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广东省2016年高考数学适应性考试试题 理(全国卷,含解析)



广东省 2016 年高考数学适应性考试试题 理(全国卷,含解析)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? { x 2 ? 1} ,则 A ? B ? (
2 x

) D. (??,

0)

A. [?3, ?1] 【答案】B

B. (??, ?3] ? [?1,0)

C. (??, ?3) ? (?1,0]

【解析】 A ? (??, ?3] ? [?1, ??) , B ? (??,0) , ∴ A ? B ? (??, ?3] ? [?1,0) .

a ? i7 ?( 2.若 z ? (a ? 2) ? ai 为纯虚数,其中 a ?R,则 1 ? ai
A. i 【答案】C B. 1 C. ?i D. ?1



【解析】∵ z 为纯虚数,∴ a ?

2,

a ? i7 2 ? i ( 2 ? i)(1 ? 2i) ?3i ∴ ? ? ? ? ?i . 1 ? ai 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 3
3.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项的和,且 S n ? A. 3(3 ? 2 )
n n

3 (an ? 1)(n ? N* ) ,则 an ? ( 2
n



B. 3 ? 2
n

C. 3

D. 3 ? 2

n ?1

【答案】C

3 ? a1 ? S1 ? (a1 ? 1) ? ?a1 ? 3 ? 2 【解析】 ? ,? , ? a ? a ? 3 (a ? 1) ?a2 ? 9 1 2 2 ? ? 2
经代入选项检验,只有 C 符合. 4.执行如图的程序框图,如果输入的 N ? 100 , 则输出的 x ? ( ) A. 0.95 B. 0.98 C. 0.99 D. 1.00 【答案】C 【解析】 x ?

开始

输入 N

n= 1, x= 0 n= n+ 1 n< N
否 输出 x 是 1

x= x+

n(n+ 1)

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100 1 1 1 1 1 1 1 99 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? . 2 2 3 3 4 99 100 100

结束

1

5.三角函数 f ( x) ? sin( A. 3, 【答案】B 【解析】 f ( x) ? sin

?
6

? 2 x) ? cos 2 x 的振幅和最小正周期分别是(
C. 2,



?
2

B. 3, ?

?
2

D. 2, ?

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

sin 2 x ? cos 2 x

3 3 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3( cos 2 x ? sin 2 x) 2 2 2 2 ? ? 3 cos(2 x ? ) ,故选 B. 6
6.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 12 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 V正四棱锥 = ? 2 ? )

2 2 1 1

1 3

1 ? (2+1) ? 2 ? 2 . 2

7.设 p 、 q 是两个命题,若 ?( p ? q ) 是真命题, 那么( ) A. p 是真命题且 q 是假命题 B. p 是真命题且 q 是真命题 C. p 是假命题且 q 是真命题 D. p 是假命题且 q 是假命题

1 2

【答案】D 8.从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点,则 这两点间的距离小于 1 的概率是( ) A.

1 7

B.

3 7

C.

4 7

D.

6 7

【答案】A 【解析】两点间的距离小于 1 共有 3 种情况, 分别为中心到三个中点的情况, 故两点间的距离小于 1 的概率 P ?

3 1 ? . C72 7
) D. 3

9.已知平面向量 a 、 b 满足 | a | ? | b | ? 1 , a ? ( a ? 2b ) ,则 | a ? b | ? ( A. 0 B. 2 C. 2

【答案】D 【解析】∵ a ? ( a ? 2b ) ,∴ a ? ( a ? 2b ) ? 0 , ∴a ?b ? ∴| a ? b | ?

1 2 1 a ? , 2 2
( a ? b ) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2

2

1 ? 12 ? 2 ? ? 12 ? 3 . 2 1 6 2 ) 的展开式中,常数项是( ) 10. ( x ? 2x 5 5 15 A. ? B. C. ? 4 4 16
【答案】D
r 【解析】 Tr ?1 ? C6 ( x 2 )6?r (?

D.

15 16

1 r 1 r 12 ?3r , ) ? (? ) r C6 x 2x 2

令 12 ? 3r ? 0 ,解得 r ? 4 .
4 ∴常数项为 ( ? ) 4 C6 ?

