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中考数学专题讲座 数形结合思想


中考数学专题讲座 数形结合思想
概述:数形结合思想是教学中的一种重要思想,在解题过程中, 能画出图形的要尽量画出图 概述 形,图形能帮助你理解题意,有利于着手解题. 典型例题精析
2 例.以 x 为自变量的二次函数 y=-x +2x+m,它的图象与 y 轴交于点 C(0,3),与 x 轴交

于点 A、B,点 A 在点 B 的左边,点 O 为坐标原点. (1)求这个二次函数的解析式及点 A,点 B 的坐标,画出二次函数的图象; (2)在 x 轴上是否存在点 Q,在位于 x 轴上方部分的抛物线上是否存在点 P, 使得以 A、 P、Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似(不包含全等),若存在,请求出点 P、点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由. 分析:(1)∵y=-x2+2x+m 与 y 轴交于 C(0,3), ∴3=m,代入 y=-x2+2x+m 得 y=-x2+2x+3, 令-x2+2x+3=0,x2-2x-3=0,x1=-1,x2=3. ∴A(-1,0),B(3,0),由 y=-x2+2x-1+4,
2

y M C P

y=-(x-1) +4,得顶点 M(1,4). (2)若存在这样的 P、Q 点,一定是∠PAQ=∠ACO.

A
∵若∠PAQ=∠CAO,则△ACO∽△AQP 不合题意,

O
若∠PAB=90°=∠AOC,显然 P 点不在抛物线上. ∴分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况考虑. ①当∠AOC=∠PQA,∠ACO=∠PAQ 时,有△AOC∽△PQA 设 Q(x1,0),P(x1,y2)由

Q B

x

(如图 1)

AQ QP = 得 OC AO

x1 + 1 y1 = ,而 y1=-x12+2x1+3, 3 1
∴x1+1=3(-x12+2x1+3), 3x12-5x1-8=0,

y M C P

8 或 x1=-1(不合题意,舍去) 3 8 11 把 x1= 代入 y1=-x12+2x1+3= , 3 9 8 8 11 ∴Q( ,0),P( , ). 3 3 9
x1 = ∴存在这样的 P、Q 点使得△AOC∽△PQA. ②∠APQ=∠COA=90°,且∠ACO=∠QAP 时,有△AOC∽△APQ

A O N Q x

(如图 2)

过 P 作 PN⊥x 轴于 N,设 Q(x,0),P(,)

由△AOC∽△APQ 得

AC CO 10 = 得 = AQ AP x2 + 1

3 8 11 ( + 1)2 + ( ) 2 3 9

解得

83 , 27 83 8 11 ∴Q( ,0),P( , ). 27 3 9
∴存在这样的 P、Q 点使得△AOC∽△APQ

说明:(1)在考虑三角形相似时,应考虑不同情况,这是这道题的难点. 说明 (2)第二种情况的 P 点可以认为和第一种情况是同一点. (3)能够求出 Q、P 点坐标为存在,不能求出 P、Q 点坐标(即方程无解)为不存在. 中考样题看台 1.已知四边形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 x2-2mx+(m两个根. (1)当 m=2 和 m>2 时,四边形 ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由. (2)若 M、N 分别是 AD、BC 中点,线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P、Q,PQ=1,且 AB<CD, 求 AB、CD 的长; (3)在(2)的条件下,AD=BC=2,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是 tan ∠BDC 和 tan∠BCD.

1 7 )+ =0 的 2 4

2.已知,如图,⊙O1 与⊙O2 外切于点 A,BC 是⊙1 和⊙2 的公切线,B、C 为切点. (1)求证:AB⊥AC; (2)若 r1、r2 分别为⊙O1、⊙O2 的半径,且 r1=2r2,求

AB 的值. AC

B C A O1 O2

3.在平面直角坐标系中,给定五点:A(-2,0),B(1,0),C(4,0) ,D(-2,

9 ), 2

E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于 y 轴的直线为对称 轴,我们约定:把经过三点 A、E、B 的抛物线表示为抛物线 AEB(如图所示). (1)问符合条件的抛物线还有哪几条?不求解析式, 请用约定的方法一一表示出来; (2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果 存在,试求出抛物线与直线的解析式;如果不存在,请说明理由.

4.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时,讨论如下: 甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形; 乙同学: 我发现边数是 6, 它也不一定是正多边形. 如图一, △ABC 是正三角形, AD=BE=CF, 可以证明六边形 ADBECF 的各角相等,但它未必是正六边形; 丙同学: 我能证明, 边数是 5 时, 它是正多边形. 我想, 边数是 7 时, 它可能是正多边形, …… (1)请你说明乙同学构造的六边形各角相等; (2)请你证明,各角都相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已 知、求证);

(3)根据以上探索过程,提出你的猜想(不必证明);

5.高致病性禽流感是比 SARS 病毒传染速度更快的传染病. (1)某养殖场有 8 万只鸡,假设有 1 只鸡得了禽流感,如果不采取任何防治措施,那么, 到第 2 天将新增病鸡 10 只, 3 天又将新增病鸡 100 第 只, 以后每天新增病鸡数依次类推, 请问: 到第 4 天,

