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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分65 古典概型



开卷速查(六十五)

古典概型

A 级 基础巩固练 1.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ ni)(n-mi)为实数的概率为( 1 A.3 1 B.4 ) 1 C.6 1 D.12

解析:复数(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,则 n2-m2= 0?m=n,而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有 6 种,所以所求概 6 1 率为 =6. 6×6 答案:C 2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵 坐标,则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率为( 1 A.6 1 1 1 B.4 C.12 D.9 )

解析: 试验是连续掷两次骰子, 故共包含 6×6=36 个基本事件. 事 件:点 P 在 x+y=5 下方,共包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) 6 1 共 6 个基本事件,故 P=36=6. 答案:A 3.连掷两次骰子分别得到点数 m、n,则向量(m,n)与向量(-1,1) 的夹角 θ>90° 的概率是( )

5 7 1 1 A.12 B.12 C.3 D.2 解析:∵(m,n)· (-1,1)=-m+n<0,∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2), (4,1),(4,2),(4,3),(5,1),?,(5,4),(6,1),?,(6,5),共 1+2+3+4

+5=15(个). 15 5 ∴P=36=12,故选 A. 答案:A 4.一个袋中有 5 个大小相同的球,其中有 3 个黑球与 2 个红球, 若从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是( 1 3 2 1 A.5 B.10 C.5 D.2 解析:从袋中任取两个球,其一切可能结果有 (黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 1,红 1),(黑 1,红 2),(黑 2,黑 3),(黑 2,红 1),(黑 2,红 2),(黑 3,红 1),(黑 3,红 2),(红 1,红 2)共 10 个,同色球为(黑 1,黑 2),(黑 1,黑 3),(黑 2,黑 3),(红 1, 2 红 2)共 4 个结果,∴P=5. 答案:C 5.已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A 是集合 N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线 OA 与 y=x2+1 有交点的概率 是( ) 1 1 1 1 A.2 B.3 C.4 D.8 解析:易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑), 集合 N 中共有 16 个元素, 其中使 OA 斜率不小于 2 的有 4 1 (1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共 4 个,由古典概型知概率为16=4,故选 C. 答案:C 6.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n,则函数 y )

2 =3mx3-nx+1 在[1,+∞)上为增函数的概率是( 1 5 3 2 A.2 B.6 C.4 D.3

)

2 解析:由题可知,函数 y=3mx3-nx+1 在[1,+∞)上单调递增, 所以 y′=2mx2-n≥0 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足 条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)共 6 种情况,所 2 以满足条件的共有 30 种情况,则函数 y=3mx3-nx+1 在[1,+∞)上 30 5 单调递增的概率为36=6. 答案:B 7.从某学习小组的 10 名同学中选出 3 名同学参加一项活动,其 中甲、乙两名同学都被选中的概率是__________.
3 解析: 从 10 名同学中选出 3 名同学有 C10 =

10×9×8 =120 种选法, 3×2×1

1 其中甲、乙两名同学都被选中有 C8 =8 种选法,因此甲、乙两名同学

8 1 都被选中的概率是120=15. 1 答案:15 x2 y2 8.曲线 C 的方程为m2+n2=1,其中 m,n 是将一枚骰子先后投掷 x2 y2 两次所得点数, 事件 A=“方程m2+n2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”, 那么 P(A)=__________. 解析:试验中所含基本事件个数为 36;若想表示椭圆,则先后两 次的骰子点数不能相同,则去掉 6 种可能,既然椭圆焦点在 x 轴上,

15 5 则 m>n,又只剩下一半情况,即有 15 种,因此 P(A)=36=12. 5 答案:12 9.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产 中出现乙级品的概率为 0.03,丙级品的概率为 0.01,则对成品抽查一 件抽得正品的概率为__________. 解析:记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件 A, B,C.则 A,B,C 彼此互斥,由题意可得 P(B)=0.03,P(C)=0.01,所 以 P(A)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96. 答案:0.96 10.现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 解析:(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号 为 5,6,任取 2 道题,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6}, {2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}, 共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“都是甲类题”这一事件, 则 A 包含的基本事件有{1,2}, 6 2 {1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个,所以 P(A)=15=5. (2)基本事件同(1),用 B 表示“不是同一类题”这一事件,则 B 包 含的基本事件有{1,5}, {1,6}, {2,5}, {2,6}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, 8 共 8 个,所以 P(B)=15.

B级

能力提升练

11.小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则 为:以 O 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取 两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋. (1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. 解析:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. →· → (2)数量积为-2 的有OA 2 OA5,共 1 种; →· → OA →· → OA →· → OA →· → OA →· → 数量积为-1 的有OA 1 OA5, 1 OA6, 2 OA4, 2 OA6, 3 OA4, →· → OA 3 OA5,共 6 种; →· → OA →· → OA →· → OA →· → 数量积为 0 的有OA 1 OA3, 1 OA4, 3 OA6, 4 OA6,共 4 种; →· → OA →· → OA →· → OA →· → 数量积为 1 的有OA 1 OA2, 2 OA3, 4 OA5, 5 OA6,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种. 7 所以小波去下棋的概率为 p1=15;

4 因为去唱歌的概率为 p2=15,所以小波不去唱歌的概率 p=1-p2 4 11 =1-15=15. 12.某小组共有 A,B,C,D,E 五位同学,他们的身高(单位: 米)及体重指标(单位:千克/米 2)如下表所示: A 身高 体重指标 B C D E

1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9

(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高 都在 1.78 以下的概率; (2)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上 且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率. 解析:(1)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果 组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C, D),共 6 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可 能的. 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有:(A,B),(A,C),(B, C),共 3 个. 3 1 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 P=6=2. (2)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件 有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C, D),(C,E),(D,E),共 10 个. 由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可 能的.

选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事 件有:(C,D),(C,E),(D,E),共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9) 3 中的概率为 P=10.



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