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2015-2016学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B版必修4



2015-2016 学年高中数学 第二、 三章 平面向量 三角恒等变换综合测 试题 新人教 B 版必修 4
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,其 中有且仅有一个是正确的.) 1.(2015?广东中山纪

念中学高一期末测试)向量 a=(1,-2),b=(2,1),则( A.a∥b C.a 与 b 的夹角为 60° [答案] B [解析] ∵a?b=1?2+(-2)?1=0,∴a⊥b. 2.有下列四个命题: 1 2x 2x ①存在 x∈R,sin +cos = ; 2 2 2 ②存在 x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny; ③x∈[0,π ], 1-cos2x =sinx; 2 π . 2 B.a⊥b D.a 与 b 的夹角为 30° )

④若 sinx=cosy,则 x+y= 其中不正确的是( A.①④ C.①③ [答案] A )

B.②④ D.②③

[解析] ∵对任意 x∈R,均有 sin +cos =1, 2 2 故①不正确,排除 B、D;又 x∈[0,π ], 除 C,故选 A. 3.若向量 a=(2cosα ,-1)、b=( 2,tanα ),且 a∥b,则 sinα =( A. 2 2 2 2 B.- 2 2 ) 1-cos2x 2 = sin x=sinx,故③正确,排 2

2

x

2

x

C.±

1 D.- 2

[答案] B

1

[解析] ∵a∥b,∴2cosα ?tanα =- 2,即 sinα =- 4. tan105°-1 的值为( tan105°+1 3 3 ) B.- 3 3

2 . 2

A.

C. 3 [答案] C [解析]

D.- 3

tan105°-1 tan105°-tan45° = =tan(105°-45°)=tan60°= 3. tan105°+1 1+tan105°tan45°
2

5.函数 y=(sinx+cosx) +1 的最小正周期是( π A. 2 3π C. 2 [答案] B [解析] y=(sinx+cosx) +1 =1+2sinxcosx+1=2+sin2x. ∴最小正周期 T=π . θ θ 6.设 5π <θ <6π ,cos =a,则 sin 的值等于( 2 4 A.- C.- 1+a 2 1+a 2 B.- D.-
2

)

B.π D.2π

)

1-a 2 1-a 2

[答案] D [解析] ∵5π <θ <6π ,∴ 5π θ 3 π < < , 4 4 2 θ 1-cos 2 =- 2

θ θ ∴sin <0,∴sin =- 4 4

1-a . 2

7.设 x、y∈R,向量 a=(x,1)、b=(1,y)、c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b| =( ) A. 5 C.2 5 [答案] B [解析] ∵a⊥c,∴a?c=2x-4=0,∴x=2.
2

B. 10 D.10

又∵b∥c,∴-4=2y,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2), ∴|a+b|= 3 +?-1? = 10. 8 .化简 tan(27°-α )?tan(49°- β )?tan(63°+ α )?tan(139°-β )的结果为 ( ) A.1 C.2 [答案] B [ 解析] 原式=tan(27°- α )?tan(90°-(27°- α ))?tan(49°-β )?tan[90° B.-1 D.-2
2 2

+(49°-β )] =tan(27°-α )?cot(27°-α )?tan(49°-β )?[-cot(49°-β )]=-1. 9.cos 75°+cos 15°+cos75°cos15°的值为( A. 6 2 3 B. 2 D.1+ 3 4
2 2

)

5 C. 4 [答案] C

[解析] 原式=sin 15°+cos 15°+sin15°cos15° 1 5 =1+ sin30°= . 2 4 10.设△ABC 的三个内角为 A、B、C,向量 m=( 3sinA,sinB)、n=(cosB, 3cosA), 若 m?n=1+cos(A+B),则 C=( π A. 6 2π C. 3 [答案] C [解析] ∵m?n= 3sinAcosB+ 3cosAsinB = 3sin(A+B)=1+cos(A+B), ∴ 3sin(A+B)-cos(A+B)=1, ) π B. 3 5π D. 6

2

2

? π? ∴ 3sinC+cosC=1,即 2sin?C+ ?=1, 6? ?
π 5π 2π ? π? 1 ∴sin?C+ ?= ,∴C+ = ,∴C= . 6? 2 6 6 3 ? 11.在△ABC 中,已知 sin A+sin B+sin C=2,则△ABC 为(
2 2 2

)

