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人教B版必修一2.2.3函数综合(带答案)



2.2.3 函数综合练习
一、选择题 1.已知一个正比例函数的图象过点(2,8),则这个函数的解析式为( A .y =4 x 1 C.y= x 4 [答案] [解析] A 设正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0), B.y=-4x 1 D.y=- x 4 )

又点(2,8)在函数图象上,∴8=2k,∴k=4,故选 A. 2.已知一个一次函数的图象

过点(1,3)、(3,4),则这个函数的解析式为( 1 5 A .y = x - 2 2 1 5 C.y=- x+ 2 2 [答案] [解析] B 1 5 1 5 1 5 解法一:验证排除:点(1,3)不在直线 y= x- ,y=- x+ ,y=- x- 上,故选 B. 2 2 2 2 2 2 1 5 B .y= x+ 2 2 1 5 D.y=- x- 2 2 )

解法二:设一次函数的解析式为 y=kx+b(k≠0),
?3=k+b ? 由题意得? ,解得 ?4=3k+b ?

?k=2 ? 5 ?b=2

1

1 5 ,∴y= x+ . 2 2

3. 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为(-1,0)、 (3,0), 其形状与抛物线 y=-2x2 相同, 则 y=ax2+bx+c 的解析式为( A.y=-2x2-x+3 C.y=-2x2+4x+8 [答案] [解析] D ∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点为(-1,0)、(3,0),其形状与抛物线 y=-2x2 相同, B.y=-2x2+4x+5 D.y=-2x2+4x+6

)

∴a=-2,∴y=-2x2+bx+c, 将点(-1,0)、(3,0)代入 y=-2x2+bx+c,
?-2-b+c=0 ? 得? ,解得 b=4,c=6, ?-18+3b+c=0 ?

∴y=-2x2+4x+6. 4.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且顶点为(-2,8),则 f(x)=( A.-2x2-8x C.2x2+8x [答案] [解析] A 由题意设二次函数的解析式为 y=a(x+2)2+8,又∵函数图象过原点, B.2x2-8x D.-2x2+8x )

∴4a+8=0,∴a=-2,∴y=-2x2-8x. 5.f(x)=ax2+bx+c 的顶点为(4,0),且过点(0,2),则 abc=( )

A.-6 C.- [答案] [解析] 1 4 C ∵f(x)图象过点(0,2),∴c=2. 8a-b2 b =4, =0. 2a 4a

B.11 D. 1 4

又顶点为(4,0),∴-

1 1 解得:b=-1,a= ,∴abc=- . 8 4 6.已知一个二次函数经过(-1,0),(1,0),(2,3)点,则这个函数的解析式为( A.y=x2-1 1 C.y= x2+1 2 [答案] [解析] A 设所求二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0), B.y=1-x2 1 D.y= x2-1 2 )

a-b+c=0 a= 1 ? ? ? ? 由题意,得?a+b+c=0 ,解得?b=0 . ? ? ?4a+2b+c=3 ?c=-1 ∴所求二次函数的解析式为 y=x2-1. 7.如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则|OA|· |OB|等于( )

A .

c a

B.-

c a

c C.± a [答案] [解析] B

D.无法确定

c 由图象易知 a<0,c>0,设 A(x1,0)、B(x2,0),∴|OA|· |OB|=|x1· x2|=- ,故选 B. a ) 1 2

1 8.若直线 y= x+n 与直线 y=mx-1 相交于点(1,2),则有( 2 5 1 A.n=- ,m= 2 2 5 C.n=- ,m=-1 2 [答案] [解析] D 3 将点(1,2)分别代入可得 n= 、m=3. 2 B.n=1,m=

3 D.n= ,m=3 2

9.函数 y=ax2-ax+3x+1 的图象与 x 轴有且只有一个交点,那么 a 的值为( A .0 B .0 或 1

)

C.0 或 1 或 9 [答案] [解析] C

D.0 或 1 或 9 或 12

当 a=0 时,y=3x+1 的图象与 x 轴有且只有一个交点;

当 a≠0 时,Δ=(a-3)2-4a=a2-10a+9=0, ∴a=1 或 9. 10.已知正比例函数 f(x)、反比例函数 g(x)的图象均过点(1,5),则 h(x)=f(x)+g(x)=( 1 5 x+ ? A. ? 2? x? 1? C. 5? ? x+ x ? [答案] [解析] C n 设 f(x)=mx(m≠0),g(x)= (n≠0), x 1 5 x- ? B. ? 2? x ? 1 1 x+ ? D. ? 5? x ? )

把点(1,5)分别代入,得 m=5,n=5. 1? 5 ∴h(x)=f(x)+g(x)=5x+ =5? ? x+ x ? . x 二、填空题 11.已知一个二次函数 y=f(x),若 f(0)=3,f(-3)=0,f(-5)=0,则这个函数的解析式为__________. [答案] [解析] 1 8 y= x2+ x+3 5 5 1 8 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点(0,3)、(-3,0)、(-5,0)代入可得 a= ,b= ,c=3. 5 5

