2007 年 5 月莆田四中)已知 ? 为锐角,且 tan ? ? 函数 f ( x ) ? x tan 2 ? ? x ? sin( 2 ? ?
2

2 ?1,
1 2 , a n ?1 ? f ( a n ) .

?
4

) ,数列{an}的首项 a 1 ?

⑴ 求函数 f ( x ) 的表达式; ⑵ 求证: a n ?1 ? a n ;

⑶ 求证: 1 ?

1 1 ? a1

?

1 1 ? a2

?? ?

1 1 ? an

? 2 (n ? 2 , n ? N )
*

解析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是 转化成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。 答案:解:⑴ tan 2 ? ?
?
4
2 ⑵ a n ?1 ? a n ? a n

2 tan ? 1 ? tan
2

?

?

2( 1? (

2 ? 1) 2 ? 1)
2

?1

又∵ ? 为锐角

∴ 2? ?

∴ sin( 2 ? ?

?
4

) ?1

f ( x) ? x ? x
2

∵ a1 ?

1 2

∴ a 2 , a 3 , ? a n 都大于 0

2 ∴an ? 0

∴ a n ?1 ? a n
1 ? 1 a n (1 ? a n ) 1 a n ?1 1 1 ? a2 ? 2? ?? ? 1 1 ? an ? 1 a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ?? ? 1 an ? 1 a n ?1 ? 1 an ? 1 1 ? an



1 a n ?1

?

an ? an
2



1 1 ? an 1 1 ? a1 1 a1 ?

?

1 an

?



?

?

1 a n ?1
1

1 a n ?1

∵a2 ? ( ) ?
2

1 2

?

3 4

2

, a3 ? ( ) ?
2

3 4

3 4

?1 ,

又∵ n ? 2 a n ?1 ? a n

∴ a n ?1 ? a 3 ? 1

∴1 ? 2 ?

1 a n ?1

? 2

∴1 ?

1 1 ? a1

?

1 1 ? a2

?? ?

1 1 ? an

? 2

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式所 给的式子更具有一般性。 例 题 6. ( 东 城 区
n

2007

年 检 测 ) 已 知 数 列

?x n ? 满 足


3 1 ? 1? * x n ? 1 ? x n ? ? ? ? , n ? N , 且 x 1 ? 1 .设 a n ? xn ? , 4 2 ? 2?

T 2 n ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) a 2 n ?1 ? 2 na 2 n .

(Ⅰ)求 x n 的表达式;

(Ⅱ)求 T 2 n ; (Ⅲ)若 Q n ? 1 ?
3n ? 1 ( 2 n ? 1)
2

( n ? N ) ,试比较 9 T 2 n 与 Q n 的大小,并说明理由.
*

解析:(I)? x n ? 1 ? x n ? ( ?

1 2

) ,

n

? x n ? x 1 ? ( x 2 ? x 1 ) ? ( x 3 ? x 2 ) ? ? ? ( x n ? x n ?1 ) ? 1 ? (? 1 2 ) ? (? 1 2 ) ? ? ? (?
2

1 2

)

n ?1

1 ? (? ? 1 ? (?

1 2 1 2

) )
n ?1

1? 1? ? ? ?? ? 3 3? 2? 2

当 n ? 1 时上式也成立,
? xn 1? 1? ? ? ?? ? 3 3? 2? 2 3 4 1 2
n ?1

( n ? N ).
*

(Ⅱ) a n ?

xn ?

?

1? 1? ?? ? 4? 2?

n ?1

? 1? ? ?? ? ? 2?

n ?1

.

? T 2 n ? a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? ( 2 n ? 1) a 2 n ?1 ? 2 na 2 n
? 1? ? ?? ? ? 2? 1
2

? 1? ? 1? ? 2 ? ? ? ? 3? ? ? ? 2? ? 2?
3 4

3

4

? 1? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? ? ? 2?
5

2n

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?
2 n ?1

2 n ?1


2n?2

??

?1? ? 1? T2n ? ? ? ? 2? ? ? 2 ?2? ? 2?

? 1? ? 1? ? 3 ? ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? ? ? 2? ? 2?

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?

② ①—②,得
3 2 T2n ? 1? ? ?? ? ? 2?
2

? 1? ? 1? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? 2? ? 2?
2n

3

2 n ?1

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?

2n?2

?

3 2

T2n ?

1 ? ? 1? ?1 ? ? ? ? 4 ? ? 2? ? 1? 1 2

? ? ? ?

? 1? ? 2n? ? ? ? 2?

