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2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题七 三角恒等变换与解三角形



专题七 三角恒等变换与解三角形
INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/真题体验.TIF" \* MERGEFORMAT 1.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- eq \f(\r(5),3) C. eq \f(\r(5),9) 答案: A [将 sin α+cos α= sin 2α=- eq \f(2,3) eq \f(\r(3),3) ,则 cos 2α=( ).

B.- eq \f(\r(5),9) D . eq \f(\r(5),3) eq \f(\r(3),3)
2

两边平方, 可得 1+sin 2α= eq \f(1,3) eq \f(5,3)



,所以(-sin α+cos α) =1-sin 2α=

,因为 α 是第 ,所以 cos 2α

二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+cos α=- eq \f(\r(15),3) =(-sin α+cos α)(cos α+sin α)=- eq \f(\r(5),3) 2.若 tan θ+ eq \f(1,tan θ) A. eq \f(1,5) C. eq \f(1,3) 答案:D [∵tan θ+ eq \f(1,tan θ) tan2θ, ∴sin 2θ=2sin θcos θ= = eq \f(2tan θ,4tan θ) eq \f(2sin θcos θ,sin2θ+cos2θ) = eq \f(1,2) .] ,选 A.] ).

=4,则 sin 2θ=( B. eq \f(1,4)

D. eq \f(1,2)

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

= eq \f(1+tan2θ,tan θ)

=4,∴4tan θ=1+

= eq \f(2tan θ,1+tan2θ)

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C= ( ). A. eq \f(7,25) C.± eq \f(7,25) B.- eq \f(7,25)

D. eq \f(24,25)

答案:A [因为 8b=5c,则由 C=2B,得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理得 cos B = eq \f(sin C,2sin B) = eq \f(c,2b) = eq \f(4,5)
2

,所以 cos C=cos 2B=2cos2B ,故选 A.]

-1=2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))

-1= eq \f(7,25) eq \f(1,4)

4.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- 解析 \f(1,4)))

,则 b=________.

由余弦定理,得 b2 = 4 + (7 - b)2 - 2×2×(7 - b)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( - ,解得 b=4.

答案 4 INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/高考定位.TIF" \* MERGEFORMAT 1.对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运用、计算为主,其中多以与角所在范围、 三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点. 2.对于解 三角形,重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用,通过三角

形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学 生分析问题、解决问题的能力以及数学运 算能力. INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/应对策略.TIF" \* MERGEFORMAT 1.在 三角恒等变换过程中,准确地记忆公式,适当地变换式子,有效地选取公式是解决 问题的关键. 2.在解三角形的试题时,要弄清楚三角形三边、三角中已知什么,求什么,这些都是解决 问题的思维基础,分析题设条件,利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的 关键. INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/必备知识方法 1.TIF" \* MERGEFORMAT 必备知识 ?两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcosβ± cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcosβ?sin αsin β. (3)tan(α± β)= eq \f(tan α± tanβ,1?tan αtanβ) ?二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. (3)tan 2α= eq \f(2tan α,1-tan2α) . ,cos2α= eq \f(1+cos 2α,2) . .
[来源:Z§xx§k.Com]

(4)降幂公式:sin2 α= eq \f(1-cos 2α,2) ?正弦定理及其变形 eq \f(a,sin A) 的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. sin A= eq \f(a,2R) = eq \f(b,sin B) =

eq \f(c,sin C)

=2R(2R 为△ABC 外接圆

,sin B= eq \f(b,2R)

,sin C= eq \f(c,2R)

.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. ?余弦定理及其推论 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 推论:cos A= eq \f(b2+c2-a2,2bc) cos C= eq \f(a2+b2-c2,2ab) . ,cos B= eq \f(a2+c2-b2,2ac) ,

变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C. ?面积公式

S△ABC=

eq \f(1,2)

bcsin A= eq \f(1,2) 必备方法

acsin B= eq \f(1,2)

absin C.

