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2012高考新课标数学考点总动员 考点5 掌握类型,巧妙构造,解决棘手的数列的问题.doc



一.专题综述
数列是新课程的必修内容,从课程定位上说,其考查难度不应该太大,数列试题倾向考 查基础是基本方向. 从课标区的高考试题看, 试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空 题,一道解答题.由此我们可以预测 2012 年的高考中,数列试题会以考查基本问题为主, 在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等,但难度会得到控制.

.考纲解读

三.2012 年高考命题趋向
1.等差数列作为最基本的数列模型之一,一直是高考重点考查的对象.难度属中低档的题目 较多,但也有难度偏大的题目.其中,选择题、填空题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、 前 n 项和公式为载体, 结合等差数列的性质考查分类讨论、 化归与方程等思想, 要注重通性、 通法;解答题“大而全”,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.预测 2012 年高考仍将以等差数列的定义、 通项公式和前 n 项和公式为主要考点, 重点考查学生的运算 能力与逻辑推理能力. 2.等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点,题型既有选择题、填空 题,又有解答题,难度中等偏高.客观题突出“小而巧”,考查学生对基础知识的掌握程度; 主观题考查较为全面,在考查基本运算、基本概念的基础上,又注重考查函数与方程、等价 转化、分类讨论等思想方法.预测 2012 年高考,等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式仍将是考查的重点,特别是等比数列的性质更要引起重视. 3、等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点,题型以解答题 为主,难度偏高,主要考查学生分析问题和解决问题的能力.预测 2012 年高考,等差数列 与等比数列的交汇、数列与解析几何、不等式的交汇仍将是高考的主要考点,重点考查运算 能力和逻辑推理能力.

四.高频考点解读
考点一 等差数列的性质和应用
例 1[2011· 广东卷] 等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________. 【答案】10 【解析】 由 S9=S4,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,即 5a7=0,所以 a7=0,

1 由 a7=a1+6d 得 d=- ,又 ak+a4=0, 6 1? 1 即 a1+(k-1)?-6?+a1+3×?-6?=0, ? ? ? 1 3 即(k-1)×?-6?=- ,所以 k-1=9,所以 k=10. ? ? 2 例 2 [2011· 湖南卷] 设 Sn 是等差数列{an}(n∈N*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5= ________. 【答案】25 【解析】 设数列{an}的公差为 d,因为 a1=1,a4=7,所以 a4=a1+3d?d=2,故 S5=5a1 +10d=25. 例 3 [2011· 福建卷] 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3.解得 d=-2. 从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n. n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35. 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7 为所求. 【解题技巧点睛】利用等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式,由五个量 a1,d(q),n,an,Sn 中的三个量可求其余两个量,即“知三求二”,体现了方程思想.解答等差、等比数列的有关问题 时,“基本量”(等差数列中的首项 a1 和公差 d 或等比数列中的首项 a1 和公比 q)法是常用方法.

考点二 等比数列的性质和应用
1 例 4 [2011· 北京卷] 在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1|+|a2| 2 +?+|an|=________. 1 - 【答案】 -2 2n 1- 2 1 1 【解析】 由 a4=a1q3= q3=-4,可得 q=-2;因此,数列{|an|}是首项为 ,公比为 2 的等 2 2 1 ?1-2n? 2 1 - 比数列,所以|a1|+|a2|+?+|an|= =2n 1- . 2 1-2 1 1 例 5 [2011· 课标全国卷] 已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1 1 - 1 【解答】 (1)因为 an= ×?3?n 1= n, 3 ? ? 3 1? 1? 1 1- n 1- n 3? 3 ? 3 1-an Sn= = ,所以 Sn= . 1 2 2 1- 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an=-(1+2+?+n) n?n+1? =- . 2