2n?2

1? 1? ? ? ?? ? 6 6? 2? 1

2n

n? 1? ? ?? ? 2? 2?

2n

.

T2n ?

1 9

?

1? 1? ?? ? 9? 2?

2n

?

n? 1? ?? ? 3? 2?
3n ? 1 2
2n

2n

?

1? 3n ? 1 ? ?1 ? ?. 2n 9? 2 ?
3n ? 1 (2n ? )
2

(Ⅲ)由(Ⅱ)可得 9 T 2 n ? 1 ?

.又Q n ? 1 ?

当 n ? 1时 , 2 2 n ? 4 , ( 2 n ? 1) 2 ? 9 ,? 9 T 2 n ? Q n ; 当 n ? 2时 , 2 2 n ? 16 , ( 2 n ? 1) 2 ? 25 ,? 9 T 2 n ? Q n ;
1 当 n ? 3时 , 2 2 n ? [( 1 ? 1) n ] 2 ? ( C n0 ? C n ? C n2 ? ? ? C nn ) 2 ? ( 2 n ? 1) 2 .

? 9T 2 n ? Q n .

综上所述,当 n ? 1, 2时 ,9 T 2 n ? Qn ; 当 n ? 3时 ,9 T 2 n ? Qn . 点评:比较大小的常见的办法是做差,但关键在于和零比较,要注意在不同的条件下有不同 的结果,也就是要根据分类讨论。 例题 7.(2007 年 5 月 2007 浙江省五校) 已知函数 f ( x ) ? x ? ln ? 1 ? x ? ,数列 ? a n ? 满足
0 ? a1 ? 1 ,

a n ? 1 ? f ? a n ? ; 数列 ? b n ? 满足 b1 ?

1 2

, bn ?1 ?

1 2

( n ? 1) b n , n ? N .求证:
*

(Ⅰ) 0 ? a n ? 1 ? a n ? 1; (Ⅱ) a n ? 1 ?
an 2
2

;

(Ⅲ)若 a 1 ?

2 2

, 则当 n≥2 时, b n ? a n ? n ! .

解析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数 的单调性;第(3)问进行放缩。 答案:解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明 0 ? a n ? 1 , n ? N * . (1)当 n=1 时,由已知得结论成立; (2)假设当 n=k 时,结论成立,即 0 ? a k ? 1 .则当 n=k+1 时, 因为 0<x<1 时, f ? ( x ) ? 1 ?
1 x ?1 ? x x ?1 ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.

又 f(x)在 ? 0,1? 上连续,所以 f(0)<f( a k )<f(1),即 0< a k ? 1 ? 1 ? ln 2 ? 1 . 故当 n=k+1 时,结论也成立. 即 0 ? a n ? 1 对于一切正整数都成立.

又由 0 ? a n ? 1 , 得 a n ?1 ? a n ? a n ? ln ?1 ? a n ? ? a n ? ? ln(1 ? a n ) ? 0 ,从而 a n ? 1 ? a n . 综上可知 0 ? a n ? 1 ? a n ? 1.
x
2

(Ⅱ)构造函数 g(x)=

-f(x)=

x

2

? ln (1 ? x ) ? x , 0<x<1,

2
x
2

2

由 g ?( x ) ?

1? x

? 0 ,知 g(x)在(0,1)上增函数.

又 g(x)在 ? 0,1? 上连续,所以 g(x)>g(0)=0. 因为 0 ? a n ? 1 ,所以 g ? a n ? ? 0 ,即
1 2 1 2

an 2

2

? f

? a n ? >0,从而 a n ? 1
b n ?1 bn
n ?1 2

?

an 2

2

.

(Ⅲ) 因为 b1 ?

, bn ?1 ?

( n ? 1) b n ,所以 b n ? 0 ,

?

,

所以 b n ?

bn

?

b n ?1

?

b2 b1

b n ?1 b n ? 2
an 2
2

? b1 ?

1 2
n

?n!

————① ,

由(Ⅱ) a n ? 1 ?

, 知:

a n ?1 an

?

an 2

,

所以

an a1

=

a2 a1

?

a3 a2

?

an a n ?1

?

a1 a 2 2 2

?

a n ?1 2

,

因为 a 1 ?

2 2

, n≥2, 0 ? a n ? 1 ? a n ? 1.
n

所以 a n ?

a1 a 2 2 2

?

a n ?1 2

? a1 <

a1 2

n ?1

<

2 ? a1 2
n

2

=

1 2
n

————② .

