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吉林省延边二中2011届高三上学期午后训练数学试题(11)


吉林省延边二中 2010~2011 学年度第二学期 高三年级数学学科基础训练(11)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里. 1.设集合 M ? {x | x2 ? x ? 0}, N ? {x || x |? 2}, 则 A. M
N ??

B. M

N ?M

C. M

N ?M

D. M

N ?R

2 . 已 知 向 量 m, n 的 夹 角 为

? , 且 |m ? | 6

3 n? , |

在 | △ 2 , ABC 中 ,

A B ?m ?n , A C ? m 3? D n , 为 BC 边的中点,则 | AD | 等于

A.1 3.设曲线 y ? A.2 4.不等式 log2

B.2

C.3

D.4

2 ? cos x ? 在点 ( , 2) 处的切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于 sin x 2 B.-2 C.-1 D.1

x ?1 ? 1 的解集为 x A. (??, ?1] B. [?1, ??) 5.函数 f ( x) ? x ? sin x 的零点个数为
A.1 B.2 6.函数 y ? loga (| x | ?1)(a ? 1) 的大致图像是

C.[-1,0) C.3

D. (??, ?1) D.无数个

(0, ??)

7.已知函数 y ? a x ?1( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在一次函数 y ? mx ? n 的图象上,其中 m, n ? 0 ,则 A.1

1 1 ? 的最小值为 m n
B. 2 C.2 D.4

8.函数 y ? f ( x) 的导函数图象如图所示,则下面判断正确的是

A.在(-3,1)上 f ( x) 是增函数 C.在 x ? 2 处 f ( x) 取极大值

B.在 x ? 1 处 f ( x) 有极大值 D.在(1,3)上 f ( x) 为减函数

9.已知△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c 且 a ? 1, ?B ? 45?, S?ABC ? 2 ,则
b 等于

A. 4 2

B.3

C.5

D. 41

10. 若函数 f ( x) 满足: “对于区间 (1, 2) 上的任意实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ),| f ( x2 ) ? f ( x1 ) |?| x2 ? x1 | 恒成立” ,则称 f ( x) 为完美函数.在下列四个函数中,完美函数是

1 B. f ( x) ?| x | C. f ( x) ? 2 x ? 3 D. f ( x) ? x 2 x 11.若 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是
A. f ( x) ?

1 1 1 1 B. ? ? 1 C. ab ? 2 ? ab 2 a b 12.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图象如下,则 S ? f (0) ? f (1) ?
A. A.0 B.503 C.1006 D.2012 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分.把 答案填在答题纸相应题目的横线上. 13.已知 a , b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的 边,若 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B, 则 sin C ? 14.已知 | a |? 2,| b |? 4 ,且( a ? b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是 15.若 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log0.3 2 ,则 a , b, c 由大到小的关系是 16 . 设 0 ? a ? 1 , 函 数 f ( x) ? x ?

D.

1 1 ? 2 a ?b 8 ? f (2011) 等于
2

a2 , g ( x) ? x ? ln x , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1, e] , 都 有 x

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 17. (本题满分 12 分)
?x ? y ? 3 ? 0 ? 已知点 P( x, y ) 在由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 确定的平面区域内, O 为坐标原点, A(?1, 2) , ?x ?1 ? 0 ?

试求 OP ? OA 的最大值.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ) ? sin(2x ? ) ? cos 2x ? a ( a ? R, a 为常数). 6 6 (1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2) 若函数 f ( x) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位后, 得到函数 g ( x) 的图像关于 y 轴对称, 求实数 m 的最小值.

?

?

19. (本题满分 12 分) 已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 ka ? b(k ? 0) 的长度相等,求 ? ? ? .

20. (本题满分 12 分) m ? g ( x) 奇函数 f ( x) ? 的定义域为 R ,其中 y ? g ( x) 为指数函数且过点(2,9). 1 ? g ( x) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若对任意的 t ? [0,5] ,不等式 f (t 2 ? 2t ? k ) ? f (?2t 2 ? 2t ? 5) ? 0 恒成立,求实数 k 的 取值范围.

21. (本题满分 12 分) 在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台,将工艺流水线用如图所示的数轴表示,各工 作台的坐标分别为 x1, x2 , x3 , 每个工作台上有若干名工人.现要在 x1 与 x3 之间修建一个零件供应 站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短. (1)若每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置; (2)设三个工作台从左到右的人数依次为 2,1,3,试确定供应站的位置,并求所有工 人到供应站的距离之和的最小值.

22. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)试判断是否存在实数 a (a ? 1) ,使 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 ? ln 2 无公共点(其 中自然对数的底数 e 为无理数且 e =2.71828?).

高三理科数学答案 一、BADCA BDCCA DD 2? 二、13.1 14. 15. b ? a ? c 3

16. e ? 2 ? a ? 1

三、17.解: OP ? OA ? ? x ? 2 y ,设 z ? ? x ? 2 y , 画出可行域,可得直角三角形的三个顶点坐标分别(1,0) (1,2) (2,1). z 由目标函数 z ? ? x ? 2 y ,知 为直线在 y 轴上的截距, 2

? 直线经过点(1,2)时, z 最大,即 OP ? OA 的最大值为 3.
18.解: (1) f ( x) ? sin(2x ? ) ? sin(2x ? ) ? cos 2x ? a 6 6

?