免疫区
共有多少只鸡得了禽流感?到第几天, 该养殖场所有 鸡都会被感染. (2)为防止禽流感蔓延,政府规定:离疫点 3 千米范围内为扑杀区, 所有禽类全部捕杀; 离疫点 3

扑杀区 O A C D B

千米至 5 千米范围内为免疫区, 所有的禽类强制免疫; 同时,对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管 理,现有一条笔直的公路 AB 通过禽流感病区,如图, O 为疫点,在扑杀区内的公路 CD 长为 4 千米,问这条公路在该免疫区内有多少千米.

考前热身训练 1.已知,在半径为 r 的半圆 O 中,半径 OA⊥直径 BC,点 E 与点 F 分别在弦 AB、AC 上滑动并 保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合,点 E 不与 B、A 重合. (1)求证:S 四边形 AEDF=

1 2 r; 2

(2)设 AE=x,S△OEF=y,写出 y 与 x 之间的函数解析式,并求出自变量 x 的取值范围; (3)当 S△OEF=

5 S△ABC 时,求点 E、F 分别在 AB、AC 上的位置及 E、F 之间的距离. 18
A F E B C

O
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2.已知二次函数 y=x2-(m2-4m+

5 9 )x-2(m2-4m+ )的图象与 x 轴的交点为 A、B(点 B 在 2 2

点 A 的右边),与 y 轴的交点为 C. (1)若△ABC 为直角三角形,求 m 的值; (2)在△ABC 中,若 AC=BC,求∠ACB 的正弦值; (3)设△ABC 的面积为 S,求当 m 为何值时,S 有最小值,并求这个最小值.

3.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴的负半轴上,点 B 在 x 轴的正半轴上,又此抛物线交 y 轴于点 C,连接 AC、BC,且满足△OAC 的面积与△OBC 的面 积之差等于两线段 OA 与 OB 的积.

(1)求 b 的值; (2)若 tan∠CAB=

1 ,抛物线的顶点为点 P,是否存在这样的抛物线,使得△PAB 的外 2

接圆半径为

13 ?若存在,求出这样的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 4

答案 中考样题看台 1.(1)当 m=2 时,x2-4x+4=0,∴△=0,∴AB=CD, ∵AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形.

1 2 7 ) + ]=m-2>0. 2 4 1 7 又 AB+CD=2m>0,AB·CD=(m- )2+ >0,∴AB≠CD, 2 4
当 m>2 时,△=(-2m)2-4[(m∵AB∥CD,∴四边形 ABCD 是梯形. (2)∵AM=MD,BN=NC,AB∥CD,∴MN∥AB,MN∥CD, ∴AP=PC,BQ=QD,∴QD=

1 1 DC,PN= AB, 2 2 1 1 ∵AB<CD,PQ=1,∴ DC- AB=1, 2 2 1 2 7 2 ) + =m -m+2, 2 4

∴DC-AB=2,由已知得 AB+CD=2m,AB·CD=(m∵(DC-AB)2=(DC+AB)2-4DC·AB, ∴22=(2m)2-4(m2-m+2),∴m=3, 当 m=3 时,x2-6x+8=0, ∴x1=2,x2=4, ∵AB<CD,∴AB=2,CD=4. (3)由(1)知,四边形 ABCD 是梯形, ∵AD=BC,∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 过点 B 作 BE∥AD,交 DC 于点 E, ∴ED=AB=2,∴CE=2,∴BC=BE=CE=2,

∴△BEC 为等边三角形, ∴∠BCD=60°,∠BDC=30°, ∴tan∠BCD= 3 ,tan∠BDC=

3 . 3

∴所求方程为 y2-

4 3

3 y+1=0.

2.(1)过点 A 作两圆的内公切线交 BC 于点 O,∴OA=OB,同理 OA=OC, ∴OA=OB=OC, 于是△BAC 是直角三角形,∠BAC=90°,所以 AB⊥AC. (2)连结 OO,OO,与 AB、AC 分别交于点 E、F,∴O1O⊥AB. 同理 OO2⊥AC,根据(1) 的结论 AB⊥AC, 可知四边形 OEAF 是矩形,有∠EOF=90°, 连结 O1O2,有 OA⊥O1O2, 在 Rt△O1OO2 中, 有 Rt△O1AD∽Rt△OAO2, 于是 OA2=OA·O2A=r1·r2=2r22,∴OA= 2 r2, 又∵∠ACB 是⊙O2 的弦切角, ∴∠ACB=∠AO2O, 在 Rt△OAO2 中,tan∠AO2O=

OA = 2, O2 A



AB =tan∠ACB=tan∠AO2O= 2 . AC

3.解:(1)符合条件的抛物线还有 5 条,分别如下: ①抛物线 AEC;②抛物线 CBE; ③△DEB;④抛物线 DEC;⑤抛物线 DBC. (2)在(1)中存在抛物线 DBC,它与直线 AE 不相交, 设抛物线 DBC 的解析式为 y=ax2+bx+c, 将 D(-2,