1 2

15 . 16
2

11. (2016 广东适应)已知双曲线的顶点为椭圆 x ?

y2 ? 1 长轴的端点,且双曲线的离心 2
) D. y 2 ? x 2 ? 2

率与椭圆的离心率的乘积等于 1 ,则双曲线的方程是( A. x 2 ? y 2 ? 1 【答案】D 【解析】∵椭圆的端点为 (0, ? 2) ,离心率为 依题意双曲线的实半轴 a ? B. y 2 ? x 2 ? 1

C. x 2 ? y 2 ? 2

2 ,∴双曲线的离心率为 2 , 2

2 ,∴ c ? 2 , b ? 2 ,故选 D.

12.如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对于任意 x1 ? x 2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 )

? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称 f ( x ) 为“ H 函数”.给出下列函数:① y ? ? x 3 ? x ? 1 ;
② y ? 3x ? 2( sin x ? cos x ) ;③ y ? e x ? 1 ;④ y ? ? 个数是( ) A. 4 B. 3 【答案】C

?ln | x | x ? 0 ,其中“ H 函数”的 x?0 ?0
D. 1

C. 2

【解析】∵ x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , ∴ ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,∴ f ( x ) 在 R 上单调递增. ① y? ? ?3x ? 1, x ? (??,
2

3 ) , y? ? 0 ,不符合条件; 3

② y? ? 3 ? 2(cos x + sin x )=3 ? 2 2 sin( x ?

?
4

) ? 0 ,符合条件;

3

③ y? ? e x ? 0 ,符合条件; ④ f ? x ? 在 (??, 0) 单调递减,不符合条件; 综上所述,其中“ H 函数”是②③. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

?2 x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,若目标函数 z ? 2 x ? ay 仅在点 ( 3, 4 ) 取 ?x ? y ?1 ?
得最小值,则 a 的取值范围是 【答案】 (??, ?2) 【解析】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为 A(1,0), B(0,1), C (3, 4) , ∴ z A ? 2 , zB ? a , zC ? 6 ? 4a . ∴? .

?6 ? 4a ? 2 ,解得 a ? ?2 . ?6 ? 4a ? a x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y 2 ? 2 px 的准线上,则 p ? 3 p


14.已知双曲线 【答案】 4 【解析】 3 ?

p2 p ? ( ) 2 ,∴ p ? 4 . 16 2
*

2 15. 已知数列 {an } 的各项均为正数,S n 为其前 n 项和, 且对任意 n ?N , 均有 an 、S n 、an

成等差数列,则 an ? 【答案】 n



2 2 【解析】∵ an , Sn , an 成等差数列,∴ 2Sn ? an ? an

2 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a1 ? a1

又 a1 ? 0
2

∴ a1 ? 1
2

当 n ? 2 时, 2an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? an ? an ? an?1 ? an?1 , ∴ (an ? an?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 ,
2 2

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? (an ? an?1 ) ? 0 , 又 an ? an?1 ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 1 ,

4

∴ {an } 是等差数列,其公差为 1, ∵ a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N* ) .

16 . 已 知 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 R , 直 线 x ? 1 和 x ? 2 是 曲 线 y ? f ( x ) 的 对 称 轴 , 且

f ( 0 ) ? 1,则 f ( 4 ) ? f (10) ?
【答案】2



【解析】直线 x ? 1 和 x ? 2 是曲线 y ? f ( x ) 的对称轴, ∴ f (2 ? x) ? f ( x) , f (4 ? x) ? f ( x) , ∴ f (2 ? x) ? f (4 ? x) ,∴ y ? f ( x ) 的周期 T ? 2 . ∴ f ( 4) ? f (10) ? f ( 0) ? f ( 0) ? 2 . 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 2a cos A ? c cos B ? b cos C . (1) cos A 的值; (2)若 b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
2 2

【解析】 (1)∵ 2a cos A ? c cos B ? b cos C , ∴ 2sin A ? cos A ? sin C cos B ? sin B cos C , ∴ 2sin A ? cos A ? sin( B ? C ) , ∵ A ? B ? C ? ? ,∴ sin( B ? C ) ? sin A , ∴ 2sin A ? cos A ? sin A . ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 , ∴ 2 cos A ? 1 ,∴ cos A ? (2)由 cos A ? 由

1 . 2

1 3 ,得 sin A ? , 2 2

a ? 2 ,得 a ? 2sin A ? 3 . sin A
2 2 2

∵ a ? b ? c ? 2bc cos A ,
5

∴ bc ? b ? c ? a ? 4 ? 3 ? 1 ,
2 2 2

∴ S?ABC ?

