9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

三角函数的定义



第1课时 三角函数的基本概念

一、角的基本概念
1.角的概念 (1)角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所成的图形. (2)旋转开始的射线叫角的始边, 旋转终止位置的射线叫 角的终边, 射线的端点叫角的顶点. (3)按逆时针方向旋转形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转 形成的角叫负角, 如果一条射线没作任何旋转, 称它形成

了一个零角. (4)角的三要素: 顶点、始边、终边. 2.角的分类 (1)正角、负角、零角; (2)象限角、象限界角(分为象间角、轴线角);

3.几类特殊角的表示方法 (1)与 ? 角终边相同的角的集合: { ? | ? =k · 360?+?, k∈Z},或 {? | ?=2k?+?, k∈Z}. (2)象限角、象限界角 ①象限角(也称象间角) 第一象限角: k?360? +0? <?<k?360? +90? , k?Z; (2k?<?<2k?+ ? 2 , k?Z) 第二象限角: k?360? +90? <?<k?360? +180? , k?Z; (2k?+ ? 2 <?<2k?+?, k?Z) 第三象限角: k?360? +180? <?<k?360? +270? , k?Z; 3? (2k?+?<?<2k?+ 2 , k?Z) 第四象限角: k?360? +270? <?<k?360? +360? , k?Z. 或 k?360? -90? <?<k?360? , k?Z. ? <?<2k?+2?, k?Z 或 2k?- ? <?<2k?, k?Z ) (2k?+ 3 2 2

3.几类特殊角的表示方法: ②轴线角

x 轴的非负半轴: ?=k?360? (k?Z) (或写成? =2k?) ;
+180? (2k?+?)(k?Z); x 轴的非正半轴: ?=k?360? y 轴的非负半轴: ?=k?360? +90? (2k?+ ? )(k?Z); 2 ?) 或 y 轴的非正半轴: ?=k?360? +270? (2k?+ 3 2 x 轴: ?=k?180? (k?)(k?Z);

? ?=k?360? -90? (2k?- 2 )(k?Z);

y 轴: ?=k?180? +90? (k?+ ? 2 )(k?Z); 坐标轴: ?=k?90? ( k? )(k?Z). 2

4.角的度量 (1)角度制: 1 一个圆周的 360 的弧所对的圆心角叫做 1 度(1?)的角. (2)弧度制: 等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(1 rad)的角. (3)弧度与角度的相互换算: ? 180 1 rad =( )≈57.30? = 57?18?.

1?= ? rad≈0.01745 rad. 180 (4)扇形的弧长公式: l =r|?| 1 r2 · l · r = |? | 扇形的面积公式: S= 1 2 2

?

二、任意角的三角函数
1.定义
y . P(x, y) x

r

o

?

y y x sin?= r ; cos?= r ; tan?= x ; x r r cot?= y ; sec?= x ; csc?= y ;

(2)三角函数在各象限的符号是: sinα Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
+ + -

cosα
+ - -

tanα
+ -

+ -





二、任意角的三角函数
2.三角函数的符号 y sin? tan? o + cos? x 三角函数正值口诀 一全正二正弦, 三正切四余弦. y P o

3.三角函数线 定义 与单位圆有关的 有向线段 MP、OM、 AT 分别叫做角? 的正弦 线、余弦线、正切线.

T
P M o

y

?

?

M A x

A T

x

典型例题
例1.写出与 -1035? 终边相同的角, 并指出其中属于 [-4?, 4?] 的 角. 解: ∵-1035? = - 3?360? +45? , ∴与 -1035? 终边相同的角为 k?360? +45? (k?Z). 用弧度制表示上面的角为 2k?+ ? 4 (k?Z), 令 -4?≤2k?+ ? 4 ≤4?(k?Z) 得 k=-2, -1, 0, 1, 15 ? 7 ∴其中属于 [-4?, 4?] 的角是 - 4 ?, - 4 ?, 4 , 9 4 ?.

θ θ θ 例 2 已知 θ 是第一象限的角, 且|sin |=-sin , 则 2 2 2 是( ) A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

π 【解析】 θ 是第一象限的角, ∴ 2kπ<θ <2 +2kπ(k∈Z). ∴ θ π θ π kπ< 2<4 +kπ(k∈Z).当 k=2n(n ∈Z)时,2nπ< 2<4 +2nπ(n θ θ ∈Z), 是第一象限的角; 当 k=2n+1(n∈Z)时, π+2nπ< 2 2 5π θ < +2nπ(n∈Z), 是第三象限的角; 4 2

? θ? θ ? ? 又 sin =- sin ,所以 2? 2 ?