12.已知 6x2-x-1=(2x-1)(ax+b),则 a=_______,b=__________. [答案] [解析] 3 1

∵6x2-x-1=(2x-1)(3x+1),

∴ax+b=3x+1,∴a=3,b=1. 13.已知 a、b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则 5a-b=________. [答案] [解析] 2 ∵f(x)=x2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3

=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3 又∵f(ax+b)=x2+10x+24, a =1 ? ? ? ? ?a=1 ?a=-1 ∴?2ab+4a=10 ,解得? 或? . ?b=3 ?b=-7 ? ? 2 ? ?b +4b+3=24 当 a=1,b=3 时,5a-b=2, 当 a=-1,b=-7 时,5a-b=2. 14.已知抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+1 交于两点,其中一个点的坐标为(1,4),则另一个点的坐标为________. [答案] [解析]
2

?-1,1? ? 4 4?
∵点(1,4)既在抛物线 y=ax2,又在直线 y=kx+1 上,

?4=a ?a=4 ? ? ∴? ,解得? , ?4=k+1 ? ? ?k=3

∴抛物线方程为 y=4x2,直线方程为 y=3x+1.
2 ? ? ?y=4x ?x=1 由? ,得? 或 ?y=3x+1 ? ? ?y=4

?x=-4 ? 1 ?y=4

1

.

三、解答题 15.抛物线经过点(2,-3),它与 x 轴交点的横坐标是-1 和 3. (1)求抛物线的解析式; (2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标; (3)画出草图; (4)观察图象,x 取何值时,函数值小于零?x 取何值时,函数值随 x 的增大而减小? [解析] (1)设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)(a≠0),把点(2,-3)代入,得

-3=a(2+1)(2-3),∴a=1. ∴抛物线的解析式为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4. 由此可知抛物线的对称轴方程为 x=1,顶点坐标为(1,-4). (3)抛物线的草图如图所示. (4)由图象可知,当 x∈(-1,3)时,函数值 y 小于零; 当 x∈(-∞,1]时,y 随 x 的增大而减小. 16.二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),求这个二次函数的解析式. [解析] 解法一:设所求二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0). b =2. 2a

由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1),函数图象的对称轴是-

?4a+2b+c=3 得方程组? b ?-2a=2
9a+3b+c=1



解这个方程组得 a=-2、b=8、c=-5. ∴二次函数解析式为 y=-2x2+8x-5. 解法二:二次函数的顶点式是 y=a(x-h)2+k,而顶点坐标是(2,3),故有 y=a(x-2)2+3,这样只需确定 a 的值. 因为图象经过点(3,1),所以 x=3,y=1 满足关系式 y=a(x-2)2+3,从而有 1=a(3-2)2+3,解得 a=-2. ∴函数解析式为 y=-2(x-2)2+3, 即 y=-2x2+8x-5. 1 17.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f( )=8,试求此二次函数的解析式. 2 [解析] 解法一:设所求函数解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

?a-b+c=-1 根据题意,得? a b ?4+2+c=8

4a+2b+c=-1 ,

解得 a=-4,b=4,c=7,∴f(x)=-4x2+4x+7. 解法二:∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为直线 x= 1 则可设 f(x)=a(x- )2+8,又 f(2)=-1. 2 1 ∴a(2- )2+8=-1,∴a=-4, 2 1 ∴f(x)=-4(x- )2+8=-4x2+4x+7. 2 解法三:由 f(2)=f(-1)=-1,知 f(x)+1=0 的两根为 2 和-1, 可设 f(x)+1=a(x+1)(x-2), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1, 1 1 1 ∵f( )=8,∴ a- a-2a-1=8,解得 a=-4, 2 4 2 ∴f(x)=-4x2+4x+7. 18.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的区间[2a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,试确定实数 m 的取值范围. [解析] (1)由 f(0)=f(2)知二次函数 f(x)关于 x=1 对称,又 f(x)的最小值为 1,故可设 f(x)=a(x-1)2+1, 2+?-1? 1 1 1 = .又 f( )=8,∴顶点坐标为( ,8). 2 2 2 2

又 f(0)=3 得 a=2,故 f(x)=2x2-4x+3. (2)要使函数在区间[2a,a+1]上不单调, 1 则 2a<1<a+1,则 0<a< . 2 (3)由已知,得 2x2-4x+3>2x+2m+1 在 x∈[-1,1]时恒成立, 即 x2-3x+1-m>0 在 x∈[-1,1]时恒成立. 设 g(x)=x2-3x+1-m, 则只要 g(x)min>0 即可, ∵x∈[-1,1],∴g(x)min=g(1)=-1-m, ∴-1-m>0,即 m<-1. 故实数 m 的取值范围是{m|m<-1}.



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