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高中数学必修5综合测试题答案



高中数学必修 5
一、选择题 1.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是() (A)an=n2-(n-1) (B)an=n2-1 (C)an=

n(n ? 1) 2

(D)an=

n(n ? 1) 2

2.已知数列 3 ,3, 15 ,?, 3(2n ?1) ,那么 9 是数列的

( ) (A)第 12 项 (B)第 13 项 (C)第 14 项 (D)第 15 项

3.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 ( ) A.

B.

C.

D.

4.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 4,偶数项之和为 3,则 n 的值是( )A.3

B.5

C.7

D.9

5.△ABC 中, cos A ? a ,则△ABC 一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
cos B b

6.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( )A.30°B.30°或 150° C.60°D.60°或 120° 7.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6 ,b=4,满足条件的△ABC ( )(A)无解 (B)有解 (C)有两解 8. 若 (D)不能确定 ④

1 1 ? ?0, 则下列不等式中, 正确的不等式有 ① a ? b ? ab a b
B.2 个 C.3 个 D.4 个

②a ?b

③a ? b

b a ? ?2 a b

(

)

A.1 个

9.下列不等式中,对任意 x∈R 都成立的是 ( ) A. 10.下列不等式的解集是空集的是( )A.x2-x+1>0 11.不等式组 ?

1 ?1 x ?1
2

B.x2+1>2x C.2x-x2>5

C.lg(x2+1)≥lg2x D. D.x2+x>2

4x ≤1 x ?4
2

B.-2x2+x+1>0

?( x ? y ? 5)( x ? y) ? 0, 表示的平面区域是( ?0 ? x ? 3

) (A ) 矩形( B) 三角形(C ) 直角梯形(D ) 等腰梯形

12.给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足

an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是()
y 1 B y 1 C

y 1 A

1

y D



1





1





1





1



二、填空题: 13.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|14. 若x ? 0, y ? 0, 且

1 1 ? x ? },则 a+b=________. 2 3


1 4 ? ? 1,则 x ? y 的最小值是 x y

15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

1/5

则第 n 个图案中有白色地面砖 16. 已知钝角△ABC 的三边 a=k,b=k+2,c=k+4,求 k 的取值范围 --------------. 。

块.

x ?1 ? 3 的解为 。 x 4 18、若 x ? 0 ,则 2 ? x ? 的最大值是 x
17、不等式




19、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 20、对于满足 0≤a≤4 的实数 a,使 x2+ax>4x+a-3 恒成立的 x 取值范围是________. 21、不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 三、解答题: 。

B C b c 若c s 1.本小题满分 12 分) ( 已知 A 、 、 为 ?ABC 的三内角, 且其对边分别为 a 、 、 , o
(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 2. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值. 3.已知 0 ? m ? 1 ,解关于 x 的不等式

B o C ?n c s i s

Bn C ? i s

1 . 2

mx ? 1. x?3

4. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? loga x ( a为常数且 ? 0, a ? 1 ) ,已知数列 f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( xn ),?是公 a 差为 2 的等差数列,且 x1 ? a 2 .(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?

1 1 时,求证: x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 2 3

5. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元,以后每年增加 2 万元, 把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万元出售该楼; ②纯利润总 和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?
2

6、已知全集 U={x | x -7x+10≥0},A={x | |x -4| >2} ,B={x |
2

x?2 x ? 5 ≥0},求:C UA,A ? B

7、已知函数 f(x)=3x +bx+c,不等式 f(x)>0 的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞). (1) 求函数 f(x)的解析式; (2) 已知函数 g(x)=f(x)+mx-2 在(2,+∞)上单调增,求实数 m 的取值范围; (3) 若对于任意的 x∈[-2,2],f(x)+n≤3 都成立,求实数 n 的最大值. 8、在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值; (2)若 ,求 sin C 的值.
2

9、建造一间地面面积为 12 m 的背面靠墙的猪圈, 底面为长方形的猪圈正面的造价为 120 元/ m , 侧面的造价为 80
2/5

2

元/ m , 屋顶造价为 1120 元. 如果墙高 3 m , 且不计猪圈背面的费用, 问怎样设计能使猪圈的总造价最低, 最低总造价 是多少元? 10、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件

2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 答案:1---12 13.-14, 18、-2 14.9 19、6 CCCAA, DABDC, 15. 4n+2 DA 17、 x ? 0 或 x ?