由①② 两式可知: b n ? a n ? n ! . 点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注 意。 考点四:数列与函数、向量、概率等的联系 例 题 8. ( 四 川 省 南 充 高 级 中 学 2008 届 十 月 份 月 考 ) 无 穷 数 列 { a n } 的 前 n 项 和
S n ? npa n ( n ? N ) ,并且 a 1 ≠ a 2 .
*

(1)求 p 的值; (2)求 { a n } 的通项公式; (3)作函数 f ( x ) ? a 2 x ? a 3 x 2 ? ? ? a n ? 1 x n ,如果 S 10 ? 45 ,证明: f ( ) ?
3 1 1 4



解析:(1)∵

a 1 ? S 1 ? pa 1



a 1 ? 0 ,且 p=1,或 a 1 ? 0 .

若是 a 1 ? 0 ,且 p=1,则由 a 1 ? a 2 ? S 2 ? 2 pa 2 . ∴
a 1 ? a 2 ,矛盾.故不可能是: a 1 ? 0 ,且 p=1.由 a 1 ? 0 ,得 a 2 ? 0 .
p ? 1 2 1 2 na n ,

又 a 1 ? a 2 ? S 2 ? 2 pa 2 ,∴ (2)∵
S n ?1 ? 1 2

. ∴
a n ?1 ? 1 2 ( n ? 1) a n ? 1 ? 1 2 na n .

( n ? 1) a n ? 1 , S n ?

( n ? 1) a n ?1 ? na n .

当 k≥2 时, ∴

a k ?1 ak

?

k k ?1 an a n ?1


a n ?1 an?2

n≥3 时有 a n ?

?

?? ?

a3 a2

? a2

?

n ?1 n?2

?

n?2 n?3

?? ? ? a 2
1

2

? ( n ? 1) a 2 .

∴ 对一切 n ? N * 有: a n ? ( n ? 1) a 2 . (3)∵
45 ? S 10 ? 10 ? 1 2 ? a 10 ? 45 a 2 ,



a2 ? 1.

a n ? n ? 1( n ? N ) .
*

故 f ( x ) ? x ? 2 x 2 ? ? ? nx n . 又3 ? f ( ) ?
3 1 1 2 3 1 ? 3 3
2

∴ .

1 1 2 n f ( ) ? ? 2 ?? ? n . 3 3 3 3

?? ? 3 1

n
n ?1

1



2? f( ) ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? 2 ? 3 ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 f( )? . 3 4

1

n

1

1

1

3 1? 1 3

?

1 2





点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。 例题 9.(重庆市渝西中学 2008 届高中三年级第一次模拟考试)已知定义域为 R 的二次函 数 f ? x ? 的最小值为 0 且有 f ? 1 ? x ? ? f ? 1 ? x ? ,直线 g ? x ? ? 4 ? x ? 1 ? 被 f ? x ? 的图象截 得的弦长为 4 1 7 ,数列 ? a n ? 满足 a1 (1)求函数 f ? x ? 的表达式;
?3? (2)求证 a n ? ? ? ?4?
n ?1

? 2, ? a n ? 1 ? a n ? g ? a n ? ? f ? a n ? ? 0 ? n ? N

?

?,

?1;

(3)设 bn ? 3 f ? a n ? ? g ? a n ?1 ? ,求数列 ? b n ? 的最值及相应的 n 。 解析:第(2)问实际上是求数列的通项;第(2)问利用二次函数中求最值的方式来解决。 答案:解:(1)设 f ? x ? ? a ? x ? 1 ? ? a ? 0 ? ,则两图象交点为 ? 1, 0 ? , ? ?
2

4

?a

? 1,

16 ? ? a ?

4 16 ∵ ? ? ? ? ? ? 4 17 ? a ? 0 ? ? ? ? ? ?a ? ? a ?

2

2

∴ a ? 1, f ? x ? ? ? x ? 1 ?

2

(2) f ? a n ? ? ? a n ? 1 ? , g ? a n ? ? 4 ? a n ? 1 ?
2

∵ ? a n ?1 ? a n ? ? 4 ? a n ? 1 ? ? ? a n ? 1 ? ? 0
2

∴ ? a n ? 1 ? ? ? 4 a n ?1 ? 3 a n ? 1 ? ? 0 ∵ a1 ? 2
an ? 1 ? 1

∴ a n ? 1 ? n ? N ? ? , 故 4 a n ? 1 ? 3a n ? 1 ?

0

∴ a n ?1 ? 1 ?

3 4

? an

? 1?



数列 ? a n ? 1? 是首项为 1,公差为
3 ∴ an ? 1 ? ? ? ? ? ?4?
n ?1

3 4

的等差数列

, an ? ? ?

