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第9讲 函数的单调性



高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 第 9 讲 函数的单调性 【目标要求】 1.通过观察函数图象,从图象上感知函数的单调性,并能利用函数的图象研究函数的单调性. 2.结合函数图象理解函数单调性的概念,并会运用单调性的定义判断证明函数在某一区间上 的单调性. 3.能够运用函数的单调性比较函数值的大小和自变量的大小,能够解抽象不等式,提高分析问 题和解决问题的能力.


1.增函数,减函数,单调区间的定义 引例 分别作出下列函数的图象,观察其上升下降趋势 (1)y=2x+1; (2)y=

3 ; (3)y=2x2-3x-3 x

定义: (1)①增函数:设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D 是 I 的某个子区间,在区间 D 上______取两个自 变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有________,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数; ②减函数:设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D 是 I 的某个子区间,在区间 D 上______取两个自变 量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有________,那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数. (2)如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么我们说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间

第 9 讲 函数的单调性(第 1 页 共 7 页)

高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 例 1.写出下列函数的单调区间 (1)y=3x-2;(2)y= -

1 ;(3)y=-x2+2x+3. x

变式练 1. (1)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则其增区间是(

).

A.[-4,4]

B.[-4,-3]∪[1,4]

C.[-3,1]

D.[-3,4] .

(2)已知函数 f(x)= ?

? x 2 ? 1, x ? 0
2 ?? x ? 1, x ? 0

则 f(x)的单调递增区间是

2.函数单调性的判定与证明 例 2-1. 若定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 A.函数 f(x)先增后减 B.函数 f(x)先减后增 C.函数 f(x)是 R 上的增函数 D.函数 f(x)是 R 上的减函数

f (a) ? f (b) >0,则( a ?b

).

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高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 例 2-2.判断以下函数的单调性并证明 (1) f (x) ?

x;

(2) f ( x) ? x 3 ;

(3) f ( x) ?

2x ? 1 . x ?1

3.单调性的简单应用 例 3-1. 若函数 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则( ) A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) C. f(a2-1)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)

变式练 3-1.已知函数 y=f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,试比较 f(

3 )与 f(a2-a+1)的大小 4

第 9 讲 函数的单调性(第 3 页 共 7 页)

高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 例 3-2. 已知 f(x)是定义在[-1,2)上的增函数,若 f(a-1)>f(1-3a),求实数 a 的取值范围

变式练 3-2.已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),求 a 的取值范围

? x 2 ? 1, x ? 0 例 3-3.已知 f(x)= ? , 若 f(a2)<f(a),则实数 a 的取值范围是________. ?? x, x ? 0

变式练 3-3.已知 f(x)= ?

?1, x ? 1 ? x ? 2 x ? 2, x ? 1
2

,若 f(a2)>f(3a-2),则实数 a 的取值范围是_____

例 3-4.已知 f(x)=x2-ax+3. (1)若 f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,则 a_________; (2)若 f(x)的增区间是[2,+∞),则 a_________; (3)若 f(x)在区间[2,4]上具有单调性,则 a_________; (4)若 f(x)在区间[2,4]上不单调,则 a_________;

第 9 讲 函数的单调性(第 4 页 共 7 页)

高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 变式练 3-4.(1)已知函数 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围为______________ (2)①若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a= ②若函数 f(x)=|2x+a|在[3,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是

? x 2 ? 1, x ? 1 例 3-5. 若 函 数 f(x)= ? 在 R 上是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 ?ax ? 1, x ? 1
_________________.

?a ?1 ,0 ? x ? 1 ? 变式练 3-5.若函数 f(x)= ? x 在(0,+∞)上是单调递减函数,则实数 a 的取值范围是 2 ?ax ? 2ax, x ? 1 ?
_________________.

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高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 4.复合函数的单调性 (1)定义: 如果函数 y=f(u)的定义域为 A,函数 u=g(x)的定义域为 D,值域为 C,且 C ? A 时,称函数 y=f[g(x)]为 f 与 g 在 D 上的复合函数,其中 u 叫做中间变量,u=g(x)叫做内函数,y=f(u)叫做外函数 (2)复合函数的单调性 u 关于 x 单增 单增 单减 单减 y 关于 u 单增 单减 单增 单减 y 关于 x

例 4-1.判断函数 y= x 2 ? 1 的单调性

变式练 4-1.判断函数 y= 3 ? 2x ? x 2 的单调性

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高中数学必修 1 第一章 集合与函数概念 例 4-2.写出函数 y=

1 的单调区间 x ?1
2

变式练 4-2.写出函数 y=

1 的单调区间 x ? x ? 20
2

【小结】

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