1.“变角”是三角变换的灵魂,因此要注意分析条件与所求之间角的联系,常考察是否具 有和、差、倍、半关系或互余、互补关系.如 2β 与 β 是倍角关系.此外,根据条件与所求中的 角 的 特 点 , 常 要 对 角 进 行 恰 当 的 配 凑 , 如 : β = (α + β) - α , \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2))) +β)+(α-β)等. 2.要充分把握三 角函数的变换规律.三角变换时,需会用“切化弦”“弦化切”“辅助 角”“1 的代换”等技巧,追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一,其中角 的变换是三角变换的核心. 3.在三角形内求值、证明或判断三角形形状时,要用正、余弦定理完成边与角的互化,一 般是都化为边或都化为角,然后用三角公式或代数方法求解,从而达到求值、证明或判断的目 的.解题时要注意隐含条件. 4.解三角形的应用问题时,要将条件和求解目标转化到一个三角形中,然后用正、余弦定 理或三角公式完成求解,同时注意所求结果要满足实际问题的要求,还要注意对不同概念的角 的正确理解与应用,如俯角、仰角、方位角、视角等. INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/热点命题角度 2.TIF" \* MERGEFORMAT eq \a\vs4\al\co1(利用三角恒等变换进行三角函数) 的化简、求值 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂,常考查:①三角恒等变换在化简、求值等方面的 简单应用;②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题,多以解答题形 式出现,难度中档. 【例 1】已知函数 f(x)=2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,6))) ∈R)的最小正周期为 10 π. (1)求 ω 的值; (2)设 α,β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))) + \f(5,3)π)) \f(16,17) =- eq \f(6,5) ,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5α = eq (其中 ω>0,x - eq \f(α + β,2) = eq

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)-β))

,2α=(α

, f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5β - \f(5,6)π))

,求 cos(α+β)的值.

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)由 T=10π 可得 ω 的值;(2)化简所给的已知条件,求得 cos α、sin β 的值,将

cos(α+β)展开,代入数据即可. 解 (1)∵f(x)=2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,6))) ,∴ω= eq \f(1,5) . , ,ω>0 的最小正周期 T

=10π= eq \f(2π,ω)

(2)由(1)知 f(x)=2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x+\f(π,6))) 而 α,β ∈ +\f(5π,3))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0 , \f(π,2))) eq \f(6,5) ,f(5β- eq \f(5π,6)

, f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5α )= eq \f(16,17) ,

=-

∴ 2cos eq \f(π,6)))

\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5α + \f(5π,3))) + ,

=- eq \f(6,5)

2cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5β - \f(5π,6))) + \f(π,6))) = eq \f(16,17) , =- eq \f(3,5) , cos β = eq

即 cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α + \f(π,2))) \f(8,17) , eq \f(3,5) ,cos α= eq \f(4,5)

于是 sin α=

,sin β= eq \f(15,17)



∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = \f(13,85) eq \f(4,5) . (1)给值 × eq \f(8,17) - eq \f(3,5) × eq \f(15,17) =- eq

INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/方法锦囊.tif" \* MERGEFORMAT 求角的本质还是给值求值,即欲求某角,也要先求该角的某一三角函数值.

(2)由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求出限定范围内的角. (3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系,灵活使用角的变换,如 α=(α+β)-β,α= eq \f(α+β,2) + eq \f(α-β,2) 等. = eq

【突破训练 1】 \f(\r(2),10)

已 知 cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x - \f(π,4))) .

,x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3π,4)))

(1)求 sin x 的值; (2)求 sin 解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))) 的值. , , eq \r(1 -

(1)因为 x∈

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3π,4))) ∈

所以 x- eq \f(π,4) 于 是 sin eq

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(π,2))) = .

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x - \f(π,4))) = eq \f(7\r(2),10)

cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))) sin x=sin = sin eq

eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))+\f(π,4))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x - \f(π,4))) sin eq \f(π,4) cos eq \f(π,4) + cos eq

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))



eq \f(7\r(2),10) .

× eq \f(\r(2),2)

+ eq \f(\r(2),10)

×

eq \f(\r(2),2)

= eq \f(4,5)

(2)因为 x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3π,4))) 所以 cos x=- eq \r(1-sin2x) =- eq \f(3,5) . =-



eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)

sin 2x=2sin xcos x=- eq \f(24,25) 所以 sin 2xsin

,cos 2x=2cos2x-1=- eq \f(7,25) = sin 2xcos . eq \f(π,3)

. + cos

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x + \f(π,3))) =- eq \f(24+7\r(3),50)

eq \f(π,3)

eq \a\vs4\al\co1(三角函数与解三角形) 以三角形为载体,以三角变换为核心,结合正 (余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热 点问题.根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键,综合考查学生 逻辑分析和计算推理能力. 【例 2】在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已 知 eq \f(cos A-2cos C,cos B) eq \f(sin C,sin A) = eq \f(2c-a,b) .