1 1 3 3 . bc sin A ? ? ? 2 2 2 4

18. (本小题满分 12 分) 某单位共有 10 名员工,他们某年的收入如下表: 员工编号 年薪(万元) 1 3 2 3.5 3 4 4 5 5 5.5 6 6.5 7 7 8 7.5 9 8 10 50

(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数; (2)从该单位中任取 2 人,此 2 人中年薪收入高于 5 万的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和 期望; (3) 已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系, 某员工工作第一年至第四年的年薪分 别为 3 万元、 4 .5 万元、 5.6 万元、 7 .2 万元,预测该员工第五年的年薪为多少?

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式分别为: 附:线性回归方程 y

?? b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? x ,其中 x 、 y 为样本均值. ? ? y ?b ,a

2

【解析】 (1)平均值为 10 万元,中位数为 6 万元. (2)年薪高于 5 万的有 6 人,低于或等于 5 万的有 4 人;

? 取值为 0,1,2.
1 1 2 2 C4 C6 C6 C4 2 8 1 , P(? ? 2) ? 2 ? , P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? 2 ? 15 C10 15 C10 C10 3

∴ ? 的分布列为

?
P
∴ E (? ) ? 0 ?

0

1

2

2 15
2 8 1 6 ? 1? ? 2 ? ? . 15 15 3 5

8 15

1 3

(3)设 xi , yi (i ? 1,2,3,4) 分别表示工作年限及相应年薪,则 x ? 2.5, y ? 5 ,

6

? ( x ? x)
i ?1 4 i i ?1 i

n

2

? 2.25 ? 0.25 ? 0.25 ? 2.25 ? 5 ,

? ( x ? x)( y ? y ) ? ?1.5 ? (?2) ? (?0.5) ? (?0.8) ? 0.5 ? 0.6 ? 1.5 ? 2.2 ? 7 ,
i

?? b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

7 ? x ? 5 ?1.4 ? 2.5 ? 1.5 , ? ? y ?b ? 1.4 , a 5

由线性回归方程为 y ? 1.4 x ? 1.5 .可预测该员工年后的年薪收入为 8.5 万元. 19. (本小题满分 12 分)

AB ? 2 , ?ABC 如图, 在直二面角 E ? AB ? C 中, 四边形 ABEF 是矩形, AF ? 2 3 ,
是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,点 P 是线段 BF 上的一点, PF ? 3 . (1)证明: FB ? 面 PAC ; (2)求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值.

F

E

P A B
【解析】 (1)证明:以 A 为原点,建立空间直角坐标系,如图, 则 A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , F (0,0, 2 3) . ∵ BF ? ∴ P( , 0,

C

AB2 ? AF 2 ? 4 , PF ? 3 ,
??? ? 3 ) , FB ? (2,0, ?2 3) , 2

3 2

??? ? 3 ??? ? 3 AC ? (0, 2,0) , AP ? ( , 0, ) . 2 2
∵ FB ? AC ? 0 ,∴ FB ? AC . ∵ FB ? AP ? 0 ,∴ FB ? AP . ∵ FB ? AC , FB ? AP , AC ? AP ? A , ∴ FB ? 平面 APC .
7

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(2)∵ AB ? (2,0,0) , PC ? (? 记 AB 与 PC 夹角为 ? ,则

??? ?

??? ?

3 3 , 2, ? ) , 2 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? PC ?3 3 7 . cos ? = ??? ? ? ??? ? ? 14 AB PC 2 7

【方法 2】(1) FB ? 4 , cos ?PFA ? cos ?BFA ?

3 , 2

PA ? PF 2 ? FA2 ? 2PF ? FA ? cos ?PFA
? 9 ? 12 ? 2 ? 3 ? 2 3 ? 3 / 2 ? 3 .
2 2 2 ∵ PA ? PF ? 3 ? 9 ? 12 ? AF ,

∴ PA ? BF . ∵平面 ABEF ? 平面 ABC , 平面 ABEF ? 平面 ABC ? AB ,

AB ? AC , AC ? 平面 ABC , ∴ AC ? 平面 ABEF . ∵ BF ? 平面 ABEF ,∴ AC ? BF . ∵ PA I AC ? A ,∴ BF ? 平面 PAC .
(2)过 P 作 PM // AB, PN // AF ,分别交 BE, BA 于 点M , N ,

?MPC 的补角为 PC 与 AB 所成的角.连接 MC , NC .

PN ? MB ?

3 3 , AN ? , 2 2 5 , BC ? 2 2 , 2

NC ? AN 2 ? AC 2 ?

