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方程的根与函数的零点课件zs



一种科学只有在成功地运用数学时 ,才算达到完善的地步 数缺形时少直观,形少数时难入微, , 才算达到完善的地步 数缺形时少直观,形少数时难入微, 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞 数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞? 数形结合百般好,隔离分家万事休, ? 数形结合百般好,隔离分家万事休, 切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离

切莫忘,几何代数统一体,永

远联系,莫分 离.

§3.1.1方程的根与
函数的零点
李梦媛

问题· 探究

问题1 求出表中一元二次方程的实数根, 观察相应的二次函数图像,写出函数的图 象与x轴的交点坐标.
x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
-1

方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1
.y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

y
2

.
-1 -2

. . . 1 .
2

.

1

0

1

2

.

.
x
-1

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1 (1,0)

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

思考:二者之间有何联 系?

问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的 一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的 关系,上述结论是否仍然成立?
判别式 △ =b2-4ac
△>0 △=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y
x1 0 x2

△<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 的实数根x1 、x2 (a>0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象 函数的图象 与 x 轴的交点

x
0 x1

x

0

x

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论:

1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。 2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。

方程f ( x) ? 0 问题3 将上述结论推广至一般 与相应的函数 y ? f ( x)又会有什么结论?
结 论

方程的实数根就是对应函数图像与x 轴交点的横坐标。

概念· 形成

辨 析 : 函 数 的 零 点 是 不 是 点 ?

函数的零点定义:

对于函数y=f(x), 使f(x)=0的 实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

示例· 练习

例1 求下列函数的零点

?1? f ? x ? ? x ? 5 x ? 14 2 ?2? f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ?3? f ? x ? ? l g? x ? 1?
2

-2和7

1
2

零点的求法(1)

定义法

问题探究

零点,如何根据 问题4 方程的实数根即函数的 图像寻找零点呢?观察 函数y ? f ( x)?x ? R ?的图 像,说一说y ? f ( x)有几个零点?
y

0

x

问题5 如果将定义域改为区间[a,b]观察图 像说一说零点个数的情况,有什么发现?
y

a

ab

b

a

0

b

x

结 论

f (a) ? f (b) ? 0

[a, b]上函数y ? f ( x)端点函数 问题3 如果闭区间 值f (a) ? f (b) ? 0是否一定有零点?
y

0

a

a

b

x

b

结 论

函数 y ? f ( x) 的图像在闭区间[a,b]上 连续不断。

结 论

函数零点的存在性定理:
如果函数y ? f ( x)在区间 [a, b]上的图像是连续 不断的一条曲线,

并且有f (a) ? f (b) ? 0, 那么,函数 y ? f ( x)在区 间(a, b)内有零点,

即存在c ? (a, b),使得f (c) ? 0, 这个c也就是方程 f ( x) ? 0的根。

思考1:满足上述两个条件,能否确定零点 个数呢?
y y 0 a

0 a

b x

b

x

结 论

有零点,至少有一个,但不能确定 个数。

思考2:如果函数 y=f(x) 在[a,b]上是连续 的单调函数, 并且在闭区间的两个端点上 的函数值互异即f(a)f(b)﹤0, 那么这个函数 在(a,b)内的零点个数能确定吗?

结 论

能,只有一个!

思考3: 函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一 条连续不断的曲线,若函数y=f(x)在区间 (a, b)内有零点,一定能得出f(a)· f(b)<0的结论吗?
y

0

a

bbb

b bbb b b b b bb x

结论:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线: 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)· f(b)<0。

?

示例· 练习

例2

求函数f ? x ? ? ln x ? 2 x ? 6的零点个数

解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 14.1972

f(x) -4 -1.3069

1.0986 3.3863

5.6094 7.7918 9.9459 12.0794

由表3-1和图3.1—3可知 即f(2)· f(3)<0, f(2)<0,f(3)>0, 说明这个函数在区间(2,3)内 由于函数f(x)在定义域 有零点。 (0,+∞)内是增函数,所以 它仅有一个零点。

y
14 12 10

8 6
4 2 0 -2 -4 1 2

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

x

零点的求法(2) 图像法

.

-6

3 ? ? 利用函数的图像,指出 函数 f x ? ? x ? 3x ? 5 练习 的零点所在的大致区间

解:如右图: 因为f(1)>0,f(2)=<0, 所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1, 2) 上有零点。又因为f(x)是(-∞,+∞) 上的减函数,所以在区间(1, 2)上有 且只有一个零点。

.

y

.5 4 .
3 2 1

.
1 2 3

0
-1

x

.

x 方程 f ?x ? ? e ? 4 x ? 3 在下列哪个区间上有零 例3

点( C )

1 1 1 1 1 A.(? ,0) B.(0, ) C.( , ) D.( ,0) 4 4 4 2 2

零点的求法(3)
定理法

练习 1、f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点( B ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 2、下列函数在区间[1,2]上有零点 的是( D )

(A) f(x)=3x2-4x+5
(C) f(x)=lnx-3x+6

(B) f(x)=x? -5x-5
(D) f(x)=ex+3x-6

1、对于定义在R上的连续函数y=f(x),若f(a).f(b)<0 (a,b∈R, 且a<b),则函数y=f(x)在(a,b)内( B ) A 只有一个零点 B 至少有一个零点 C 无零点 D 无法确定有无零点 2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点,则 m的取值范围是( B ) A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2

温 馨 提 示

函数零点方程根, 图象连续总有痕。 数形本是同根生, 端值计算是根本。 借问零点何处有, 端值互异零点生。

作业:作业本

谢 谢, 再 见!



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