(1)求

的值; ,b=2,求△ABC 的面积 S.

(2)若 cos B= eq \f(1,4) [审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)根据所给式子和第(1)问式子的特征, 采用边化角较为简单; (2)借用第(1)问的 结果可知 a、c 间的关系,再结合 cos Β= eq \f(1,4) 解 k, 则 B) , 所以 eq \f(cos A-2cos C,cos B) = eq \f(2sin C-sin A,sin B) . eq \f(2c-a,b) = eq \f(2ksin C-ksin A,ksin B) = eq \f(2sin C-sin A,sin (1)由正弦定理,设 eq \f(a,sin A) ,b=2,利用余弦定理可求解. = eq \f(c,sin C) =

= eq \f(b,sin B)

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π,所以原等式可化为 sin C=2sin A, 因此 eq \f(sin C,sin A) (2)由 eq \f(sin C,sin A) =2. =2,得 c=2a. ,

由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= eq \f(1,4)

得 4=a2+4a2-4a2×

eq \f(1,4)

,解得 a=1,从而 c=2. . = eq

又因为 cos B= eq \f(1,4) 因此 S = \f(\r(15),4) . eq \f(1,2)

,且 0<B<π,所以 sin B= eq \f(\r(15),4) eq \f(1,2) ×1×2× eq \f(\r(15),4)

acsin B =

INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/方法锦囊.tif" \* MERGEFORMAT 三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的

在含有

选择.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,在解三角形的试题中方 程思想是主要的数学思想方法,要注意从方程的角度出发分析问题. 【突破训练 2】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= eq \f(π,4) bsin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4) + C)) B)) =a. (1)求证:B-C= (2)若 a= eq \r(2) (1) 证 明 由 eq \f(π,2) ; - csin ,

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4) +

,求△ABC 的面 积. bsin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4) + C)) = a , 应 用 正 弦 定 理 , 得 - sin Csin - csin eq sin Bsin eq

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4) + B)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4) +C)) =sin A,

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4) + B))

sin B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin C + \f(\r(2),2)cos C)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2) sin B+\f(\r(2),2)cos B)) 整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1, 由于 0<B,C< eq \f(3,4) (2)解 π,从而 B-C= eq \f(π,2) . = eq \f(\r(2),2)

- sin C eq ,

B+C=π-A= eq \f(3π,4)

,因此 B= eq \f(5π,8) , eq \f(5π,8)

,C= eq \f(π,8)

.

由 a= eq \r(2)

,A= eq \f(π,4) =2sin

得 b= eq \f(asin B,sin A) 2sin eq \f(π,8) ,

,c= eq \f(asin C,sin A)



所以△ABC 的面积 S= \f(π,8) = eq \r(2)

eq \f(1,2) cos eq \f(π,8)

bcsin A= eq \r(2) · sin eq \f(π,8)

sin eq \f(5π,8) = eq \f(1,2) .

sin eq

易错点拨 第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻,导致丢分,遇到这种情况 时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去.

eq \a\vs4\al\co1(向量与解三角形的综合考查) 解三角形问题常以向量为载体,解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角 形中的边角关系,然后再借助解三角形的知识求解,难度中档偏低. 【例 3】? 在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,A= eq \r(3) )c=2b. eq \f(π,6) ,(1+

(1)求角 C; (2)若 c. [审题视点] eq \o(CB,\s\up6(→)) · eq \o(CA,\s\up6(→)) =1+ eq \r(3) ,求 a,b,

[听课记录] [审题视点] (1)由(1+ eq \r(3) )c=2b 及 A= eq \f(π,6) 可利用正弦定理将边的关 =1

系转化为角的关系;(2)将向量关系式 eq \o(CB,\s\up6(→)) + eq \r(3) 解 \f(\r(3),2)

· eq \o(CA,\s\up6(→))

