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江西省抚州市七校联考2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析



江西省抚州市七校联考 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (2015 春?抚州期末)若复数 A. B. (b∈R)的实部与虚部互为相反数,则 b=( C. D. 2 )

考点:复数代数形式的乘除运算;复

数的基本概念. 专题:计算题. 分析:化简复数为 解答: 解:∵复数 = 由题意可得 =﹣ = ,解得 b=﹣ . = + . + ,由题意可得 =﹣ ,由此解得 b 的值.

故选 C. 点评:本题主要考查复数的基本概念, 两个复数代数形式的乘除法, 虚数单位 i 的幂运算性质, 属于基础题. 2. (2015 春?黑龙江期末)随机变量 ξ 服从正态分布 N(40,σ ) ,若 P(ξ<30)=0.2,则 P (30<ξ<50)=( ) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 2 分析:随机变量 ξ 服从正态分布 N(40,σ ) ,得到曲线关于 x=40 对称,根据曲线的对称性得 到:若 P(ξ<30)=0.2,则可知 P(30<ξ<50)=1﹣0.4. 2 解答: 解:根据题意,由于随机变量 ξ 服从正态分布 N(40,σ ) , 若 P(ξ<30)=0.2,则可知 P(30<ξ<50)=1﹣0.4=0.6, 故选:C. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布的概率的求解,是 一个基础题.
2

3. (2015 春?抚州期末)定积分

等于(



A.

B.

C.

D.

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:本题利用定积分的几何意义计算定积分,即求被积函数 y= 线 x=0,x=1 所围成的图形的面积即可. 与直

解答:

解:由定积分的几何意义知 是由曲线 y= 与直线 y=x,x=0,x=1 围成

的封闭图形的面积, 故 = ,

故选 A. 点评:本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结 合思想.属于基础题. 4. (2011?江西)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5, 4) , (13,5) ,变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13, 1) . r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数, 则( ) A. r2<r1<0 B.0<r2<r1 C. r2<0<r1 D.r2=r1 考点:相关系数. 专题:计算题. 分析:求两组数据的相关系数的大小和正负,可以详细的解出这两组数据的相关系数,现分 别求出两组数据的两个变量的平均数,利用相关系数的个数代入求出结果,进行比较. 解答: 解:∵变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) , (11.3,2) , (11.8,3) , (12.5,4) , (13,5) , =11.72

∴这组数据的相关系数是 r=



变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5) , (11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1) , ∴这组数据的相关系数是﹣0.3755, ∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零, 故选 C. 点评:本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系,当相关系数为正时,表示两个变 量正相关,也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系. 5. (2012?济南二模)如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )

A. 12 种

11 种

B.20 种

C. 21 种

D.

考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:概率与统计. 分析:设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5,由电路知识分析可得电路接通,则开关 1、2 与 3、 4、5 中至少有 1 个接通,依次分析开关 1、2 与 3、4、5 中至少有 1 个接通的情况数目,由分 步计数原理,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,设 5 个开关依次为 1、2、3、4、5, 若电路接通,则开关 1、2 与 3、4、5 中至少有 1 个接通, 对于开关 1、2,共有 2×2=4 种情况,其中全部断开的有 1 种情况,则其至少有 1 个接通的有 4﹣1=3 种情况, 对于开关 3、4、5,共有 2×2×2=8 种情况,其中全部断开的有 1 种情况,则其至少有 1 个接通 的 8﹣1=7 种情况, 则电路接通的情况有 3×7=21 种; 故选 C.

点评:本题考查分步计数原理的应用,可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况,关键 是分析出电路解题的条件. 6. (2012?福建)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴 影部分的概率为( )

A.

B.

C.

D.