【答案】D 【解析】 由 a2=a3·9, a d=-2, 得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16), 解之得 a1=20, 10=10×20 ∴S 7 10×9 + (-2)=110. 2 1 1 1 例 7[2011· 浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R),且 , , 成等 a1 a2 a4 比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 (2)对 n∈N*,试比较 + +?+ 与 的大小. a2 a22 a2n a1 1 1 1 【解答】设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知?a ?2= · , ? 2? a1 a4 即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2. 因为 d≠0,所以 d=a1=a, 故通项公式 an=na. 1 1 1 (2)记 Tn= + +?+ .因为 a2n=2na, a2 a22 a2n 1 1? 1-?2?n? ? ? ? 1? ?1?n? 1 ? 1 2? 1?1 1 所以 Tn= ?2+22+?+2n?= · = ?1-?2? ?. a a 1 a 1- 2 1 1 从而,当 a>0 时,Tn< ,当 a<0 时,Tn> . a1 a1 【解题技巧点睛】(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等 差、等比数列的通项公式,前 n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. (2)利用等比数列前 n 项和公式时注意公比 q 的取值.同时对两种数列的性质,要熟悉它们 的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程求解.

考点四 求数列的通项公式
例 8 [2011· 江西卷] 已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2, b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 【解答】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2), 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2,

所以{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n 1 或 an=(2- 2)n 1. (2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0,(*) 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根, 1 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3 例 9 [2011· 安徽卷] 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n+2 个数构成递增的等比数列, 将这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=tanan· n+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. tana





【解题技巧点睛】求数列的通项公式的方法: 1、 利用转化, 解决递推公式为 S n 与 a n 的关系式: 数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系:
( n ? 1) ? S1 ( an ? ? .通过纽带: a n ? S n ? S n ? 1 n ? 2 ) ,根据题目求解特点,消掉一个 ? S n ? S n ?1 ( n ≥ 2 )

a n 或 S n .然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉 S n , 利用已知递推式, n 把

换成(n+1)得到递推式,两式相减即可.若消掉 a n ,只需把 a n ? S n ? S n ? 1 带入递推式即可. 不论哪种形式,需要注意公式 a n ? S n ? S n ? 1 成立的条件 n ? 2 . 由递推关系求数列的通项公式 2.利用“累加法”和“累乘法”求通项公式:此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方 法,递推关系为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 用累加法;递推关系为
a n ?1 an ? f ( n ) 用累乘法.解题时需要

分析给定的递推式,使之变形为 a n ? 1 ? a n、 应该为 ( n ? 1) 个式子,不要误认为 n 个.

a n ?1 an

结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,

3.利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式:求数列通项公式方法灵活多样,特别 是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换, 转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思 想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.

考点五 等差等比数列的定义以及应用
例 10 [2011· 江西卷] (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2 =2,b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的 等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 【解答】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即 aq2-4aq+3a-1=0. 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根, 再由{an}唯一,知方程必有一根为 0, 1 将 q=0 代入方程得 a= . 3

3+?-1?n 1 例 11 [2011· 天津卷] 已知数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-2) +1,bn= ,n 2 * ∈N ,且 a1=2. (1)求 a2,a3 的值; (2)设 cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设 Sn 为{an}的前 n 项和,证明 + +?+ + ≤n- (n∈N*). a1 a2 3 a2n-1 a2n n-1 3+?-1? 【解答】 (1)由 bn= ,n∈N, 2 ? ?2,n为奇数, 可得 bn=? ?1,n为偶数. ? 又 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 3 当 n=1 时,a1+2a2=-1,由 a1=2,可得 a2=- ; 2 当 n=2 时,2a2+a3=5,可得 a3=8. (2)证明:对任意 n∈N*,
n