3

A.等腰三角形 C.直角三角形 [答案] C

B.等边三角形 D.等腰直角三角形

1-cos2A 1-cos2B 2 [解析] 由已知,得 + +sin C=2, 2 2 1 2 ∴1- (cos2A+cos2B)+sin C=2, 2 ∴cos2A+cos2B+2cos C=0, ∴cos(A+B)?cos(A-B)+cos C=0, ∴cosC[-cos(A-B)-cos(A+B)]=0, ∴cosA?cosB?cosC=0, ∴cosA=0 或 cosB=0 或 cosC=0. ∴△ABC 为直角三角形. 12.若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=( A.3-cos2x C.3+cos2x [答案] C [解析] f(sinx)=3-cos2x =3-(1-2sin x)=2+2sin x, ∴f(x)=2+2x
2 2 2 2 2

)

B.3-sin2x D.3+sin2x

∴f(cosx)=2+2cos x =2+1+cos2x=3+cos2x. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 2tan150° 13. 的值为________. 2 1-tan 150° [答案] - 3

2

? ? [解析] 原式= ? 1-?- ?

2??-

2 3 3 =- ? =- 3. 3 2 3?2 ? 3?

3? ? 3?

14.已知向量 a、b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. [答案] 3 2 [解析] ∵|a|=1, 〈a,b〉=45°,|2a-b|= 10, ∴4|a| -4a?b +|b| =10,∴4-4?1?|b|cos45°+|b| =10,∴|b| -2 2|b|-6
4
2 2 2 2

=0,∴|b|=3 2. 1+tanα 1 15.若 =2 015,则 +tan2α =________. 1-tanα cos2α [答案] 2 015 [解析] 1 1 sin2α 1+sin2α ?cosα +sinα ? + tan2α = + = = = 2 2 cos2α cos2α cos2α cos2α cos α -sin α
2

cosα +sinα 1+tanα = =2 015. cosα -sinα 1-tanα

?π ? 5 16.在△ABC 中,cos? +A?= ,则 cos2A 的值为________. ?4 ? 13
[答案] 120 169

?π ? 5 [解析] 在△ABC 中,cos? +A?= >0, ?4 ? 13 ?π ? ∴sin? +A?= ?4 ? ? 12 2?π 1-cos ? +A?= . ?4 ? 13

?π ? ?π ? ∴cos2A=sin? +2A?=sin2? +A? 2 ? ? ?4 ?
=2sin?

?π +A?cos?π +A? ? ?4 ? ?4 ? ? ?

12 5 120 =2? ? = . 13 13 169 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) cos70° 17.(本小题满分 12 分)求值(tan5°-cot5°)? . 1+sin70° [解析] 解法一:原式=?tan5°- = tan 5°-1 sin20° ? tan5° 1+cos20°
2 2

? ?

1 ? cos70° ? ? tan5°? 1+sin70°

1-tan 5° sin20° =-2? ? 2tan5° 1+cos20° =-2cot10°?tan10°=-2. 解法二:原式=?
2 2

?sin5°-cos5°?? sin20° ? ?cos5° sin5°? 1+cos20°



sin 5°-cos 5° sin20° ? sin5°?cos5° 1+cos20°

cos10° 2sin10°?cos10° =- ? =-2. 2 1 2cos 10° sin10° 2
5

1 ?1-cos10°- ? sin20° ? sin10° ?? 解法三:原式= sin10° ? ? 1+cos20° 1+cos10°? ? =? =

?1-cos10°-1+cos10°?? sin20° sin10° ? ? sin10° ? 1+cos20°
-2cos10° 2sin10°?cos10° ? =-2. 2 sin10° 2cos 10°

18.(本小题满分 12 分)(2015?山东烟台高一检测)已知向量 a、b、c 是同一平面内的 三个向量,其中 a=(2,1). (1)若 b=(1,m),且 a+b 与 a-b 垂直,求实数 m 的值; (2)若 c 为单位向量,且 c∥a,求向量 c 的坐标. [解析] (1)a+b=(3,m+1),a-b=(1,1-m), ∵a+b 与 a-b 垂直,∴3?1+(m+1)(1-m)=0,解得 m=±2. (2)设 c=(x,y),依题意有? 2 5 ? ?x= 5 解得? 5 y= ? ? 5

? x2+y2=1 ?x-2y=0



2 5 ? ?x=- 5 ,或? 5 y=- ? ? 5

.