考点:定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题:计算题. 分析:根据题意, 易得正方形 OABC 的面积, 观察图形可得, 阴影部分由函数 y=x 与 y= 成,由定积分公式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1, 而阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成,其面积为∫0 (
1



﹣x)dx=(



)|0 = ,

1

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 = ; 故选 C. 点评:本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部 分的面积. 7. (2015 春?抚州期末)下列类比推理的结论正确的是( ) ①类比“实数的乘法运算满足结合律”,得到猜想“向量的数量积运算满足结合律”; ②类比“平面内,同垂直于一直线的两直线相互平行”,得到猜想“空间中,同垂直于一直线的 两直线相互平行”; ③类比“设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8﹣S4,S12﹣S8 成等差数列”,得到猜想“设 等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, , 成等比数列”;

④类比“设 AB 为圆的直径,p 为圆上任意一点,直线 PA,PB 的斜率存在,则 kPA.kPB 为常 数”, 得到猜想“设 AB 为椭圆的长轴, p 为椭圆上任意一点, 直线 PA, PB 的斜率存在, 则 kPA. kPB 为常数”. A. ①② B.③④ C. ①④ D. ②③ 考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明.

分析: ?( ? ) , ( ? )? ,分别为与向量 , 共线的向量,当 , 方向不同时,向量 的数量积运算结合律不成立;空间中,同垂直于一直线的两直线可能平行,可能相交,也可能 异面;利用排除法可得答案. 解答: 解: ( ? )与向量 共线, ( ?? )? 与向量 共线,

当 , 方向不同时,向量的数量积运算结合律不成立,故①错误,可排除 A,C 答案; 空间中,同垂直于一直线的两直线可能平行,可能相交,也可能异面,故②错误,可排除 D 答案; 故选:B. 点评:本题考查的知识点是类比推理,其中利用排除法排除错误答案是解答选择题的常用技 巧. 8. (2015 春?抚州期末)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系(单位长度相同) .已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,则满足这样

条件的点 P 的个数为( ) A. 1 B.

2

C.

3

D. 4

考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式 求出圆心到直线的距离即可判断出结论. 解答: 解:曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,即 ρ =4ρcosθ,化为 x +y =4x,化为(x﹣2) 2 2 +y =4,可得圆心 C(2,0) ,半径 r=2.
2 2 2

直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .化为

﹣4=0.

则圆心 C 到直线 l 的距离 d=

=1.

∴若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,则满足这样条件的点 P 的个数为 3. 故选:C. 点评:本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位 置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 9. (2015 春?抚州期末)设 m∈{1,2,3,4},n∈{﹣12,﹣8,﹣4,﹣2},则函数 f(x) 3 =x +mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理;等可能事件的概率. 专题:计算题. 3 3 分析:根据题意易得,f(x)=x +mx+n 在 R 上单调递增,进而可得若函数 f(x)=x +mx+n 在区间[1, 2]上有零点, 必须有 , 解可得﹣2m﹣8≤n≤﹣m﹣1, 进而分 m=1、 m=2、

m=3、m=4 四种情况讨论,求出满足﹣2m﹣8≤n≤﹣m﹣1 的 n 的值,可得满足 f(x)在[1,2] 3 上有零点的情况数目,由分步计数原理可得函数 f(x)=x +mx+n 的解析式的情况数目,进而 由等可能事件的概率,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,f′(x)=3x +m,又由 m>0,则 f′(x)=3x +m>0; 3 故 f(x)=x +mx+n 在 R 上单调递增, 3 则若函数 f(x)=x +mx+n 在区间[1,2]上有零点, 只需满足条件 ,
2 2

从而解得 m+n≤﹣1 且 2m+n≥﹣8, ∴﹣2m﹣8≤n≤﹣m﹣1, 当 m=1 时,n 取﹣2,﹣4,﹣8; m=2 时,n 取﹣4,﹣8,﹣12; m=3 时,n 取﹣4,﹣8,﹣12; m=4 时,n 取﹣8,﹣12; 共 11 种取法, 而 m 有 4 种选法,n 有 4 种选法,则函数 f(x)=x +mx+n 情况有 4×4=16 种, 故函数 f(x)=x +mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是
3 3



故选 C. 点评:本题考查等可能事件的概率与函数零点的判定,关键在于根据函数零点的判定方法, 分析出 m、n 之间的关系. 10. (2015?遵义校级一模)若(2x﹣1) 的值为(
2015

=a0+a1x+a2x +…+a2015x

2

2015

(x∈R) ,则



A. ﹣

B.﹣

C.