PC ? PN 2 ? NC2 ? 7 ,
MC ? MB 2 ? BC 2 ? 35 , 2

8

1 35 ?7? 4 ? ?3 ? ? 3 7 . cos ?MPC ? 4 1 14 2 7 2? ? 7 2
∴异面直线 PC 与 AB 所成的角的余弦值为

3 7 . 14

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x ,过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于 x 轴的直线,分别 交抛物线 C 于点 P 1P 2、P 1、P 2 和点 P 4 ,线段 P 3、P 3P 4 的中点分别为 M 1 、 M 2 . (1)求 ?FM1 M 2 面积的最小值; (2)求线段 M 1 M 2 的中点 P 满足的方程. 【解析】 (1)由题设条件得焦点坐标为 F (1, 0) , 设直线 PP 1 2 的方程为 y ? k ( x ? 1) , k ? 0 . 联立 ?

? y ? k ( x ? 1)
2 ? y ? 4x

,得 k 2 x2 ? 2(2 ? k 2 ) x ? k 2 ? 0 . (*)

? ? [?2(2 ? k 2 )]2 ? 4k 2k 2 ? 16(1 ? k 2 ) ? 0 .
2(2 ? k 2 ) 设P . 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? k2 ? x1 ? x2 2 ? k 2 x ? ? ? ? M1 2 k2 . 设 M1 ( xM1 , yM1 ) ,则 ? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 M M1 ? k ? 1

9

1 ? 2? 2 ? 2 k ? xM 2 ? 1 ? 2k ? 1 ? 类似地,设 M 2 ( xM2 , yM2 ) ,则 ? . k2 ? 2 ? ?2k ? yM 2 ? 1 ? ? k ?
∴ | FM1 |? (1 ?

2 ? k2 2 2 2 2 ) ? ( ) ? 2 1? k 2 , 2 k k k

| FM 2 |? (2k 2 ) 2 ? ( ?2k ) 2 ? 2 | k | 1 ? k 2 , 1 1 因此 S?FM1M 2 ? | FM1 | ? | FM 2 |? 2( ? | k |) . 2 |k| 1 ? | k |? 2 ,∴ S?FM1M2 ? 4 , ∵ |k| 1 ?| k | ,即 k ? ?1 时, S?FM1M 2 取到最小值 4. 当且仅当 |k| (2)设线段 M1M 2 的中点 P( x, y) ,由(1)得

1 1 2 1 ? 2 2 x ? ( x ? x ) ? (2 ? ? 2 k ) ? 1 ? k ? M M 2 ? 1 2 ? 2 2 k k2 , ? 1 1 2 1 ? y ? ( y ? y ) ? ( ? 2k ) ? ? k ? M1 M2 ? 2 2 k k ? 2 消去 k 后得 y ? x ? 3 . 2 ∴线段 M1M 2 的中点 P 满足的方程为 y ? x ? 3 .
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

1 2 x ? ln x ? mx ( m ? 0 ) . 2

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)求 f ( x ) 的零点个数; (3)证明:曲线 y ? f ( x ) 没有经过原点的切线. 【解析】 (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? x ?
2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? mx ? 1 ? 0 .

1 x 2 ? mx ? 1 ?m ? . x x

当 ? ? m ? 4 ? 0 ,即 0 ? m ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增.
2

当 ? ? m ? 4 ? 0 ,即 m ? 2 时,由 x ? mx ? 1 ? 0 解得
2 2

m ? m2 ? 4 m ? m2 ? 4 , x2 ? ,且 0 ? x1 ? x2 , 2 2 在区间 (0, x1 ) 及 ( x2 , ??) 内, f ?( x) ? 0 ,在 ( x1 , x2 ) 内, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在区间 (0, x1 ) 及 ( x2 , ??) 内单调递增,在 ( x1 , x2 ) 内单调递减. (2)由(1)可知,当 0 ? m ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增,∴ f ( x ) 最多只有一 x1 ?
个零点. 又∵ f ( x) ?