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1

16. (2,6)

1 2

20、x<-1 或 x>3.

21、 (??, ?1] ? [4, ??)

1. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2

? cos( B ? C ) ?

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

3 2? ? A ? B ? C ? ? ,? A ? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

2? 3

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2
? a1 ? d ? 1 , ? a1 ? 4d ? ?5

2.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 .

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .
(Ⅱ) S n ? na1 ? 3. 解:原不等式可化为:[x(m-1)+3](x-3)>0

? 0<m<1, ∴-1< m -1<0, ∴ ?

3 3 ? ? 3; m ?1 1? m 3 ? ? ∴ 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ? ?. 1? m? ?
2

4.解: (Ⅰ)? f ( x1 ) ? loga a ? 2

d ?2

? f ( xn ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n
3/5

即: loga xn ? 2n
(Ⅱ)当 a ?

xn ? a 2n
n

1 ?1? 时, x n ? ? ? 2 ? 4?

1 ?1? 1 ?? ? ? n 4 ? 4? 4 1 ? ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3 ? ? 4? ? 3 ? ? 1? 4
5.解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n?

n

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2

因此利润 y ? 30n ? (81? n 2 ) ,令 y ? 0 解得: 3 ? n ? 27 所以从第 4 年开始获取纯利润. (Ⅱ)年平均利润 W ?

30n ? (81? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n n n
81 ? n ,即 n=9 时取等号) n

? 30 ? 2 81 ? 12(当且仅当
所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 利润 y ? 30n ? (81? n ) ? ?(n ? 15) ? 144
2 2

所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①. 6、解: U ? {x | x ? 5或x ? 2}

…………………………………………2 分

A ? {x | x ? 6或x ? 2} B ? {x | x ? 5或x ? 2}

………………………………………………2 分 ……………………………………………2 分

C U A ? {x | 5 ? x ? 6或x ? 2} …………………………………………2 分 A ? B ? {x | x ? 2或x ? 6}
…………………………………………2 分

?f?0?=0, ? 7、解:(1) ? ? ?f?-2?=0

?b=6, ? ? ? ? ?c=0,

∴ f(x)=3x +6x;

2

? ? m??2 ? m?2 ? m? (2) g(x)=3?x+?1+ ?? -2-3×?1+ ? ,-?1+ ?≤2,m≥-18; ? ? 6?? ? 6? ? 6?
(3) f(x)+n≤3 即 n≤-3x -6x+3,而 x∈[-2,2]时,函数 y=-3x -6x+3 的最小值为-21,∴ n≤-21, 实数 n 的最大值为-21. 8、解: (1)由题设知
4/5
2 2

sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? 2 cos A, 从而 sin A ? 3 cos A, 所以 cos A ? 0


tan A ? 3 ,因为0 ? a ? ? , 所以 A ?

?
3

.

1 cos A ? , b ? 3c及a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, 得a 2 ? b 2 ? c 2 . 3 (2)由 B?
故△ABC 是直角三角形,且

?
2

, 所以 sin C ? cos A ?

1 3.
--- 2 分 --- 3 分 --- 2 分 --- 1 分 --- 2 分

9、设猪圈底面正面的边长为 xm , 则其侧面边长为 12 m x 那么猪圈的总造价 y ? 3x ?120 ? 3 ? 12 ? 80 ? 2 ? 112 ? 360 x ? 5760 ? 1120 , x x 因为 360 x ? 5760 ? 2 360 x ? 5760 ? 2880 , x x 当且仅当 360x ? 5760 , 即 x ? 4 时取“=”, x 所以当猪圈正面底边为 4 米侧面底边为 3 米时, 总造价最低为 4000 元. 10、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 ,即 d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 a1 Sn n ?1

4n ? 2 S 2 n ? ? n ?1 Sn

an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) n n 1 2 = ,所以 an ? n 。 ? an ? a1 an ? 1 an ? a1 ?n 2 a (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , n ?1 当 p ? 1 时, Tn ? ; 2 当 p ? 1 时,

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(1 ? P)Tn ? p ? p ? p ? ? ? p
2 3 n ?1

? p ? np
n

n ?1

p(1 ? p n ) ? ? np n?1 1? p

? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? 。 n ? p(1 ? p ) ? np n ?1 , p ? 1 ? 1? p ?

5/5



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