转化为三角形中的边角关系,再利用解三角形的知识求解. eq \r(3) )c = 2b , 得 , = eq \f(sin \f(5π,6)cos C eq \f(b,c) = eq \f(1,2) + eq

(1) 由 (1 +

= eq \f(sin B,sin C)

则有 eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π-\f(π,6)-C)),sin C) -cos \f(5π,6)sin C,sin C) = eq \f(1,2tan C) + eq \f(\r(3),2) eq \f(π,4) . · eq \o(CA,\s\up6(→)) = eq \f(1,2)

+ eq \f(\r(3),2)



得 tan C=1,即 C= (2) 由

eq \o(CB,\s\up6(→)) .

=1+

eq \r(3)

,推出

abcos C=1+ eq \r(3) 而 C= eq \f(π,4)

,即得 eq \f(\r(2),2)

ab=1+ eq \r(3)



则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)ab=1+\r(3), ,?1+\r(3)?c=2b, ,\f(a,sin A)=\f(c,sin C),)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a=\r(2),,b=1+\r(3),,c=2.)) 解答这

INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/方法锦囊.tif" \* MERGEFORMAT

一类问题,首先要保证向量运算必须正确,否则,反被其累,要很好的掌握正、余弦定理的应 用条件及灵活变形,方能使问题简捷解答. 【突破训练 3】 在△ABC 中,已知 2 eq \o(AB,\s\up6(→)) = eq \r(3) | eq
2

· eq \o(AC,\s\up6(→)) | = 3 eq

\o(AB,\s\up6(→))

|· | eq

\o(AC,\s\up6(→))

\o(BC,\s\up6(→))

,求角 A,B,C 的大小.

解 设 BC=a,AC=b,AB=c,



2 eq

\o(AB,\s\up6(→))

· eq

\o(AC,\s\up6(→)) |,



eq

\r(3)

| eq

\o(AB,\s\up6(→))

|· | eq \o(AC,\s\up6(→))

得 2bccos A= eq \r(3)

bc,所以 cos A= eq \f(\r(3),2) , 由 eq \r(3)
2

, |· | eq

又 A∈(0, π), 因此 A= eq \f(π,6) \o(AC,\s\up6(→)) 得 bc=

| eq \o(AB,\s\up6(→))

|=3 eq \o(BC,\s\up6(→))
2

, sin2A= eq \f(\r(3),4) = eq \f(\r(3),4) , , .

eq \r(3)

a ,于是 sin C· sin B= eq \r(3)

所以 sin C· sin

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)-C))

sin C· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos C+\f(\r(3),2)sin C)) 因此 2sin C· cos C+2 eq \r(3) sin 2C- eq \r(3) 0. 由 A= \f(π,3) eq \f(π,6) 知 0<C< , =0,或 2C- eq \f(π,3) eq \f(5π,6) ,所以- sin2C= eq \r(3) ,

= eq \f(\r(3),4)

cos 2C=0,即 sin

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C-\f(π,3)))



eq \f(π,3)

<2C- eq

< eq \f(4π,3)

从而 2C- eq \f(π,3) = eq \f(2π,3) ,

=π,即 C=

eq \f(π,6)

或C

故 A= eq \f(π,6) B= eq \f(π,6)

, B=

eq \f(2π,3) .

, C= eq \f(π,6)

或 A=

eq \f(π,6)



,C= eq \f(2π,3)

eq \a\vs4\al\co1(正、余弦定理的实际应用) 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具,而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题 等常常是高考的热点,其主要要求是:会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测 量和几何计算有关的实际问题. 【例 4】如图, INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/S27.tif" \* MERGEFORMAT 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/ 时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船 乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 第(1)问实质求 BC;第(2)问运用正弦定理可求解.