D.

考点:二项式定理的应用. 专题:计算题;二项式定理.

分析:赋值,求出 a0=﹣1, a1+ 出结论.

a2+…+

a2015=1,由二项式定理可得 a1=4030,即可得

解答: 解:由题意,令 x= ,则 0=a0+ a1+ 令 x=0,可得 a0=﹣1, ∴ a1+ a2+…+ a2015=1,

a2+…+

a2015,

由二项式定理可得 a1=4030, ∴ = + (1﹣2015)= .

故选:C. 点评:本题考查二项式定理的应用,考查赋值法的运用,考查学生的计算能力,比较基础. 11. (2015 春?抚州期末)如图所示,连结棱长为 2cm 的正方体各面的中心得一个多面体容 器,从顶点 A 处向该容器内注水,注满为止.已知顶点 B 到水面的高度 h 以每秒 1cm 匀速上 升,记该容器内水的体积 V(cm )与时间 T(S)的函数关系是 V(t) ,则函数 V(t)的导函 数 y=V′(t)的图象大致是( )
3

A.

B.

C.

D. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数的图象. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析:求出函数的解析式,再求导,观察判断即可. 解答: 解:方法一,正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体,棱长为 a= = ,高为 2,

设时间为 t 时,当 t≤1 时,此时水面的边长为 b, 该容器内水的体积 V(t)= ×2t ×t= t , 当 t>1 时,此时水面的边长为 c,
2 2 3

,则 b=

t,则水面的面积为 b =2t ,

2

2

,则 c=

(2﹣t) ,则水面的面积为 c =2(2﹣t)

2

, ( ) ×2﹣ ×2×(2﹣t) ×(2﹣t)= ﹣ ×(2﹣t) ,
2 2 2 3

该容器内水的体积 V(t)=
2

∴y=V′(t)=2t , (t≤1) ,y=V′(t)=2(2﹣t) , (1<t≤2) , 3 方法二,由题意得:V(cm )与时间 T(S)的函数关系是 V(t) ,y=tv(t)是关于 t 的 3 次 函数, 则 y=v′(t)是关于 t 的 2 次函数, 故选:D. 点评:本题主要考查了函数的图象的识别问题,关键是理解水的容积式关于的 t 的 3 次函数, 属于中档题.

12. (2015 春?抚州期末)已知正实数 a,b 满足:a+b=2,记

的最小值 m.设函数 )

, 若存在实数 x, 使得 ( f x) =m, 则 x 的取值范围为 ( A. [0,1] [﹣1,1] B.[﹣2,2] C. [﹣1,0] D.

考点:绝对值三角不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由条件利用基本不等式求得 m=2,利用绝对值三角不等式求得 f(x)≥|t+ |=|t|+| |,再 利用基本不等式求得 f(x)≥2,当且仅当 t=±1 等号时成立,此时﹣1≤x≤1,从而得出结论. 解答: 解:由正实数 a,b 满足 a+b=2,可得 当且仅当 = ,即 a=b=1 时,取等号,故 = + =1+ + ≥1+2 =2,

的最小值 m=2. ,存在实数 x,使得 f(x)=m=2,

由题意可得函数

由于 f(x)=|x﹣t|+|x+ |≥|(x﹣t)﹣(x+ )|=|t+ |=|t|+| |≥2, 当且仅当 t=±1 等号时成立,此时﹣1≤x≤1, ∴存在 x∈[﹣1,1],使 f(x)=m 成立, 故选:A. 点评:本题主要考查绝对值三角不等式、基本不等式的应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每个小题分,共 20 分,把答案填在答卷的相应位置. 13. (2015 春?抚州期末)如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来, (n=1、2、3、…)