3? ? ?4?

n ?1

?1

(3) b n ? 3 ? a n ? 1 ? ? 4 ? a n ? 1
2
n ?1

?? 3 ? ? 1? ? 3 ?? ? ?? 4 ? ?

n ?1

? ?3? ? ? 4? ? ?4? ? ?

2

n

?3? 令 bn ? y , u ? ? ? ?4? ? ?

则 y ? 3u 2 ? 3u ? 3 ? u ? ∴ u 的值分别为 1, 经比较
9 16 3 9

1? 3 ? ? 2? 4

2

∵n ? N ?

,

,

27

,?

4 16 64



1 2

最近
189 256

当 n ? 3 时, b n 有最小值是 ?

,当 n ? 1 时, b n 有最小值是 0 。

点评:本题二次函数、不等式知识的交汇题,要解决好这类题是要有一定的数学素养的。 例题 10.(云南省 2007 年第一次高中毕业生复习统一检测)某人抛掷一枚硬币,出现正面、 反 面 的 概 率 均
) )



1 2

.构

造 {a n } 数

列 ,

使



?1 an ? ? ?? 1

(当第 n 次出现正面时 (当第 n 次出现反面时

, 记 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ( n ? N ).
*

(I)求 S4=2 的概率; (II)若前两次均出现正面,求 2 ? S 6 ? 4 的概率. 解析:解:(I)若 S4=2,则需 4 次中有 3 次正面 1 次反面,设概率为 P1,则
1 4 1 3 1 3 1 P1 ? C 4 ( ) ( ) ? 4 ( ) ? , 2 2 2 4

所以,S4=2 的概率为

1 4

.

(II)? 2 ? S 6 ? 4 且前两次出现正面,则后 4 次中有 2 次正面 2 次反面或 3 次正面 1

次反面,设其概率为 P2,则 P2 ?

1 2

?

1

1 1 5 2 1 2 1 2 3 1 3 1 ?C4 ( ) ( ) ? ? ? C4( ) ? , 2 2 2 2 2 2 2 32 5 32

∴若前两次均出现正面,则 2 ? S 6 ? 4 的概率为

.

点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,要解决好此题要需要冷静, 问题本身并不难。 三、 方法总结与 2008 年高考预测 (一)方法总结 1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;一是根据递 推关系式求通项。 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通 常有化归等比数列和可裂项的形式。 3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多 个知识点交融的题,这应是命题的一个方向。 (二)2008 年高考预测 1. 数列中 S n 与 a n 的关系一直是高考的热点, 求数列的通项公式是最为常见的题目, 要切实 注意 S n 与 a n 的关系.关于递推公式,在《考试说明》中的考试要求是:“了解递推公式是 给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上,从近两年各地高 考试题来看,是加大了对“递推公式”的考查。 2. 探索性问题在数列中考查较多,试题没有给出结论,需要考生猜出或自己找出结论,然 后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题,填空题,又有解答题;有容易题、 中等题,也有难题。 4. 求和问题也是常见的试题,等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题 应掌握,还应该掌握一些特殊数列的求和. 5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点,从本章在高考中所 在的分值来看,一年比一年多,而且多注重能力的考查. 6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点,也是考查的难点。 今后在这方面还会体现的更突出。 四、 强化训练 (一)选择题 1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37 2 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an -1(n≥1) ,则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 3.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 * 4.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大( )

A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项 6.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 7.设函数 f(x)满足 f(n+1)=
2 f (n) ? n 2

(n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为(



A.95 B.97 C.105 D.192 8.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3?重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6?是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 考查等差数列的性质. 9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q , 则 q 的取值范围是( ) A. ( 0 ,
1? 2 5 )



B. (

1? 2

5

,1]

C. [1,

1? 2

5

)

D. (

?1? 2

5 1? , 2

5

)

10.数列 { a n } 的通项公式 a n ? n 2 ? kn ,若此数列满足 a n ? a n ? 1 ( n ? N ? ),则 k 的取值范围是 A, k ? ? 2 B, k ? ? 2 C, k ? ? 3
Sn Tn ? 2n 3n ? 1

D, k ? ? 3 ,则
an bn

11.等差数列 { a n } , { b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若
2 3 2n ? 1 3n ? 1

=

A,

B,

C,

2n ? 1 3n ? 1

D,

2n ? 1 3n ? 4

12.三个数 a , b , c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m ( m ? 0 ) ,则 b 的取值范围是 ( (A) [ 0 ,
m 3 ]


m 3 ]

(B) [ ? m , ?

m 3

]

(C) ( 0 ,

m 3

)

(D) [ ? m , 0 ) ? ( 0 ,

(二)填空题 13.在数列{an}中,a1=1,an+1=
2an an ? 2

(n∈N*) ,则

2 7

是这个数列的第_________项.

