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1.1.2导数的概念(学、教案)



1. 1.2 导数的概念
课前预习学案
预习目标: “导数的概念”了解瞬时速度的定义,能够区分平均速度和瞬 时速度,理解导数(瞬 时变化率)的概念 预习内容:

问题 1 我们把物体在 某一时刻的速度称为________。一般地,若物体的运动规律 为 s ? f (t ) ,则物体在时刻 t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到 t ? ?t 这段时 间内,当_________时平均速度的极限,即 ?s v ? lim =___________________ ?x ?0 ?t

h?t ? ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
问题 2 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

我 们 称 它 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 ______ , 记 作 f ' ( x0 ) 或 ________ , 即 ________________________ 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
学习目标:了解瞬时速度的定义,能够区分平均速度和瞬时速度, 理解导数(瞬时变化率)的 概念 学习重点:导数概念的形成,导数内涵的理解 学习难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点 学习过程: 一:问题提出 问题 : 我们把物体在某一时刻的速度称为________。 一般地, 若物体的运动规律为 s ? f (t ) , 则物体在时刻 t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到 t ? ?t 这段时间内,当_________时平均速度的 极限,即 v ? lim

?s =___________________ ?x ?0 ?t

h?t ? ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
?t ? 0 时,在 ?2 ? ?t ,2? 这段时间内 ?t ? 0 时,在 ?2,2 ? ?t ? 这段时间内
-1-

二:导数的概念 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

我 们 称 它 为 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 ______ , 记 作 f ' ( x0 ) 或 ________ , 即 ________________________ 三:探究求导数的步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
(2) 算比值 (3) 求y ?
x ? x0

四:精讲点拨 课本例 1

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; (即___变化率) ?x ?x ?y ? (在 . ?x ? 0时) ?x

五:有效训练

求 y ? x 2 ? 2 在点 x=1 处的导数.

反思总结: 附注: ①导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率;与上一节的平均变化率不同 ②定义的变化形式: f
'

?x ? = ? lim x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?y ; ? lim (?x) ?x?0 ?x

f ' ?x ? = lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ?y ' ; f ? x ? = lim ; ? lim ? ?x ?0 x ? x0 (?x) x ? x0 ? ?x x ? x0

?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

③求函数 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的导数步骤: “一差;二比;三极限” 。 当堂检测:
-2-

1、已知函数 y ? f ( x) ,下列说法错误的是( A、 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫函数增量 B、



?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 叫函数在[ x0 , x0 ? ?x ]上的平均变化率 ?x ?x

C、 f ( x) 在点 x0 处的导数记为 y ? D、 f ( x) 在点 x0 处的导数记为 f ?( x0 )

2、求函数 y ? x 在 x ? 1 处的导数

课后练习与提高
2 1、若质点 A 按规律 s ? 2t 运动,则在 t ? 3 秒的瞬时速度为(



A、6

B、18

C、54
?x ? 0

D、81 ) D、以上都不对

2、设函数 f ( x) 可导,则 lim A、 f ?(1) 3、函数 y ? x ? B、

f (1 ? ?x) ? f (1) =( 3?x
C、不存在

1 f ?(1) 3

1 在 x ? 1 处的导数是______________ x 1 2 4、已知自由下落物体的运动方程是 s ? gt ,(s 的单位是 m,t 的单位是 s),求: 2
(1)物体在 t 0 到 t 0 ? ?t 这段时间内的平均速度; (2)物体在 t 0 时的瞬时速度; (3)物体在 t 0 =2s 到 t1 ? 2.1s 这段时间内的平均速度; (4)物体在 t ? 2 s 时的瞬时速度。

-3-

1.1.2 导数的概念
教学目标: 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2.理解导数的概念,知道 瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 3.会求函数在某点的导数. 教学重点: 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点: 导数的概念. 教学过程: 一、创设情景 (一)平均变化率 (二)探究 探究: 计算运动员在 0 ? t ? h

65 这段时间里 的平均速度,并思考以下问题: 49

(1)运动员在这段时间内使静止的吗? ( 2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程: 如图是函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像, 结合图形可知, h(

65 ) ? h(0) , 49

o

t

65 ) ? h(0) 49 所以 v ? ? 0( s / m) 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) , 49 h(
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二、新课讲授 1.瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 .运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的 瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如, t ? 2 时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附 近的情况:

-4-

思考 当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论: 当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋近于 2 时,平均速度

v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看,时间 ?t 间隔无限变小时 ,平均速度 v 就无限趋近于史的瞬时速度 .因此,
运动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s

h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ”
为了表述方便,我们用 lim 小结: 局部以匀速代替变速 ,以平均速度代替瞬时速度 ,然后通过取极限 ,从瞬时速度的近似 值过渡到瞬 时速度的精确值. 2.导数的概念 从函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是:

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x ' 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ( x0 ) 或 y' |x? x0 lim
即 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率; (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim 三、典例分析
2 例 1 (1)求函数 y ? 3x 在 x ? 1 处的导数.
?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) . x ? x0

(2)求函数 f ( x) ? ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
2

分析: 先求 ?f ? ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,再求 解: (1)法一 定义法(略)

?y ?y ,最后求 lim . ?x ?0 ?x ?x

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 2 ?y ? (?1 ? ?x) ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x (2) ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 f ?(?1) ? lim ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
法二 y? |x ?1 ? lim 例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第 xh
2 时,原油的温度(单位: C )为 f ( x) ? x ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2 h 时和第 6 h 时,

原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
-5-

解: 在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6)

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x (2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ? ?x ? 3 ?x ?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 同理可得: f ?(6) ? 5 所以 f ?(2) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
根据导数定义 在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5 , 说明在第 2 h 附近,原油温度大约以 3 C / h 的速率下降 在第 6 h 附近,原油温度大约以 5 C / h 的速率上升. 注: 一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 四、课堂练习
2 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

2.求曲线 y ? f ( x) ? x 3 在 x ? 1 时的导数. 3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 五、回顾总结 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念. 2.导数的概念. 六、布置作业 课本第 10 页:2,4

-6-



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