则在第 n 个图形中共有 (n+2) (n+3) 个顶点. 考点:归纳推理. 专题:规律型. 分析:本题考查的知识点是归纳推理, 由已知图形中, 我们可以列出顶点个数与多边形边数 n, 然后分析其中的变化规律,然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论. 解答: 解:由已知中的图形我们可以得到: 当 n=1 时,顶点共有 12=3×4(个) , n=2 时,顶点共有 20=4×5(个) , n=3 时,顶点共有 30=5×6(个) , n=4 时,顶点共有 42=6×7(个) , … 由此我们可以推断: 第 n 个图形共有顶点(n+2) (n+3)个, 故答案为: (n+2) (n+3) . 点评:本类题解答的关键是:先通过观察个别情况发现某些相同性质;然后从已知的相同性 质中推出一个明确表达的一般性命题或猜想. 14. (2015?双鸭山校级四模)设集合 P={x| 空子集个数是 3 . 考点:定积分;子集与真子集. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据积分公式,求出集合 P,即可得到结论. 解答: 解:
2

(3t ﹣10t+6)dt=0,x>0},则集合 P 的非

2

(3t ﹣10t+6)dt=(t ﹣5t t+6t)|

2

3

2

=x ﹣5x +6x=0,

3

2

即 x(x ﹣5x+6)=0, 解得 x=0(舍去)或 x=2 或 x=3, 即集合 P={2,3}. ∴集合 P 的非空子集为{2},{3},{2,3}. 故答案为:3. 点评:本题主要考查积分的计算依据集合子集个数的判断,比较基础. 15. (2015 春?抚州期末)若数列{an}满足:a1<a2>a3<a4>…>a2n﹣1<a2n>…,则称数列 {an}为“正弦数列”,现将 1,2,3,4,5 这五个数排成一个“正弦数列”,所有排列种数记为 a, 则二项式( ﹣ ) 的展开式中含 x 项的系数为 ﹣96 .
6 2

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析:分别列出首位是 2、3、4,5 时的情况,即可得到 a 的值为 16.先求出二项式展开式的 2 通项公式,再令 x 的幂指数等于 2,求得 r 的值,即可求得展开式中的含 x 项的系数. 解答: 解:由题意,首位是 2 时,21435,21534 共 2 种; 首位是 3 时,31425,31524,32415,32514,共 4 种; 首位是 4 时,41325,41523,42315,42513,43512,共 5 种; 首位是 5 时,51324,51423,52314,52413,53412 有共 5 种 故共有 2+4+5+5=16 种,即 a=16. 二项式( ﹣ ) =(
6



) 的 的展开式的通项公式为 Tr+1=
2

6

?(﹣16) ?x

r

3﹣r



令 3﹣r=2,求得 r=1,故展开式中含 x 项的系数为 6×(﹣16)=﹣96, 故答案为:﹣96. 点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确列举是关键.还考查了二项式 系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.

16. (2013?厦门一模)某同学在研究函数 f(x)= 点间距离公式的启发,将 f(x)变形为 f(x) = +

+

的性质时,受到两

,则 f(x)表示|PA|+|PB|(如

图) ,下列关于函数 f(x)的描述正确的是 ②③ . (填上所有正确结论的序号) ①f(x)的图象是中心对称图形; ②f(x)的图象是轴对称图形; ③函数 f(x)的值域为[ ,+∞) ; ④方程 f[f(x)]=1+ 有两个解.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①因为函数不是奇函数,所以错误.②利用函数对称性的定义进行判断.③利用两 点之间线段最短证明.④利用函数的值域进行判断. 解答: 解:①因为 f(﹣x)= 所以图象关于原点不对称,所以错误. ②因为 , ,所以函数不是奇函数,



所以

,即函数关于 x= 对称,所以②正确. ,所以 f(x)≥ ,即

③由题意值 f(x)≥|AB|,而|AB|= 函数 f(x)的值域为[ ,+∞) ,正确. ④设 f(x)=t,则方程 f[f(x)]=1+ ,等价为 f(t)= = ,所以 t=0,或 t=3.