9 ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入, 2

9 ? ?4a ? 2b + c = 2 ? 得: ?a + b + c = 0 ?16a + 4b + c = 0 ? ? 1 5 ,b= ,c=1. 4 4 1 2 5 ∴抛物线 DBC 的解析式为 y= x - x+1. 4 4
解这个方程组,得:a= 另法:设抛物线为 y=a(x-1)(x-4), 代入 D(-2,

9 1 ),得 a= 也可. 2 4

又设直线 AE 的解析式为 y=mx+n. 将 A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入, 得: ?

? ?2 m + n = 0 解这个方程组,得 m=-3,n=-6, ?n = ?6

∴直线 AE 的解析式为 y=-3x-6. 4.解:(1)由图知∠AFC 对 ABC,因为 AD=CF, 而∠DAF 对的 DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC, 所以∠AFC=∠DAF. 同理可证,其余各角都等于∠AFC. 所以,图 1 中六边形各内角相等. (2)因为∠A 对 BEG,∠B 对 CEA, 又因为∠A=∠B,所以∠BEG=∠CEA.所以 BC=AG, 同理 AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG. 所以,七边 ABCDEFG 是七边形. (3)猜想:当边数是奇数时(即当边数是 3,5,7,9,……时), 各内角相等的圆内接多边形是正多边形. 5.解:(1)由题意可知,到第 4 天得禽流感病鸡数为 1+10+100+1000=1111. 到第 5 天得禽流感病鸡数为 1000+111=11111. 到 6 天得禽流感病鸡数为 100000+11111>800000. 所以,到第 6 天所有鸡都会被感染. (2)过点 O 作 OE⊥CD 交 CD 于点 E,连结 OC、OA. ∵OA=5,OC=3,CD=4,∴CE=2,
2 2 2

在 Rt △OCE 中,OE =3 -2 =5. 在 Rt△OAE 中,AE= OA ? OE =2 5 ,
2 2

∴AC=AE-CE=2 5 -2, ∵AC=BC,∴AC+BD=4 5 -4. 答:这条公路在该免疫区内有(4 5 -4)千米. 考前热身训练 1.(1)先证△BOE≌△AOF.

∴S 四边形 AEOF=S△AOB=

1 1 OB· OA=r2. 2 2

(2)由∠EAF=90°且 AC=AB= 2 r, ∵y=S△OEF=S 四边形 AEOF-S△AEF,

∴y=

1 2 2 1 xrx+ r2(0<x< 2 r). 2 2 2

(3)当 S△OEF=

5 5 1 5 2 S△ABC 时,即 y= ( ·2r·r)= r 18 18 2 18



1 2 2 1 5 2 xrx+ r2= r. 2 2 2 18 1 2 2 2 xrx+ r2=0. 2 2 9 2 2 2 r,x2= r. 3 3



解之得 x1=

∴S△OEF=

5 AE 1 AF 2 AE 2 AF 1 S△ABC 时, = , = 或 = , = . 18 AB 3 AC 3 AB 3 AC 3

当 AE=

2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 2 r 时,AF= r,EF= AE + AF = ( r) + ( r) = r; 3 3 3 3 3

当 AE=

2 2 2 10 r 时,AF= r,EF= r. 3 3 3 9 9 ,0),C[0,-2(m2-4m+ )]. 2 2 AD 4 = . AC 5

2.A(-2,0),B(m2-4m+ (1)m=2.

(2)过 A 作 AD⊥BC 于 D,sin∠ACB=

(3)m=2 时,S 最小值=

5 . 4

3.解:(1)设 A(x1,0),B(x2,0), 由题设可求得 C 点的坐标为(0,c),且 x1<0,x2>0

∵a<0,∴c>0 由 S△AOC-S△BOC=OA×OB 得:-

1 1 x1c- x2c=-x1x2 2 2

得:

1 b c c(- )= ,得:b=-2. 2 a a 1 ,∴OA=2·OC=2c, 2 5 . 4c

(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M,与△PAB 的外接圆交于点 N. ∵tan∠CAB=

∴A 点的坐标为(-2c,0),∵A 点在抛物线上. ∴x=-2c,y=0,代入 y=ax2-2x+c 得 a=又∵x1、x2 为方程 ax2-2x+c=0 的两根,

2 2 8 即:-2c+x2= =- c. a a 5 2 2 ∴x= c. ∴B 点的坐标为( c,0). 5 5 4 9 ∴顶点 P 的坐标为(- c, c). 5 5
∴x1+x2= 由相交弦定理得:AM·BM=PM·MN.

12 6 9 c,∴AM=BM= c,PM= c, 5 5 5 5 1 ∴c= ,a=- . 2 2 1 ∴所求抛物线的函数解析式是:y=- x2-2x+ 2
又∵AB=


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