a2n-1+2a2n=-22n 1+1,① 2a2n+a2n+1=22n+1.② - - ②-①,得 a2n+1-a2n-1=3×22n 1,即 cn=3×22n 1. cn+1 于是 =4. cn 所以{cn}是等比数列. (3)证明:a1=2,由(2)知,当 k∈N*且 k≥2 时, a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(a2k-1-a2k-3) - 2?1-4k 1? 2k-1 - =2+3(2+23+25+?+22k 3)=2+3× =2 , 1-4 - 故对任意 k∈N*,a2k-1=22k 1. 2k-1 2k-1 由①得 2 +2a2k=-2 +1, 1 - 所以 a2k= -22k 1,k∈N*. 2 k 因此,S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2k-1+a2k)= . 2 k-1 2k-1 于是,S2k-1=S2k-a2k= +2 . 2 k-1 2k-1 k +2 2 2 S2k-1 S2k k-1+22k k 1 k 故 + = + = - 2k =1- k- k k . - 1 2k-1 22k 4 4 ?4 -1? a2k-1 a2k 22k 1 2 -1 -2 2 * 所以,对任意 n∈N , S2n-1 S2n S1 S2 + +?+ + a1 a2 a2n-1 a2n S1 S2 S3 S4 ?S2n-1+S2n? =?a +a ?+?a +a ?+?+? ? ? 1 2? ? 3 4? ?a2n-1 a2n? 1 2 1 1 1 n =?1-4-12?+?1-42-42?42-1??+?+1- n- n n ? ? ? 4 4 ?4 -1? ? 1 2 1 1 1 1 1 n 1 =n-?4+12?-?42+42?42-1??-?- n+ n n ≤n-?4+12?=n- . ? ? ? ? ? 4 4 ?4 -1? 3 ? 【解题技巧点睛】 判断某个数列是否为等差(或等比)数列,常用方法有两种:一种是由定义判断,二是看任意 相邻三项是否满足等差中项(或等比中项)公式.注意只要其中的一项不符合,就不能为等差(或 等比)数列.而想判断某个数列不是等差(或等比)数列,只需看前三项即可.



考点六 数列的前 n 项和
例 12 [2011· 安徽卷] 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2), a1+a2+?+a10=( 则 ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 【答案】A 【解析】 a1+a2+?+a10=-1+4-7+10+?+(-1)10· (3×10-2)=(-1+4)+(-7+10) 9 10 +?+[(-1) · 9-2)+(-1) · 10-2)]=3×5=15. (3× (3× 例 13[2011· 辽宁卷] 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式; ? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ?
?a1+d=0, ?a1=1, ? ? 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知条件可得? 解得? ?2a1+12d=-10. ?d=-1. ? ? 故数列{an}的通项公式为 an=2-n. ? an ? a2 an (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn,即 Sn=a1+ +?+ n-1,故 S1=1, 2 2 ? ?

例 13 [2011· 课标全国卷] 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2=9a2a6. 3 (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列?b ?的前 n 项和. ? n? 1 2 2 【解答】 (1)设数列{an}的公比为 q,由 a3=9a2a6 得 a3=9a2,所以 q2= . 4 9 1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+?+log3an =-(1+2+?+n) n?n+1? =- . 2 1 1 1 2 故 =- =-2?n-n+1?, bn ? ? n?n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 2n + +?+ =-2?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?=- . ? ? ? ? b1 b2 bn ? ? n+1 ?1? 2n 所以数列?b ?的前 n 项和为- . ? n? n+1 【解题技巧点睛】在数列求和问题中,通法 是“特征联想法”:就是抓住数列的通项公式 的特征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才 能对号入座,得到求和方法. (1) C n ? a n ? b n ? .... , : 数列 { C n } 的通项公式能够分解成几部分, 一般用 “分组求和法” . (2):C n ? a n ? b n ,数列 { C n } 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用 “错位相减法”. (3): C n ?
1 a n ? bn

,数列 { C n } 的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”.

(4): C n ? C n ? a n ,数列 { C n } 的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般
n

采用“倒序相加法”.