,即

因为函数 f(x) ,所以当 t=0 或 t=3 时,不成立,所以方程无解,所以④错误. 故答案为:②③ 点评: 本题综合考查了函数的性质,综合性较强,运算量较大,考查学生的分析能力. 三、解答题:本大题有 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (2010?河西区三模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 2Sn=an +n,an>0(n∈N ) . (Ⅰ)求 a1,a2,a3; (Ⅱ)猜想{an}的通项公式,并加以证明; (Ⅲ)设 x>0,y>0,且 x+y=1,证明: ≤ .
2 *

考点:数列与不等式的综合. 专题:证明题;压轴题. 分析: (Ⅰ)分别令 n=1,2,3,列出方程组,能够求出求 a1,a2,a3; 2 2 2 (Ⅱ) 证法一: 猜想: an=n, 由 2Sn=an +n 可知, 当 n≥2 时, 2Sn﹣1=an﹣1 + (n﹣1) , 所以 an =2an+an 2 ﹣1 ﹣1 再用数学归纳法进行证明; 证法二:猜想:an=n,直接用数学归纳法进行证明. (Ⅲ)证法一:要证 +2+ ≤ ,只要证 n(x+y) ≤n+2, 即要证 4xy≤1. 由

≤2 (n+2) , 将 x+y=1 代入, 得

均值不等式知 4xy≤1 成立,所以原不等式成立. 证法二:由题设知 ( 证法三:先证 ≤ ) ≤ ≤ ≤ , =n+2,由此可导出 ,然后令 a=nx+1,b=ny+1,即得: = . ≤ ,所以 ≤ .

解答: 解: (Ⅰ)分别令 n=1,2,3,得

∵an>0,∴a1=1,a2=2,a3=3. (3 分) (Ⅱ)证法一:猜想:an=n, (4 分) 2 由 2Sn=an +n① 2 可知,当 n≥2 时,2Sn﹣1=an﹣1 +(n﹣1)② 2 2 2 2 ①﹣②,得 2an=an ﹣an﹣1 +1,即 an =2an+an﹣1 ﹣1. (6 分) 2 2 1)当 n=2 时,a2 =2a2+1 ﹣1,∵a2>0,∴a2=2; (7 分) 2)假设当 n=k(k≥2)时,ak=k.那么当 n=k+1 时, 2 2 2 ak+1 =2ak+1+ak ﹣1=2ak+1+k ﹣1?[ak+1﹣(k+1)][ak+1+(k﹣1)]=0, ∵ak+1>0,k≥2, ∴ak+1+(k﹣1)>0, ∴ak+1=k+1.这就是说,当 n=k+1 时也成立, ∴an=n(n≥2) .显然 n=1 时,也适合. 故对于 n∈N*,均有 an=n. (9 分) 证法二:猜想:an=n, (4 分) 1)当 n=1 时,a1=1 成立; 2)假设当 n=k 时,ak=k. (6 分) 2 2 那么当 n=k+1 时,2Sk+1=ak+1 +k+1.∴2(ak+1+Sk)=ak+1 +k+1, 2 2 2 ∴ak+1 =2ak+1+2Sk﹣(k+1)=2ak+1+(k +k)﹣(k+1)=2ak+1+(k ﹣1) (以下同证法一) (9 分) (Ⅲ)证法一:要证 只要证 即 n(x+y)+2+ 将 x+y=1 代入,得
2 2



, ≤2(n+2) , (10 分) ≤2(n+2) , (11 分)

≤n+2,

即要证 4(n xy+n+1)≤(n+2) ,即 4xy≤1. ∵x>0,y>0,且 x+y=1,∴ ≤ ,

即 xy≤ ,故 4xy≤1 成立,所以原不等式成立. (14 分)

证法二:∵x>0,y>0,且 x+y=1,∴ 当且仅当 时取“=”号. (11 分)





∴ 当且仅当

≤ 时取“=”号.