14.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 15.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 16.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若 (三)解答题 17.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1, ( x ? 1). (1)求 f ( x ) 的反函数 f
?1

Sn Tn

=

2n 3n ? 1

,则

a 11 b 11

=_________.

( x ) ,并指出其定义域;
?1

(2) 若数列{an}的前 n 项和 Sn 对所有的大于 1 的自然数 n 都有 S n ? f 求数列{an}的通项公式;

且 ( S n ?1 ) , a1 =1,

(3)令 c n ?

1 a n ? a n ?1

, 求 c1 ? c 2 ? ? ? c n .
a 1? a

18.已知数列{an}满足 a 1 ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 ), 其前 n 项和 S n ? (1)求证:{an}为等比数列;

(1 ? a n )

(2)记 b n ? a n lg | a n | ( n ? N * ), T n 为数列{bn}的前 n 项和,那么: ①当 a=2 时,求 Tn; ②当 a ? ?
7 3

时, 是否存在正整数 m, 使得对于任意正整数 n 都有 b n ? b m ? 如果存在,

求出 m 的值;如果不存在,请说明理由. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a n ? S n ? S n ? 1 ( n ? 2 , S n ? 0 ), a 1 ? (Ⅰ)求证:数列 {
1 Sn } 为等差数列;
2 9 .

(Ⅱ)求满足 a n ? 0 的自然数 n 的集合. 20.已知数列 { a n } 为等差数列,其前 n 项和为 S n . (I)若 a 4 ? a 5 ? 0 , 试验证 : S 7 ? S 1 , S 6 ? S 2 , S 5 ? S 3 成立,并将其整合为一个等式; (II)一般地,若存在正整数 k,使 a k ? a k ? 1 ? 0 ,我们可将(I)中的结论作相应推广, 试写出推广后的结论,并推断它是否正确. 21.已知数列 { a n } 满足递推式 a n ? 2 a n ?1 ? 1( n ? 2 ) ,其中 a 4 ? 15 . (Ⅰ)求 a 1 , a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 22.已知等差数列 ? a n ? ,公差 d 大于 0,且 a 2 、 a 5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两个根,数 列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n 且 Tn ? 1 ?
1 2 bn 。

(1)求数列 ? a n ? 、 ? b n ? 的通项公式; (2)记 c n ? a n ?b n , 求 证 : c n ? 1 ? c n . 强化训练题答案 1. 【答案】C 解析:观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、?它们构 成一个等差数列,公差为 11,数 an=110+(n-1) ·11=11n+99,由 an≤500,解得 n≤36.4, * n∈N ,∴n≤36.

2. 【答案】A 解析:由已知:an+1=an2-1=(an+1) n-1) (a , ∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. 3. 【答案】D 解析:a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成等差数列,故 a3+a6+a9=2×39-45=33. 4. 【答案】C 解析:an=a1+(n-1)d,即-6+(n-1)d=0 ? n=
6 d

+1

∵d∈N*,当 d=1 时,n 取最大值 n=7. 5. 【答案】 解析: an=-n2+10n+11=- C 由 (n+1) (n-11) 得 a11=0, a10>0, 12<0, 10=S11. , 而 a S 6. 【答案】A 解析:由等差数列性质,a4+a6=a3+a7=-4 与 a3·a7=-12 联立,即 a3,a7 是 方程 x2+4x-12=0 的两根,又公差 d>0,∴a7>a3 ? a7=2,a3=-6,从而得 a1=-10,d=2, S20=180. 7. 【答案】B
1 ? ?1 ? f ( 2 ) ? f (1 ) ? 2 ? 1 ? ? 2 n ? f (3) ? f ( 2 ) ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 ? f ( 20 ) ? f (19 ) ? ? 19 ? 2 ?
1 2

解析:f(n+1)-f(n)=

相加得 f(20)-f(1)=

(1+2+?+19) ? f(20)=95+f(1)=97.