考点七 数列的综合问题
例 14[2011· 福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低 销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a). 这里, x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中 项.据此可得,最佳乐观系数 x 的值等于________. 5-1 【答案】 2

例 16 [2011· 浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈R).设数列的前 n 项 1 1 1 和为 Sn,且 , , 成等比数列. a1 a2 a4 (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)记 An= + + +?+ , n= + + +?+ B .当 n≥2 时, 试比较 An 与 Bn 的大 S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n-1 小. 1 1 1 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由?a ?2= · , ? 2? a1 a4 得(a1+d)2=a1(a1+3d).因为 d≠0,所以 d=a1=a, an?n+1? 所以 an=na,Sn= . 2 1 1 2 1 (2)因为 = ?n-n+1?,所以 Sn a? ? 1 1 1 1 1 2 An= + + +?+ = ?1-n+1?. S1 S2 S3 Sn a? ? n-1 因为 a2n-1=2 a,所以 1 1-?2?n ? ? 2? 1 ? 1 1 1 1 1 1- n . Bn= + + +?+ = · 2? a1 a2 a22 1 a? a2n-1 a 1- 2

当 n≥2 时,2n=C0+C1+C2+?+Cn>n+1, n n n n 1 1 即 1- <1- n, 2 n+1 所以,当 a>0 时,An<Bn;当 a<0 时,An>Bn. 【解题技巧点睛】1.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系, 优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数 学思想有所了解, 深刻领悟它在解题中的重大作用, 常用的数学思想方法有: “函数与方程” 、 “数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等. 2.与数列有关的不等式证明有哪些方法: 与数列有关的不等式的命题常用的方法有: 比较 法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明,其中利用不等式放缩证明 是一个热点,常常出现在高考的压轴题中,是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等 式”问题通常有两条途径:一是先放缩再求和,二是先求和再放缩.

考点六 数列的实际应用
例 17 [2011· 陕西卷] 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两 棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(米). .. 【答案】2000 【解析】 树苗放在 10 或 11 号坑,则其余的十九人一次走过的路程为 90,80,70,60,?, 9?10+90? 80,90,100,则和为 s=? ×2+100?×2=2000,若放在 11 号坑,结果一样. 2 ? ? 例 18 [2011· 湖南卷] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M, 的价值在使用 M 过程中逐年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开 始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+?+an (2)设 An= .若 An 大于 80 万元, M 继续使用, 则 否则须在第 n 年初对 M 更新. 证 n 明:须在第 9 年初对 M 更新. 【解答】 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列. 3 an=120-10(n-1)=130-10n;当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为 的等比数列, 4 3?n-6 又 a6=70,所以 an=70×?4? . ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 ?130-10n,n≤6, ? an=? ?3?n-6 ?70×?4? ,n≥7. ? (2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 当 n≥7 时,由于 S6=570,故 3 - 3 - 3 Sn=S6+(a7+a8+?+an)=570+70× ×4×?1-?4?n 6?=780-210×?4?n 6, ? ? ? ? ? ? 4 3 - 780-210×?4?n 6 ? ? An= , n 因为{an}是递减数列,所以 {An}是递减数列.又 3 780-210×?4?2 ? ? 47 A8= =82 >80, 8 64

3 780-210×?4?3 ? ? 79 A9= =76 <80, 9 96 所以须在第 9 年初对 M 更新. 【解题技巧点睛】解数列应用题,要充分运用观察、归纳、猜想等手段,建立等差数列、等 比数列、递推数列等模型.(比较典型的问题是存款的利息计算问题,通常的储蓄问题与等 差数列有关,而复利计算则与等比数列有关.)

针对训练
一.选择题

1.【湖北省孝感市 2011—2012 学年度高中三年级第一次统一考试】
在等差数列 { a n }中 , 若 a 1 ? a 5 ? a 9 ?
3 3

?
4

, 则 ta n ( a 4 ? a 6 ) =





A. 答案:A

B. 3

C.1

D.—1

3.【河北省唐山市 2012 届高三上学期摸底考试数学】
等差数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n , a 2 A. 2 B. ? 2 答案:D
1 1 1 ? 7 4 1 , S4 ?