①+②,得( 当且仅当 ∴ 证法三:可先证 ∵ ∴2a+2b≥ ∴ ≥ ,

) 时取“=”号. (13 分) ≤ ≤ ,



=n+2,

. (14 分) . (10 分) ,a+b≥ , (11 分)

,当且仅当 a=b 时取等号. ≤ 时取等号. (14 分) = ,

令 a=nx+1,b=ny+1,即得: 当且仅当 nx+1=ny+1 即

点评:本题考查数列和不等式的综合应用,解题时要注意各种不同解法的应用,平时做题时 多尝试一题多解能够有效地提高解题能力.

18. (2008?安徽)设函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知

(x>0 且 x≠1)

对任意 x∈(0,1)成立,求实数 a 的取值范围.

考点:利用导数研究函数的单调性. 分析: (Ⅰ)求单调区间既是求函数导数大于或小于 0 的区间,我们可以用图表表示使结 果直观. (Ⅱ)对于未知数在指数上的式子,往往取对数进行解答. 解答: 解: (Ⅰ) ,若 f′(x)=0,则 列表如下

x f′(x) f(x) + 单调增 0 极大值 ﹣ 单调减

(1,+∞) ﹣ 单调减

(Ⅱ)在

两边取对数,得

,由于 0<x<1,所以 , ,即 a>﹣eln2

(1)

由(1)的结果可知,当 x∈(0,1)时, 为使(1)式对所有 x∈(0,1)成立,当且仅当 点评:求解此类问题要有耐心,避免不必要的计算错误.

19.(2012?天津) 现有 4 个人去参加娱乐活动, 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择. 为 增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数 为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X﹣Y|,求随机变量 ξ 的 分布列与数学期望 Eξ. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题:概率与统计. 分析: 依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的人数的概率 为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4) ,故 P(Ai) = (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P(A2) ; (2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则 B=A3∪A4,利用互 斥事件的概率公式可求; (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4,由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,求出相应的概率,可 得 ξ 的分布列与数学期望. 解答: 解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的人数的 概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4) ,∴P(Ai) = (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P(A2)= ;

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B,则 B=A3∪A4, ∴P(B)=P(A3)+P(A4)=

(3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4,由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故 P(ξ=0)=P(A2) = P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= ∴ξ 的分布列是 ξ P 数学期望 Eξ= 点评:本题考查概率知识的求解,考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列 与期望,属于中档题. 20. (2015 春?抚州期末)规定 且 =1,这是排列数 A 的值; +mA =A (其中 m,n 是正整数) .是否都能推广到 A ,其中 x∈R,m 为正整数, ,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=

0

2

4

(n,m 是正整数,n≤m)的一种推广.

(Ⅰ) 求 A

(Ⅱ)排列数的性质:A

(x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由; (Ⅲ)已知函数 f(x)=A ﹣4lnx﹣m,试讨论函数 f(x)的零点个数.

考点: 排列及排列数公式. 专题: 新定义;函数的性质及应用;导数的概念及应用;排列组合. 分析: (Ⅰ)根据题目中的公式,计算 A (Ⅱ)性质可推广,写出推广的形式是 的值即可; = (x∈R,m∈N ) ,再证明即可:
*

(Ⅲ)化简 f(x) ,构造函数 g(x) ,由 f(x)零点的个数转化为求 g(x)与 y=m 交点的个 数即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据题意,得; ;…(2 分) (Ⅱ)性质可推广,推广的形式是 证明:当 m=1 时,左边= = (x∈R,m∈N ) ; …(4 分)
*

=右边,等式成立;