8. 【答案】B 解析: a2+a5)-(a1+a4)=(a2-a1)+(a5-a4)=2d. a3+a6)-(a2+a5)= ( ( (a3-a2)+(a6-a5)=2d.依次类推.
?a ? aq ? aq ?q ? q ? 1 ? 0 ? ? 2 2 解析: 设三边为 a , aq , aq 2 , 则 ? a ? a q ? a q ,即 ? q ? q ? 1 ? 0 ? ? 2 2 ?aq ? aq ? a ?q ? q ? 1 ? 0
2 2

9.【答案】D

?1 ? 5 1? 5 ? q ? ? 2 2 ? ? 得?q ? R ? ?q ? ?1 ? 5 ,或 q ? ?1 ? ? 2 2 ?

,即
5

?1 ? 2

5

? q ?

1? 2

5

10. 【答案】 解析: 由 a n ? 1 ? a n ? (2 n ? 1) ? k ? 0 , n ? N ? 恒成立,有 3 ? k ? 0 ,得 k ? ? 3 。 D 1 11
an bn ?


2an 2 bn ?


a1 ? a 2 n ?1 b1 ? b 2 n ? 1


a1 ? a 2 n ?1 2 ? b1 ? b 2 n ? 1 2
b q


( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)


S 2 n ?1 T 2 n ?1
b q
m 3

B
? 2 ( 2 n ? 1) 3( 2 n ? 1) ? 1 ?


2n ? 1 3n ? 1
1 q





2



12.【答案】D 解析:设 a ?
m b 1 q

, c ? bq ,则有

? b ? bq ? m ,? b ? 0 , ?

? q ?1?

m b



当 q ? 0 时,

?

? ? q ?1? 3, b ? 0, 0 ? b ? 而

; q ? 0 时, 当

m b

?

1 q

? q ? 1 ? ?1 ,



m b

? ? 1 ,而 m ? 0 ? b ? 0 ,则 ? m ? b ? 0 ,故 b ? [ ? m , 0 ) ? ( 0 ,
1 a n ?1 1 an
1 2

m 3

]。
1 2

13.【答案】6 解析:由已知得 差数列. ∴
1 an

=

+

,∴{

1 an

}是以

1 a1

=1 为首项,公差 d=

的等

=1+(n-1)

1 2

,∴an=

2 n ?1

=

2 7

,∴n=6.

14. 答案】 【 -110 解析: 100-S10=a11+a12+?+a100=45 a11+a100) (a1+a110) S ( =45 =-90 ? a1+a110= -2.

S110= (a1+a110)×110=-110.
2

1

15. 【答案】5 解析:-21=

( n ? 2 )( ? 9 ? 3 ) 2

,∴n=5.
21 ( a 1 ? a 21 )

( a 1 ? a 21 )

16. 【答案】

21 32

解析:

a 11 b 11

=

2 2 ? ( b 1 ? b 21 ) 21 ( b 1 ? b 21 ) 2 2

=

S 21 T 21

?

2 ? 21 3 ? 21 ? 1

?

21 32



17.解:(1)? y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)
? ? f x ?1 ?
?1

y x ? 1)
2

(x) ? (

定义域为: ?0 , ?? ?. (2)? S n ? f 又 S n ? 0 ,?
?1

( S n ?1 ), ? S n ? ( S n ?1 ? 1) .
2

Sn ?

S n ?1 ? 1 .
. ? a 1 ? S 1 ? 1, ?
2

? { S n }为等差数列 ? a n ? S n ? S n ?1 ? n

S n ? n, S n ? n .
2

? ( n ? 1)

2

? 2 n ? 1 ( n ? 2 ).

而 a1 = 1 符合上式,故 a n ? 2 n ? 1 . (3) c 1 ? c 2 ? ? c n ?
1 1?3
1 2 ? n 2n ? 1 a 1? a (1 ? a n ) ? a 1? a (1 ? a n ? 1 )

?

1 3?5
1 3

?? ?

1 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)
1 5 )?? ? ( 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1 )]

?

[( 1 ?

)? (

1 3

?

18.解:1)当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ?

整理得

an a n ?1

? a,

所以{an}是公比为 a 的等比数列.(4 分) (2)? a 1 ? a ,? a n ? a n
? b n ? a n lg | a n |? a lg | a
n n

|? na

n

lg | a |
2

①当 a=2 时, T n 两式相减,得
? Tn ? (2 ? 2 化简整理,得
2

? (2 ? 2 ? 2

2

? ... ? n ? 2 ) lg 2 , 2 T n ? [ 2
n

? 2?2

3

? ... ? ( n ? 1) ? 2

n

? n?2

n ?1

] lg 2 ,

? 2 ? ... ? 2
3

n

? n?2

n ?1

) lg 2 ,

T n ? 2 [1 ? (1 ? n ) ? 2 ] lg 2
n

(9 分)

②因为-1<a<0,所以:当 n 为偶数时,
b n ? na
n

lg | a |? 0 ;

当 n 为奇数时,
b n ? na
n

lg | a |? 0 ;

所以,如果存在满足条件的正整数 m,则 m 一定是偶数.
b2k?2 ? b2k ? 2a
2k

(a

2

? 1 )( k ?

a

2 2

1? a

) lg | a |, 其中 k ? N

*

当a ? ?