2 5 5 2 5 5 ∴c=( , )或 c=(- ,- ). 5 5 5 5 β ? 1 ? ?α 19. (本小题满分 12 分)已知 cos?α - ?=- , sin? -β 2? 9 ? ?2 α +β 求 tan 的值. 2 π π π β [解析] ∵ <α <π ,0<β < ,∴ <α - <π . 2 2 4 2 β ? β ? 4 5 1 ? ? ∵cos?α - ?=- ,∴sin?α - ?= . 2? 2? 9 9 ? ? π α π 又∵ < < , 4 2 2 π α π ∴- < -β < . 4 2 2 5 ?α ? 2 ?α ? ∵sin? -β ?= ,∴cos? -β ?= . 2 2 3 3 ? ? ? ? β ? ?α α +β ?? ?? 故 sin =sin??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ??
6

π π ?=2, 0<β < , ? 3 且 2 <α <π , 2 ?

β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? =sin?α - ?cos? -β ?-cos?α - ?sin? -β ? 2? ?2 2? ?2 ? ? ? ? = 4 5 5 ? 1? 2 22 ? -? - ? ? = , 9 3 ? 9? 3 27

β ? ?α α +β ?? ?? cos =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ?? β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ? 2 2 2? ?2 ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?? + ? = , 9 3 27 ? 9? 3 α +β sin 2 α +β ∴tan = 2 α +β cos 2 22 5 = . 35 7 5 27 22 27



3 20. (本小题满分 12 分)(2015?商洛市高一期末测试)已知向量 a=(sinx, )、 b=(cosx, 2 -1). (1)求|a+b|的最大值; (2)当 a 与 b 共线时,求 2cos x-sin2x 的值. 9 2 2 2 2 2 [解析] (1)|a+b| =a +2a?b+b =sin x+ +2sinxcosx-3+cos x+1 4 5 =sin2x+ , 4 π π ∴当 2x= +2kπ ,k∈Z,即 x= +kπ ,k∈Z 时, 2 4 sin2x 取最大值 1, 5 9 2 ∴|a+b|max=1+ = , 4 4 3 ∴|a+b|max= . 2 (2)当 a 与 b 共线时, 3 3 -sinx= cosx,∴tanx=- . 2 2 ∴2cos x-sin2x=2cos x-2sinxcosx
2 2 2

7

= =

2cos x-2sinxcosx 2 2 sin x+cos x 2-2tanx 2 tan x+1

2

3 2-2??- ? 2 20 = = . 9 13 +1 4 21. (本小题满分 12 分)(2015?安徽文, 16)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期;
2

? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?
[解析] (1)∵f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x π? ? =1+sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π . |2| π? ? π ? π 5π ? 2 ? ? π? ? (2)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?,所以 sin?2x+ ?∈?- ,1?, 2? 4 ? 4? ? 2 4 ?4 ? ? ? ∴f(x)max=1+ 2,f(x)min=0. 22. (本小题满分 14 分)(2015?山东威海一中高一期末测试)函数 f(x)=sin(ω x+φ ) π π π +k,(ω >0,- <φ < )的最小正周期为 π ,且在 x=- 处取得最小值-2. 2 2 6 (1)求 f(x)的单调递增区间;
2

(2)将 f(x)的图象向左平移

π 个单位后得到函数 g(x),设 A、B、C 为三角形的三个内角, 6

若 g(B)=0,且 m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求 m?n 的取值范围. 2π [解析] (1)∵T= =π ,∴ω =2. ω ∵f(x)min=-1+k=-2,∴k=-1. π π π ∴f(- )=sin(- +φ )-1=-2,∴φ =- +2kπ ,k∈Z. 6 3 6 π π π ∵- <φ < .∴φ =- , 2 2 6 π ∴f(x)=sin(2x- )-1. 6

8

π π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 6 3 ∴f(x)的单调递增区间为[- π π +kπ , +kπ ],k∈Z. 6 3

π π π (2)g(x)=sin[2(x+ )- ]-1=sin(2x+ )-1, 6 6 6 π ∴g(B)=sin(2B+ )-1=0, 6 π ∴sin(2B+ )=1. 6 π π π ∴0<B<π ,∴2B+ = ,∴B= . 6 2 6 ∴m?n=cosA+cosB(sinA-cosAtanB) =cosA+cosBsinA-cosAsinB =cosA+ = 3 1 sinA- cosA 2 2

3 1 sinA+ cosA 2 2

π =sin(A+ ). 6 π 5π ∵B= ,∴0<A< , 6 6 ∴ π π <A+ <π , 6 6

π ∴0<sin(A+ )≤1, 6 ∴m?n 的取值范围是(0,1].

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