当 m≥2 时,左边=x(x﹣1)…(x﹣m+1)+mx(x﹣1)…(x﹣m+2) =x(x﹣1)…(x﹣m+2) (x﹣m+1+m) =(x+1)x(x﹣1)…(x﹣m+2)

=(x+1)x(x﹣1)…[(x+1)﹣m+1)] = =右边; = (x∈R,m∈N )成立;…(7 分)
*

因此, (Ⅲ)

设函数 g(x)=x ﹣3x +2x﹣4lnx,g(x)的定义域为(0,+∞) ,…(8 分) 则函数 f(x)零点的个数等价于函数 g(x)与 y=m 公共点的个数;

3

2

, 令 g′(x)=0,得 x=2,所以 g(x)在(0,2)上单减,在(2,+∞)上单增; 故 g(x)的最小值为 g(2)=﹣4ln2;…(10 分) ∴当 m<﹣4ln2 时,函数 g(x)与 y=m 没有公共点,即函数 f(x)不存在零点, 当 m=﹣4ln2 时,函数 g(x)与 y=m 有一个公共点,即函数 f(x)有且只有一个零点, 当 m>﹣4ln2 时,函数 g(x)与 y=m 有两个公共点,即函数 f(x)有且只有两个零点. … 点评: 本题考查了新定义的应用问题,也考查了函数的性质与应用问题,考查了导数的综 合应用问题,考查了排列数的应用问题,是综合性问题. 21. (2015?绥化校级二模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 , (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)的单调区间; (3)如果 s、t、r 满足|s﹣r|≤|t﹣r|,那么称 s 比 t 更靠近 r.当 a≥2 且 x≥1 时,试比较 和 e
1 x﹣



+a 哪个更靠近 lnx,并说明理由.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研 究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的导数,利用赋值法,求出 f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0) ,得到 f(0) =1.然后求解 f′(1) ,即可求出函数的解析式. x (2)求出函数的导数 g′(x)=e +a,结合 a≥0,a<0,分求解函数的单调区间即可. (3)构造 ,通过函数的导数,判断函数的
x﹣1

单调性,结合当 1≤x≤e 时, 当 1≤x≤e 时,推出|p(x)|<|q(x)|,说明 比 e

+a 更靠近 lnx. 当

x>e 时,通过作差,构造新函数,利用二次求导,判断函数的单调性,证明 比 e 近 lnx. 解答: 解: (1)f′(x)=f′(1)e =1.又
2 2x﹣2

x﹣1

+a 更靠

+2x﹣2f(0) ,所以 f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0) ,即 f(0)


2x 2

所以 f′(1)=2e ,所以 f(x)=e +x ﹣2x. (4 分) 2x 2 (2)∵f(x)=e ﹣2x+x , ∴

, ∴g′(x)=e ﹣a. ①当 a≤0 时,g′(x)>0,函数 f(x)在 R 上单调递增; (6 分) x ②当 a>0 时,由 g′(x)=e ﹣a=0 得 x=lna, ∴x∈(﹣∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g(x) 单调递增. 综上,当 a≤0 时,函数 g(x)的单调递增区间为(∞,∞) ; 当 a>0 时,函数 g(x)的单调递增区间为(lna,+∞) ,单调递减区间为(﹣∞,lna) . (8 分) (3)解:设 ,∵ ,
x

∴p(x)在 x∈[1,+∞)上为减函数,又 p(e)=0,∴当 1≤x≤e 时,p(x)≥0,当 x>e 时,p (x)<0.∵ , ,∴q′(x)在 x∈[1,+∞)

上为增函数,又 q′(1)=0,∴x∈[1,+∞)时,q'(x)≥0,∴q(x)在 x∈[1,+∞)上为增函 数,∴q(x)≥q(1)=a+1>0. ①当 1≤x≤e 时, 设 ,则 , ,∴m(x)在 x∈[1,+∞)上

为减函数, ∴m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a, ∵a≥2,∴m(x)<0,∴|p(x)|<|q(x)|,∴ 比 e ②当 x>e 时,
x﹣1

+a 更靠近 lnx.