7 3

时, a

2

?1 ?

2 9

,

所以 2 a

2k

(a

2

? 1 ) lg | a | ? 0 .又因为

a

2 2

1? a

?

7 2

,

所以当 k ? 当k ?
7 2

7 2

时, b 2 k ? 2 ? b 2 k , 即 b 8 ? b 10 ? b 12 ? ...

时, b 2 k ? 2 ? b 2 k , 即 b 8 ? b 6 ? b 4 ? b 2

故存在正整数 m=8,使得对于任意正整数 n 都有 b n ? b m 19.解:(Ⅰ)? a n ? S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 , S n ? 0
? 1 Sn 1 Sn ? 1 S n ?1 9 2 ? ?1. 又 1 S1 ? 9 2

(n ? 2)

?{

}为以

为首项,-1 为公差的等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2 11 ? 2 n

1 Sn

?

9 2

? ( n ? 1) ? ( ? 1) ?

11 ? 2 n 2

? Sn ?

.

当n ? 2 时,

a n ? S n ? S n ?1 ?

4 (11 ? 2 n )( 13 ? 2 n )

,

? an

?2 ( n ? 1) ?9 ? ? ? . 4 ? (n ? 2) ? (11 ? 2 n )( 13 ? 2 n ) ?



4 (11 ? 2 n )( 13 ? 2 n )

? 0 ,解得

11 2

? n ?

13 2

,而 n ? N * , ? n ? 6 .

故所求 n 的集合为{6}. 20.解:(I)? a n 为等差数列
, 且 a 4 ? a 5 ? 0.

? S 7 ? S 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? S 1 ? 3( a 4 ? a 5 ) ? S 1 ; S 6 ? S 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? S 2 ? 2(a 4 ? a 5 ) ? S 2 ; S 5 ? S 3 ? a4 ? a5 ? S 3 ;又 S 4 ? S 4 .

∴对任意 n ? N *, n ? 8 , 等式 S k ? n ? S n 恒成立 . (II)推广:设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,若存在正整数 k,使 a k ? a k ?1 ? 0 , 则对任意 n ? N *, 且 n ? 2 k , 等式 S 2 k ? n ? S n 恒成立 . 设 { a n } 的公差为 d ,? a k ? a k ?1 ? 0 ,? 2 a 1 ? ( 2 k ? 1) d ? 0 .
? S 2k ?n ? [a1 ? ? ? n 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 ( 2 k ? n ? 1) d 2 n 2 d ? S n. ( 2 kd ? nd ) ? ? n 2 ]( 2 k ? n ) ? ( ? 2k ? 1 2 d ? 2k ? n ? 1 2 d )( 2 k ? n )

d ? (2k ? n) ? ?

( d ? 2 a 1 ? nd )

故推广后的结论正确. 21.解:(1)由 a n ? 2 a n ?1 ? 1及 a 4 ? 15 知 a 4 ? 2 a 3 ? 1, 解得: a 3 ? 7 , 同理得 a 2 ? 3 , a 1 ? 1 .

(2)由 a n ? 2 a n ?1 ? 1 知 a n ? 1 ? 2 a n ?1 ? 2
a n ? 1 ? 2 ( a n ?1 ? 1) ? ?a n ? 1? 构成以 a 1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;

? a n ? 1( a 1 ? 1) ? 2
n

n ?1

;? a n ? 1 ? 2 n ,

? a n ? 2 ? 1 . 为所求通项公式

(3)? a n ? 2 n ? 1
? S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? LL ? a n ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? LL ? ( 2 ? 1)
1 2 3 n

? ( 2 ? 2 ? 2 ? LL ? 2 ) ? n
1 2 3 n

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

? n ? 2

n ?1

? 2 ? n.