1 x( x ? 2m) ? ln x ,∴当 0 ? x ? 2m 且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; 2
10

当 x ? 2 m 且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 有且仅有一个零点. 当 m ? 2 时,∵ f ( x ) 在 (0, x1 ) 及 ( x2 , ??) 内单调递增,在 ( x1 , x2 ) 内单调递减,

1 m ? m2 ? 4 2 m ? m2 ? 4 m(m ? m2 ? 4) ( ) ? ln ? 2 2 2 2 2 2 2 ?m ? m m ? 4 ? 2 m? m ?4 , ? ? ln 4 2 ?m2 ? m m 2 ? 4 ? 2 ?m 2 ? m 2 ? 2 ? ? 0, 4 4 m ? m2 ? 4 4 4 0? ? ? ? 1 (∵ m ? 2 ) , 2 2(m ? m 2 ? 4) 4
且 f ( x1 ) ? ∴ f ( x1 ) ? 0 ,由此知 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,



又∵当 x ? 2 m 且 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在 (0, ??) 内有且仅有一个零点. 综上所述,当 m ? 0 时, f ( x ) 有且仅有一个零点. (3)假设曲线 y ? f ( x) 在点 ( x, f ( x)) ( x ? 0 )处的切线经过原点,

1 2 x ? ln x ? mx f ( x) 1 ? f ?( x) ,即 2 ? x? ?m, 则有 x x x 1 2 化简得: x ? ln x ? 1 ? 0 ( x ? 0 ) . (*) 2 1 2 1 x2 ?1 记 g ( x) ? x ? ln x ? 1 ( x ? 0 ) ,则 g ?( x) ? x ? ? , 2 x x 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 3 1 2 3 ∴ g (1) ? 是 g ( x) 的最小值,即当 x ? 0 时, x ? ln x ? 1≥ . 2 2 2 由此说明方程(*)无解,∴曲线 y ? f ( x) 没有经过原点的切线.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写 清楚题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,BC 是半圆 O 的直径, AD ? BC ,垂足为 D , ? AB ? ? AF ,BF 与 AD 、 AO 分别交于点 E 、 G . (1)证明: ?DAO ? ?FBC ; (2)证明: AE ? BE .

A G E B D O

F

C

【解析】 (1)连接 FC , OF , ∵? AB ? ? AF , OB ? OF ,

A G E B D O

F
11

C

∴点 G 是 BF 的中点, OG ? BF . ∵ BC 是 ? O 的直径,∴ CF ? BF . ∴ OG //CF .∴ ?AOB ? ?FCB , ∴ ?DAO ? 90? ? ?AOB, ?FBC ? 90? ? ?FCB , ∴ ?DAO ? ?FBC . (2)在 Rt ?OAD 与 Rt ?OBG 中, 由(1)知 ?DAO ? ?GBO , 又 OA ? OB , ∴ ?OAD ? ?OBG ,于是 OD ? OG . ∴ AG ? OA ? OG ? OB ? OD ? BD . 在 Rt ?AGE 与 Rt ?BDE 中, 由于 ?DAO ? ?FBC , AG ? BD , ∴ ?AGE ? ?BDE ,∴ AE ? BE .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,过点 P(1, ?2) 的直线 l 的倾斜角为 45 .以坐标原点为极点, x 轴
?

正半轴为极坐标建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 的交点为 A, B . (1)求直线 l 的参数方程; (2)求 PA ? PB . 【解析】 (1)∵直线 l 过点 P(1, ?2) ,且倾斜角为 45? .

2

? ? 2cos? ,直线 l 和曲线 C

12

∴直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos 45? ? ( t 为参数) , ? y ? ? 2 ? t sin 45 ? ?

? 2 t ?x ? 1? ? 2 即直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2
(2)∵ ? sin 2 ? ? 2cos? ,∴ ( ? sin ? )2 ? 2? cos? , ∵ ? cos ? ? x , ? sin ? ? y , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2x ,

? 2 t ?x ? 1? ? 2 2 2 2 ∵? ,∴ (?2 ? t ) ? 2(1 ? t) , 2 2 ? y ? ?2 ? 2 t ? ? 2 2 ∴ t ? 6 2t ? 4 ? 0 ,∴ t1t2 ? 4 ,∴ PA ? PB ? 4 .
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 5x . (1)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 的解集; (2)若 x ? ?1 时有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 a ? ?1 时,不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 , ∴ x ?1 ? 5x ? 5x ? 3 , ∴ x ? 1 ? 3 ,∴ ?4 ? x ? 2 . ∴不等式 f ( x) ? 5 x ? 3 的解集为 [?4, 2] . (2)若 x ? ?1 时,有 f ( x) ? 0 , ∴ x ? a ? 5x ? 0 ,即 x ? a ? ?5x , ∴ x ? a ? ?5 x ,或 x ? a ? 5 x ,∴ a ? 6 x ,或 a ? ?4 x , ∵ x ? ?1 ,∴ 6 x ? ?6 , ?4 x ? 4 ,∴ a ? ?6 ,或 a ? 4 . ∴ a 的取值范围是 (??, ?6] ? [4, ??) .

13



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