θ sin ≤0. 2

θ 在2是第一象限角和第三象限角中只有第三象限角满 θ 足 sin ≤0.故选 C. 2

【答案】 C

例3

(1)如果点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角

θ 所在的象限. sin?cos θ? (2)若 θ 是第二象限角,试判断 的符号是什么? cos?sin 2θ?
(1)因为点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, ? ?sin θ>0 所以 sin θcos θ<0,2cos θ<0,即? , ? cos θ <0 ? 解 所以 θ 为第二象限角. π (2)∵2kπ+ <θ<2kπ+π (k∈Z), 2
∴-1<cos θ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-1≤sin 2θ<0, ∴sin(cos θ)<0,cos(sin 2θ)>0. sin?cos θ? sin?cos θ? ∴ <0.∴ 的符号是负号. cos?sin 2θ? cos?sin 2θ?

思考题 2 已知角 α 是第三象限角,试判断①π-α α 是第几象限角?② 2 是第几象限角?③ 2α 是第几象限 角?
【解析】 ①∵ α 是第三象限角,

3π ∴ 2kπ+π<α<2kπ+ 2 k∈Z. π ∴ -2kπ- <π-α<-2kπ,∴ π-α 是第四象限角. 2 π α 3π α ②∵ kπ+ 2<2 <kπ+ 4 ,∴ 2 是第二或第四象限角.
③∵ 4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z ∴ 2α 是第一或第二象限角或 y 轴非负半轴上的角.

题型二
例4

三角函数的定义

(1)点 P 为圆 x2+y2=4 与 x 轴正半轴的交点,将点

2π P 沿圆周顺时针旋转至点 P′, 当转过的弧长为 3 时, 求点 P′ 的坐标.

2π 3 【解析】 点 P 所转过的角 POP′的弧度数为 α =- = 2 π π - .又|OP′ |=2,∴ 点 P′的横坐标 x=2· cos(- )=1, 3 3 π 纵坐标 y=2· sin(- )=- 3,∴ P′(1,- 3). 3

(2)(2011· 潍坊)已知角 α 的终边经过点 P(m,-3),且 4 cosα=- ,则 m 等于( 5 11 A.- 4 11 B. 4 ) C.-4
m

D.4

4 【解析】 由题意可知, cosα= =- , 又 m<0, 2 5 m +9 解得 m=-4,故选 C.

思考题 3

已知角 α 的顶点在原点,始边为 x 轴的非

3 负半轴. 若角 α 终边经过点 P(- 3, y) , 且 sinα= 4 y(y≠0), 试判断角 α 所在的象限,并求 cosα 和 tanα 的值.
【解析】
2 2

依题意, P 到原点 O 的距离为 |PO|= 3 = y. 2 4 3+y
2

y ?- 3? +y ,∴ sinα= = r
2

y

7 21 ∵ y≠0,∴ 9+3y =16,∴ y = ,y=± . 3 3 ∴ 点 P 在第二或第三象限.

21 x 3 当 P 在第二象限时,y= ,cosα= =- ,tanα= 3 r 4 7 21 x 3 - 3 .当 P 在第三象限时, y=- 3 , cosα=r =-4, tanα 7 = 3

思考题 3(2) 已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α 3 1 = x,求 sin α+ 的值. 6 tan α



∵P(x,- 2) (x≠0),

∴点 P 到原点的距离 r= x2+2.
3 x 3 又 cos α= x,∴cos α= 2 = x. 6 x +2 6 ∵x≠0,∴x=± 10.∴r=2 3.
当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数的定义, - 2 6 1 10 有 sin α= =- , = =- 5, 6 tan α - 2 2 3 6 5+ 6 1 6 ∴sin α+ =- - 5=- ; tan α 6 6

6 5- 6 1 当 x=- 10时,同理可求得 sin α+ = . tan α 6

题型三

利用三角函数线解三角不等式

例5

3 (1)不等式 sinx≥ 2 的解集为__________.

1 (2)不等式 cosx≥-2的解集为__________. (3) 函 数 f(x) = 2sinx+1 + lg(2cosx - 2 ) 的 定 义 域 为 __________.

3 【解析】 (1)过点(0, )作平行于 x 轴的直线,交 2 1 3 1 3 单位圆于点 P1(2, 2 ),P2(-2, 2 ),

3 则以 OP1、OP2 为终边的角的正弦值为 ,终边落在 2 3 阴影部分的角的正弦值大于 2 , 3 π 2π ∴ sinx≥ 2 的解集为{x|2kπ+3 ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}.

