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导函数及其运用



戴氏教育高考冲刺系列

高考冲刺系列(二)——导数及其运用 一、 基础知识回顾

导数的几何意义

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线 的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f′ (x

0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f/(x 0 ) (x-x 0 ) 。

基本函数的导数公式:

① C ? ? 0; (C 为常数) ③ (sin x)? ? cos x ;
x x ⑤ (e )? ? e ;

② x

? ?? ? nx
n

n ?1

;

④ (cos x)? ? ? sin x ;
x x ⑥ (a )? ? a ln a ;

⑦ ? ln x ?? ?

1 ; x

⑧ ? l o ga x ?? ?

1 1 loga e ? x x

导数的运算法则

复合函数的导数 复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的关系为

yx? ? yu? ? ux? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)
1

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函数的单调性与导数的关系: 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如
' 果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. ' 说明:特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.

求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

思维技巧
' 对于可导函数 f ( x) 来说 , f ( x) ? 0 是函数 f ( x) 在 (a,b) 上为单调增函数的充分不必要条件 ,

f ' ( x) ? 0 是函数 f ( x) 在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数 f ( x) ? x3 在 R 上为增函数,
' 但 f ?(0) ? 0 ,所以在 x ? 0 处不满足 f ( x) ? 0 .

利用导数极值: 定义:设函数 f(X)在点 X0 的领域内,若在 X0 的领域内,f(X0)> f(X),X≠X0 则 X0 称 为极大点 f(X0)为极大值;若在 X0 的领域内,f(X0)< f(X)则 X0 称为极小点 f(X0) 为极小值,函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大点与极小点称为极值点

2

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定理

设函数 f(X)在点 X0 的领域内有定义,且 X0 是 f(X)的极值点,如果 f(X)可

导,则 f`(X0)=0 定理 设函数 f(X)满足:

①在点 X0 的领域内可导 ②f`(X0)=0 那么: (1)若在 X0 的左侧附近 f`(X)>0,在 X0 右侧附近 f`(X)<0 则 f(X0)为极大值 (2)若在 X0 左侧附近 f`(X)<0,在 X0 右侧附近 f’ (X)>0 则 f(X0)为极小值 (3)若在 X0 左右两侧 f`(X)同号,则 f`(X)不是极值点

利用导数求函数极值步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求出函数的导函数 y ? f ( x)
' '

(3)令

=0,解得 x 的值

(4)列表求极值 二、导数常见用法 考点 1:单调性和极值 例 1.设 f ( x) ? ax ? x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间。
3

解: f ?( x) ? 3ax ? 1
2

若 a ? 0 , f ?( x) ? 0 对 x ? (??,??) 恒成立,此时 f ( x ) 只有一个单调区间,矛盾 若 a ? 0 , f ?( x) ? 1 ? 0 若a ? 0 ∴ x ? (??,??) , f ( x ) 也只有一个单调区间,矛盾

∵ f ?( x) ? 3a( x ?

1 3| a |

) ? (x ?

1 3| a |

) ,此时 f ( x) 恰有三个单调区间

3

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a ? 0 且 单 调 减 区 间 为 (??,?

1 3| a |

) 和 (

1 3| a |

,??) , 单 调 增 区 间 为

(?

1 3| a |

,

1 3| a |

)
.

例 2:函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 解:由 f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 =0,得 x ? ?1 ,

当 x ? ?1 时, f / ( x) >0,当 ? 1 ? x ? 1 时, f / ( x) <0,当 x ? 1 时, f / ( x) >0, 故 f ( x ) 的极小值、极大值分别为 f (?1) ? 3、f (1) ? ?1 , 而 f (?3) ? ?17、f (0) ? 1 故函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在[-3,0]上的最大值、最小值分别是 3、-17

例 3:已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围 解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 6 ?

a 2 x2 ? 6 x ? a ? , ………………(2 分) x x ∵ f ( x) 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性,∴在 x ? (2, ??) 上 f ?( x) 有正也有负也有 0, ...
即二次函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? a 在 x ? (2, ??) 上有零点 ∵ y ? 2 x2 ? 6 x ? a 是对称轴是 x ? 的实数 a 的取值范围 ( ??, 4) ………………(4 分)

3 ,开口向上的抛物线,∴ y ? 2 ? 22 ? 6 ? 2 ? a ? 0 2
………………(6 分)

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取
例 4.已知函数 f ( x) ? 值范围; 解: (I) f ?( x) ? x ?

a , g ?( x) ? a ? 1 , ……………(2 分) x ∵函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,
∴当 x ? [1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ? 即 (a ? 1)( x ? a) ? 0 恒成立,
2

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x

……………(4 分)

4

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∴?

? a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ? [1,3] 时恒成立,或 ?

? a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ? [1,3] 时恒成立, ………………(6 分)

∵ ?9 ? x ? ?1 ,∴ a ? ?1 或 a ? ?9 例 5.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f ( x) 的单调区间;

( II ) 函 数 f ( x) 的 图 象 的 在 x ? 4 处 切 线 的 斜 率 为

3 , 若 函 数 2

1 m g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 3 2
解: (I) f ' ( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) x 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为 ?0,1?, 减区间为 ?1,???
当 a=1 时, f ( x) 不是单调函数

(2 分)

当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为 ?1,???, 减区间为?0,1?; (5 分)

(II) f ' (4) ? ?