22.解:(1)设 ? a n ? 的公差为 d,由题意得:
?2a1 ? 5d ? 12 ? a2 ? a5 ? 12 ? a1 ? 1 ? ? ? an ? 2n ? 1 ? a 2 a 5 ? 2 7 ? ? ( a 1 ? d )( a 1 ? 4 d ) ? 2 7 ? ? ?d ? 2 ? ? d ? 0 ?d ? 0 ?
? Tn ? 1 ? 1 2 b n 得 T n -1 ? 1 ? 1 2 b n ?1 两 式 相 减 得 : b n ? 1 3 b n ? 1, b 1 ? T1 ? 2 3
n ?1

?

bn b n ?1

2?1? ? , 即 ? bn ? 是 以 为 公 比 , 以 为 首 项 的 等 比 数 列 。 b n ? ? ? ? 3 3 3 3?3? 1 1 2
?1? ? ?3?
n

?1? ? 2? ? ?3?

n

(2) c n ? a n b n ? ( 2 n ? 1) ? 2 ?
?1? ? c n ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? ? ?3?

n ?1

? c n ?1

1 n ?1 ?1? ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? ? ? ? 8 ? ( ) ( n ? 1) 3 ?3?

n

? n ? 1,? c n ? 1 ? c n

(四)创新试题 1. 在直角坐标平面上有一点列 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ? , Pn ( x n , y n ) ? ,对一切正整数 n , 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 数列 ?x n ? . ⑴求点 Pn 的坐标;
13 4

的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ?

5 2

为首项,? 1 为公差的等差

⑵设抛物线列 c 1 , c 2 , c 3 , ? , c n , ? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 c n 的顶点为 Pn ,且过点 D n ( 0 , n 2 ? 1) ,记与抛物线 c n 相切于 D n 的直线的斜率为 k n ,求:
1 k1k 2 ? 1 k2k3 ?? ? 1 k n ?1 k n
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.
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2. 设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系式 (1)求证 数列{an}是等比数列;
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3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4?)

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(2)设数列{an}的公比为 f(t),作数列{bn},使 b1=1,bn=f( 通项 bn; (3)求和 b1b2-b2b3+b3b4-?+b2n-1b2n-b2nb2n+1 创新试题答案
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1 b n ?1

)(n=2,3,4?),求数列{bn}的

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1.解:(1) x n ? ?
? yn ? 3 ? xn ? 13 4

5 2

? ( n ? 1) ? ( ? 1) ? ? n ? 5 4 ,? Pn ( ? n ? 3 2

3 2 5 4

? ? 3n ?

, ? 3n ?

)

(2)? c n 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 c n 的方程为:
y ? a(x ? 2n ? 3 2 )
2

?

12 n ? 5 4

,

把 D n ( 0 , n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? c n 的方程为: y ? x 2 ? ( 2 n ? 3 ) x ? n 2 ? 1 。
k n ? y | x ? 0 ? 2 n ? 3 ,?
'

1 k n ?1 k n
? 1 2

?

1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 3 )
1 5 ? 1 7 )? ( 1 7 ? 1 9

?

1

2 2n ? 1
1

(

1

?

1 2n ? 3
?

)

?

1 k1k 2

?

1 k2k3

?? ?

1 k n ?1 k n

[(

)?? ? (

1 2n ? 3

2n ? 1

)]

=

1 1 1 1 1 ( ? ) ? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
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2.解

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(1)由 S1=a1=1,S2=1+a2,得 3t(1+a2)-(2t+3)=3t ① ②
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∴a2=

2t ? 3 a 2 2t ? 3 , ? 3t a1 3t

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又 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ①-②得 3tan-(2t+3)an-1=0
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an a n ?1

?

2t ? 3 3t

,n=2,3,4?,

所以{an}是一个首项为 1 公比为
2t ? 3 3t 2 3 ? 1 t

2t ? 3 3t

的等比数列;
2 3

(2)由 f(t)=

=

,得 bn=f(

1 b n ?1
2 3

)=

+bn-1 ?

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可见{bn}是一个首项为 1,公差为 (3)由 bn=
2n ? 1 3

的等差数列

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于是 bn=1+
5 3

2 3

(n-1)=
4 3

2n ? 1 3

;

,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为 1 和

,公差均为

的等差数列,

于是 b2n=

4n ? 1 3

,

∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+b2n-1b2n-b2nb2n+1 ? =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+?+b2n(b2n-1-b2n+1) =-
4 3

(b2+b4+?+b2n)=- 复习建议

4 3

·

1 2

n( +
3

5

4n ? 1 3

)=-

4 9

(2n +3n)

2

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五、

1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并 树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题 的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 2. 归纳——猜想——证明体现由具体到抽象, 由特殊到一般, 由有限到无限的辩证思想. 学 习这部分知识,对培养学生的逻辑思维能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高 分析、综合、抽象、概括等思维能力,都有重大意义. 3.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以 及特例分析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题. 4.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分,先利用解析几 何的知识以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解.
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