?

? 3sin 2 x ? cos 2 x ? a ? 2sin(2x ? ) ? a. 6 k? ?

?



2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z )





?
6

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z ) 时,

函数 f ( x) 单调递增,故所求区间为 [k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ). 6 3

?

(2)函数 f ( x) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位后得 g ( x) ? 2sin[2( x ? m) ? ] ? a , 6 要使 g ( x) 的图像关于 y 轴对称,只需 2m ? 即m?

?

?
6

? k? ?

?
2

(K ? Z )

k? ? ? ? (k ? Z ) ,所以 m 的最小值为 . 2 3 3

19.解: (1) (a ? b) ? (a ? b) ? a2 ? b2 ?| a |2 ? | b |2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) =1-1=0
? a ? b 与 a - b 互相垂直.(2) ka + b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ),

ka - b ? (k cos ? ? cos ? , k sin ? ? sin ? ),

? | ka + b |? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1,| ka ? b |? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1,
| ka + b |?| ka ? b |,? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k cos(? ? ? ) ? 1,
2k cos( ? ? ? ) ? ?2k cos( ? ? ? ),
k ? 0 ,故 cos( ? ? ? ) ? 0 ,

又 0 ? ? ? ? ? ? ,? 0 ? ? ? ? ? ? ,

?? ? ? ?

?
2

.

20.解: (1)设 g ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1), 则 a 2 ? 9,? a ? 3 或 a ? ?3 (舍) , x m ? 3 m ? 3? x m ? 3x f ( x ) 又 为奇函数, , ? g ( x) ? 3x , f ( x) ? . ? f ( ? x ) ? ? f ( x ), ? ? ? 1 ? 3x 1 ? 3? x 1 ? 3x 整理得 m(3x ? 1) ? 3x ? 1 ? m ? 1 ?2.3x ln 3 1 ? 3x ? f ( x ) ? ? 0,? y ? f ( x) 在 R 上单调递减. ( 2 ) ? f ( x) ? . (1 ? 3x )2 1 ? 3x 要使对任意的 t ?[0,5], f (t 2 ? 2t ? k ) ? f (?2t 2 ? 2t ? 5) ? 0 恒成立, 即对任意的 t ?[0,5], f (t 2 ? 2t ? k ) ? ? f (?2t 2 ? 2t ? 5) 恒成立.

f ( x) 为奇函数,? f (t 2 ? 2t ? k ) ? f (2t 2 ? 2t ? 5) 恒成立,又

y ? f ( x) 在 R 上单调递减,

? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 ? 2t ? 5 当 t ? [0,5] 时恒成立, ? k ? t 2 ? 4t ? 5 ? (t ? 2)2 ? 1 当 t ? [0,5] 时恒成立, ] (t ? 2)2 ? 1 ? 10 时, 而 当 t ?[ 0 , 5 ,? k ? 1. 1? 2 22.解: (1)函数 f ( x) ? x ? ax ? a ln( x ? 1)(a ? R) 的定义域是 (1, ??).

a f ?( x) ? 2 x ? a ? ? x ?1

2 x( x ?

a?2 a?2 ) 2x ( x? ) a ? 2 2 , 2 0 ?1 , f(? )x ? ? 在 (1, ??) ①若 a ? 0 , 则 x ?1 2 x ?1

上恒成立, ? a ? 0 时, f ( x) 的增区间为 (1, ??)

a?2 a?2 ②若 a ? 0 ,则 ? 1 ,故当 x ? (1, ] 时, f ?( x) ? 2 2 a?2 当时 x ?[ , ??) 时, f ?( x) ? 2
? a ? 0 时, f ( x) 的减区间为 (1,

2 x( x ?

a?2 ) 2 ?0; x ?1

2 x( x ?

a?2 ) 2 ?0, x ?1

a?2 a?2 ], f ( x) 的增区间为 [ , ??). 2 2

(2) a ? 1 时,由(1)可知,
f ( x) 在 (1, ??) 上的最小值为 f (

a?2 a2 a ) ? ? ? 1 ? a ln . 2 4 2

a?2 a2 a ) ? ? ? 1 ? a ln (a ?[1, ??)), 2 4 2 a a 1 1 3 则 g ?(a) ? ? ? ln ? 1 ? g ?(1) ? ? ? ln ? 1 ? ? ? ln 2 ? 0, 2 2 2 2 2
设 g (a) ? f (

? g (a) ? ?
? g (a)max

a2 a ? 1 ? a ln 在 [1, ??) 上单调递减, 4 2 3 3 1 4 ? g (1) ? ? ln 2 , g (a)max ? 1 ? ln 2 ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln ? 0, 4 4 4 e

? 存在实数 a (a ? 1) 使 f ( x) 的最小值大于 1 ? ln 2,
故存在实数 a (a ? 1) ,使 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 1 ? ln 2 无公共点.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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