3a 3 ? 得a ? ?2, f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 4 2 1 m ? g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x,? g ' ( x) ? x 2 ? (m ? 4) x ? 2 (6 分) 3 2 ? g ( x)在区间 (1,3)上不是单调函数 , 且g ' (0) ? ?2

? g ' (1) ? 0, ?? ? g ' (3) ? 0.
分)

?m ? ?3, 19 ? (8 分)? ? 19 (10 分) m ? (? ,?3) 3 m? , ? 3 ?



12

考点 2:函数交点与零点问题 例 6.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c , d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f ( x) 的 解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ? f ( x) 与 y ? 个不同的交点,求 m 的取值范围. (I)由图可知 函数 f ( x) 的图象过点(0,3) ,且 f ' (1) ? 0

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三 3

?d ? 3 得 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0
(II)依题意

?d ? 3 ?? ?c ? 0 f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

…………(4 分)

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3
2 3 2

(III) f ?( x) ? 3x ? 12x ? 9 .可转化为: x ? 6x ? 9x ? 3 ? x ? 4x ? 3 ? 5x ? m 有三
2

?

…………(8 分)

?

5

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个不等实根,即: g ?x ? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点;

g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,

x
g ??x ? g ?x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?
+ 增

2 3
0 极大值

?2 ? 4? ? , ?3 ?


4
0 极小值

?4, ? ??
+ 增

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . …………(10 分) ? 3 ? 27 ? 2 ? 68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 当且仅当 g ? ? ? ? 3 ? 27 68 故而, ? 16 ? m ? 为所求. …………(12 分) 27 例 7.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值.
(I)求实数 a 的取值范围;

( 2a ? 3) 2 恰好有两个不同的根,求 f ( x) 的解析式 9 解: (I) f (0) ? 0 ? c ? 0, f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b, f ?(1) ? 0 ? b ? ?2a ? 3
(II)若方程 f ( x ) ? ?

? f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3), 2a ? 3 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ? ,因为当 x ? 1 时取得极大值, 3 2a ? 3 所以 ? ? 1 ? a ? ?3 ,所以 a的取值范围是: (??,?3) ; 3
…………(4分) (II)由下表:
2a ? 3 ) 3

x
f ?( x)
f ( x)
依题意得:

(??,1)
+ 递增

1
0 极大值
?a?2

(1,?

?

2a ? 3 3

(?

2a ? 3 ,??) 3

递减

0 极小值
a?6 (2a ? 3)2 27

递增

a?6 ( 2a ? 3) 2 ( 2a ? 3) 2 ? ? ,解得: a ? ?9 27 9 所以函数 f ( x) 的解析式是: f ( x) ? x3 ? 9 x2 ? 15x
例 8.已知常数 a ? 0 ,e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x 讨论函数

y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数

a 解: g ?( x) ? 2 x ? ? x

2( x ?

2a 2a )( x ? ) 2 2 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a ,列表 2 x

6

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x
g ?( x)
g ( x)
当x?

(0,

2a ) 2
-

2a 2
0 极小值

(

2a ,?? ) 2
+

单调递减

单调递增

2a a a 2a ) ? (1 ? ln ) ,无极大值. 时,函数 y ? g ( x) 取极小值 g ( 2 2 2 2 …………(6分)

?e 2 a ? e a 2a a ? a 2a 由(I) ea ? a ,∵ ? a ,∴ e ? ,∴ e ? 2 2 ?a ? 2 ? g (1) ? 1 ? 0 , g (e a ) ? e 2a ? a 2 ? (e a ? a)(e a ? a) ? 0
(i)当

…………(8 分)

2a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2a ? 1 ,即 a ? 2 时 (ii)当 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 2 ? a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 存在一个零点 x ? e ; 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 存在两个零点; 2 2 综上所述, y ? g ( x) 在 (1, ea ) 上,我们有结论:
当 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x ) 无零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x ) 有一个零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x ) 有两个零点. …………(12分) 考点 3:恒成立问题 例 9.已知函数 f(x)=ex-ax,其中 a>0.[@#中国^教育出版&网~] (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k, 证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立. 解: f ?( x) ? e ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .
x

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单 调递减 ;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调 递增 ,故 当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a.

7

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于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1 e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e x ?