, 设 n(x)=2lnx﹣e
x﹣1

﹣a,则



,∴n′

(x)在 x>e 时为减函数, ∴ =2﹣a﹣e
e﹣1

,∴n(x)在 x>e 时为减函数,∴n(x)<n(e) <0,

∴|p(x)|<|q(x)|,∴ 比 e 综上:在 a≥2,x≥1 时, 比 e

x﹣1

+a 更靠近 lnx.

x﹣1

+a 更靠近 lnx.

点评: 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调 性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用, 对考生的逻辑推理能力与运算求解有较 高要求. 【选做题】 (共 1 小题,满分 10 分) 22. (10 分) (2015 春?抚州期末)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=1,以极点为原点,极轴为 x

轴的正半轴建立直角坐标系,直线 l 的参数方程

, (t 为参数) .

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 线 l 的距离最小,求出最小距离. 考点:直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:直线与圆. 分析: (I)由极坐标下的方程化为普通方程的公式即可将 ρ=1 化为普通方程;把直线 l 的 参数方程中的参数消去即可得到直线 l 的普通方程. (II)利用伸缩变换 得到曲线 C′,再根据得到的曲线 C'方程,利用三角代换即可把点 得到曲线 C′,若在曲线 C′上有一点 M,使点 M 到直

M 到直线 l 的距离的最小值转化为求三角函数类型的最值问题. 解答: 解: (I)设点 P(x,y)是曲线 C 上的任意一点,由 ρ= 即为曲线 C 的直角坐标方程. ,ρ=1,可得 x +y =1
2 2

又已知直线 l 的参数方程

,可得直线 l 的普通方程为 l:x+

y﹣6=0.

(Ⅱ) 设点 P(x,y) ,是圆 C 上的任意一点,经过伸缩变换
2 2

得到点 P'(x',y')





,把

代入圆 x +y =1 得,

所以曲线 C': 令 M(3cosθ,sinθ) ,则点 M 到直线 l 的距离

d= ∴当 ∴当 M( =0 即

= 时,dmin= ,此时,3cosθ= . ,sinθ=

, )时,点 M 到直线 l 的距离的最小值为 3﹣

点评:本题考查的是将极坐标方程及参数方程化为直角坐标系下的普通方程,及用参数法求 代数式的最值. 【选做题】 (共 1 小题,满分 0 分) 23. (2015 春?抚州期末)已知函数 f(x)=|x﹣3|﹣2,g(x)=﹣|x+1|+4. (Ⅰ)若不等式 f(x)+g(x)>3,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 f(x)﹣g(x)≥m+1 的解集为 R,求 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)通过对 x 的范围的讨论,去掉绝对值符号,转化为三个不等式组解即可; (Ⅱ)利用绝对值不等式,使得 f(x)﹣g(x)=|x﹣3|+|x+1|﹣6≥|(3﹣x)+(x+1)|﹣6=﹣2, 从而可求得 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)+g(x)>3 等价于|x﹣3|﹣|x+1|>1, ∴ 或 或 ,

∴x≤﹣1 或﹣1<x< ,即 x< , ∴x 的取值范围是(﹣∞, ) . (Ⅱ)f(x)﹣g(x)=|x﹣3|+|x+1|﹣6, ∵对于?x∈R,f(x)﹣g(x)=|x﹣3|+|x+1|﹣6=|3﹣x|+|x+1|﹣6≥|(3﹣x)+(x+1)|﹣6=4﹣6= ﹣2, 当且仅当(3﹣x) (x+1)≥0 即﹣1≤x≤3 时等号成立. ∴m+1≤﹣2, ∴m≤﹣3.即 m 的取值范围是(﹣∞,﹣3]. 点评:本题考查带绝对值的函数,去掉绝对值符号是解决问题的关键,而分类讨论思想是去 绝对值符号最长用的方法,考查等价转化思想与运算能力,属于中档题.



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