(1)依题意,∠ BAC=120° ,AB=12,

AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos 120° =784, 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 14 海里/时. (2)在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120° ,BC=28,∠BCA=α, 由正弦定理,得 eq \f(AB,sin α) 即 sin α = \f(3\r(3),14) , . (1)三角 = eq \f(BC,sin 120° ) = , = eq

eq \f(ABsin 120° ,BC)

eq \f(12×\f(\r(3),2),28)

所以 sin α 的值为 eq \f(3\r(3),14)

INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/方法锦囊.tif" \* MERGEFORMAT

形应用题的解题要点:解斜三角形的问题,通常都要根据题意,从实际问题中寻找出一个或几 个三角形,然后通过解这些三角形得出所要求的量,从而得到实际问题的解. (2)有些时候也必须注意到三角形 的特殊性, 如直角三角形、 等腰三角形、 锐角三角形等. 正 确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的. 【突破训练 4】如图, INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/S28.tif" \* MERGEFORMAT 某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A,B,观察 对岸的点 C,测得∠CAB=75° ,∠CBA=45° 且 AB=100 米. (1)求 sin 75° ; (2)求该河段的宽度. 解 (1)sin 75° =sin(30° +45° )
[来源:学科网 ]

=sin 30° cos45° +cos 30° sin 45° = eq \f(1,2) . × eq \f(\r(2),2) + eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(2),2) = eq

\f(\r(6)+\r(2),4)

(2)因为∠CAB=75° ,∠CBA=45° , 所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=60° . 由正弦定理得 eq \f(AB,sin∠ACB) 所以 BC= eq \f(ABsin 75° ,sin 60° ) = eq \f(BC,sin∠CAB) . ,

INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/S29.tif" \* MERGEFORMAT

如图,过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D, 则 BD 的长就是该河段的宽度. 在 Rt△BDC 中, 因为∠BCD=∠CBA=45° , sin∠BCD= eq \f(BD,BC) 所以 BD=BCsin 45° = = = eq \f(ABsin 75° ,sin 60° ) · sin 45° × eq \f(\r(2),2) (米). ,

eq \f(100×\f(\r(6)+\r(2),4),\f(\r(3),2)) eq \f(25?6+2\r(3)?,3)

= eq \f(50?3+\r(3)?,3) 米.

答:该河段的宽度为 eq \f(50?3+\r(3)?,3)

INCLUDEPICTURE "../../../../../文件夹 2/阅卷老师叮咛 2.TIF" \* MERGEFORMAT 转化与化归在解三角形中的应用 解三角形问题是历年高考的热点,常与三角恒等变换相结合考查正弦、余弦定理的应用, 解题的实质是将三角形中的问题转化 为代数问题或方程问题,在此过程中也常利用三角恒等 变换知识进行有关的转化.可以说,三角形问题的核心就是转化与化归. 【示例】已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ eq \r(3) C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 eq \r(3) [满分解答] (1)由 acos C+ \r(3) eq \r(3) ,求 b,c. asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ eq asin

sin Asin C-sin B-sin C=0.

因为 B=π-A-C, 所以 eq \r(3) sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. = eq \f(1,2) .

由于 sin C≠0,所以 sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A-\f(π,6))) 又 0<A<π,故 A= eq \f(π,3) (2)△ABC 的面积 S= eq \f(1,2) .(6 分) bcsin A= eq \r(3)

,故 bc=4.

而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.(12 分) 老师叮咛:本题较容易,得分率较高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式进行转化的 能力.其中,第?1?问利用正弦定理将边化成角,结合三角恒等变换知识整理出角 A.第?2?问根据 三角形的面积公式得到关于 b,c 的等式,再由余弦定理用 a 和角 A 表示出 b,c 的关系,从而 求解. 【试一试】 在△ABC 中,BC= eq \r(5) ,AC=3,sin C=2sin A.

(1)求 AB 的值; (2)求 sin 解 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A-\f(π,4))) 的 值. = eq \f(BC,sin A) . .

(1)在△ABC 中,根据正弦定理, eq \f(AB,sin C) eq \f(sin C,sin A) · BC=2BC=2 eq \r(5)

于是 AB=

(2)在△ABC 中,根据余弦定理,得 cos A= eq \f(AB2+AC2-BC2,2AB· AC) = = eq \f(2\r(5),5) .
[来源:学科网 ZXXK]

.

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

于是 sin A= eq \r(1-cos2A)

eq \f(\r(5),5) , .

从而 sin 2A=2sin Acos A= eq \f(4,5) cos 2A=cos2A-sin2A= eq \f(3,5) 所以 sin

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A - \f(π,4))) = eq \f(\r(2),10) .

= sin 2Acos eq \f(π,4)

- cos

2Asin eq \f(π,4)



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