1 1 3 (2)过点(-2,0)作直线与单位圆交于点 Q1(-2, 2 )、 1 3 Q2(- ,- ),则以 OQ1、OQ2 为终边的角的余弦值为 2 2 1 1 -2,终边落在阴影部分的角的余弦值大于-2.

1 2π 2π ∴ cosx≥- 2的解集为{x|2 kπ- 3 ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z}.

(3)



? ?2sinx+1≥0 ? ? ?2cosx- 2>0 ① ②



1 ? ?sinx≥- 2 ? ?cosx> 2 2 ?

在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域, 其公共区域为不等式组的解集, ∴ 函数 f(x)的定义域为
? ? ? π π ?x?2kπ- ≤x<2kπ+ ,k∈Z 6 4 ? ? ? ? ? ?. ? ?

思考题 4 ( )

已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是

A.若 α、β 是第一象限的角,则 cosα>cosβ B.若 α、β 是第二象限的角,则 tanα>tanβ C.若 α、β 是第三象限的角,则 cosα>cosβ D.若 α、β 是第四象限的角,则 tanα>tanβ

【解析】

由三角函数线可知选 D.

【答案】 D

题型三

弧度制的有关计算

例6.已知扇形的周长为定值c(c>0) ,当它的圆心角α为多 少弧度时面积最大? 解:方法一 扇形的周长 ?R ? c ?

??2

1 ?c ? ≤c ? ? ? ? 4 ? 4 ??

2

2

?? 4, ?

?

方法二 扇形的周长

?R ?

c ? ??2

2 2 c 4 ? ? S ?(? ) ? ? 2 , 2 ? (? ? 4? ? 4)

令 S ?(? ) ? 0, 则? ? 2. (0, 2) ,(2, ??)
S (? )max ? S (2) ? c . 16
2

方法三

扇形的周长 c ? 2 R ? l ? 2 R ? R? ,

?? ? c ? 2 ? R
2 2 c 1 1 ? ( ? 2) R S ? ?R ? ? R2 ? c R ? R ? 2 2 ? ?( R ? c )2 ? c . 4 16 2 ? S (? )max ? c . 16 此时R ? c , ?? ? c ? 2 ? 2 ? R 4

练习1、已知扇形周长为20cm, 则扇形的半径和中心角 各取何值时,才能使扇形面积最大? 解:设扇形中心角为α,弧长为l,半径为 r,

由题意,得 l ? 20 ? 2r?(0 ? r ? 10). l 1 扇形面积 S ? (20 ? 2r )r α 2 2 O r B ? ?(r ? 5) ? 25. 所以当 r=5 时, S 取最大值 Smax ? 25, 10 l ? 10, 此时弧长 ? 2. 中心角 ? ? 5 所以当扇形的半径是5cm,中心角为2时, 扇 形面积最大.

A



更多相关文章:
任意角、弧度制及三角函数定义习题
任意角、弧度制及三角函数定义习题。任意角和弧度制练习 任意角和弧度制练习 1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长,则该弧所对的圆心角的弧度数是( ) A. 3...
三角函数的定义说课稿
余割的定义;解释新运算产生的几类新函数;用定义求解两 类问题:一是由角终边上一点的坐标,求角的六种三角函数值;二是求轴线角的三角函 数值;三角函数在各象限...
任意角的三角函数的定义教案
教 案 课题: 《任意角的正弦函数、余弦函数、和正切函数》 教学目标: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别; 3....
任意角的三角函数(定义)
任意角的三角函数(定义)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数 Xupeisen110 高中数学 任意角的三角函数(定义)教材:任意角的三角函数(定义) 目的:要求学生...
反三角函数的概念和性质总结
全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com 反三角函数的概念和性质 一.基本知识: 1.正确理解反三角函数的定义,把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系; 2....
三角函数定义及其三角函数公式大全
三角函数定义及其三角函数公式大全_初三数学_数学_初中教育_教育专区。本文档主要是对中学的三角函数的定义和公式进行了汇总归纳.三角函数定义及其三角函数公式大全一:...
三角函数概念方法题型易错点 文档
三角函数概念方法题型易错点 文档_数学_高中教育_教育专区。三角函数 ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一...
三角函数概念说课稿
三角函数概念说课稿_数学_高中教育_教育专区。太原五十八中备课组活动记录表 题目: 数学人教版必修 4 三角函数的概念 说课人: 年级: 高一 时间:2014.2.26 说...
理解锐角三角函数的定义
同理 ; ; . 要点诠释: (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系, 是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角...
更多相关标签:
三角函数定义    三角函数    锐角三角函数    任意角三角函数的定义    三角函数公式    三角函数诱导公式    特殊三角函数    三角函数的图像与性质    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图