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

e x1 ? e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? ? ?, x2 ? x1

e x2 ?e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? ?. x2 ? x1 ?
t

令 F (t ) ? e ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? et ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ex1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又

e x1 e x2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.
例 10.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3

(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值. (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.
8

戴氏教育高考冲刺系列

解答: (1) f ?( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 = ?( x ? 3a)( x ? a) 令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? a, x2 ? 3a 列表如下: x (-∞,a) a 0 极小 (a,3a) + 3a 0 极大 (3a,+∞) -

f ?( x )
f ( x)

∴ f ( x) 在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减

4 x ? a 时, f极小 ( x ) ? b ? a 3 , x ? 3a 时, f极小 ( x) ? b 3
(2) f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a
2 2

∵0<a<1,∴对称轴 x ? 2a ? a ? 1 , ∴ f ?( x ) 在[a+1,a+2]上单调递减

? ? ?(a ? 1)2 ? 4a(a ? 1) ? 3a2 ? 2a ?1 , ∴ f Max
? ? ?(a ? 2)2 ? 4a(a ? 2) ? 3a2 ? 4a ? 4 fmin

? |? a , | f min ? |? a 依题 | f ?( x) |? a ? | f Max
即 | 2a ? 1|? a,| 4a ? 4 |? a 解得

4 ? a ? 1 ,又 0<a<1 5 4 ∴a 的取值范围是 [ ,1) 5

1 ? x) , h( x ) ? 例 11.已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln(
(1)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x);

x . 1? x

kx (k ? 0) 恒成立,求实数 k 的取值范围; k?x 1 x ' 解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ( x ) = 1 ? , ? 1? x 1? x
(2)当 x ? 0 时,不等式 g ( x) ? 当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 ,所以函数 F ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,又 F ( x)
'

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在 x ? 0 处连续,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? g ( x) 。 (2)设 G ( x) ? g ( x) ?

kx , k?x
k2 , k?x

则 G ( x) 在(0, ? ?) 恒大于 0, G ( x) ? ln(1 ? x) ? k ?

G ' ( x) ?

1 k2 x 2 ? (2k ? k 2 ) x , ? ? 1 ? x ( k ? x) 2 (1 ? x)(k ? x) 2

x 2 ? (2k ? k 2 ) x ? 0 的根为 0 和 k 2 ? 2k ,
即在区间(0, ? ?) 上, G' ( x) ? 0 的根为 0 和 k ? 2k ,
2 2 若 k ? 2k ? 0 ,则 G ( x) 在 (0, k ? 2k ) 单调递减,
2

且 G (0) ? 0 ,与 G ( x) 在(0, ? ?) 恒大于 0 矛盾; 若 k ? 2k ? 0 , G ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,
2 2 且 G (0) ? 0 ,满足题设条件,所以 k ? 2k ? 0 ,所以 0 ? k ? 2.

例 12.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值.对 于(II)中的函数 f ( x) ,对任意 ?、? ? R ,求证: | f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 . 解:对任意的实数 ? , ? 都有 ? 2 ? 2 sin ? ? 2,?2 ? 2 sin ? ? 2, 在区间[-2,2]有:

f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74, f (1) ? 7, f (2) ? 8 ? 36 ? 30 ? 2

f ( x)的最大值是f (1) ? 7, f ( x)的最小值是f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74 [?2,2] 上的最大值与最小值的差等于81, 函数 f ( x)在区间
所以 | f (2 sin? ) ? f (2 sin ? ) |? 81 例 13.已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ? 正数 x1、x2 ,不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?

2 ,试证明:对任意两个不相等 x2

38 | x1 ? x2 | 恒成立 27 a 2 x2 ? 6 x ? a 解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 6 ? ? , ………………(2 分) x x ∵ f ( x) 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性,∴在 x ? (2, ??) 上 f ?( x) 有正也有负也有 0, ...
即二次函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? a 在 x ? (2, ??) 上有零点
10

………………(4 分)

戴氏教育高考冲刺系列

∵ y ? 2 x2 ? 6 x ? a 是对称轴是 x ? 的实数 a 的取值范围 ( ??, 4) (II)由(I) g ( x) ? 2 x ? 方法 1: g ( x) ? f ?( x) ?

3 ,开口向上的抛物线,∴ y ? 2 ? 22 ? 6 ? 2 ? a ? 0 2
………………(6 分)

a 2 ? , x x2

2 a 2 ? 6 ? 2 x ? ? 2 ( x ? 0) , 2 x x x a 4 4 4 2 x3 ? 4 x ? 4 ∵ a ? 4 ,∴ g ?( x) ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? ,…………(8 分) x x x x x3 4 4 8 12 4(2 x ? 3) 设 h( x) ? 2 ? 2 ? 3 , h?( x) ? 3 ? 4 ? x x x x x4 3 3 3 38 h( x) 在 (0, ) 是减函数,在 ( , ??) 增函数,当 x ? 时, h( x) 取最小值 2 2 2 27 38 38 38 ∴从而 g ?( x) ? ,∴ ( g ( x) ? x)? ? 0 ,函数 y ? g ( x) ? x 是增函数, 27 27 27 38 38 x1、x2 是两个不相等正数,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x2 ) ? x2 ? g ( x1 ) ? x1 27 27 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ? ∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ,∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ x1 ? x2 27 27


g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ,即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? ? | x1 ? x2 | x1 ? x2 27 27

………………(12 分)

方法 2: M ( x1 , g ( x1 )) 、 N ( x2 , g ( x2 )) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两相异点,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2( x1 ? x2 ) a , x1 ? x2 ? 2 x1 x2 , a ? 4 ? 2? ? 2 2 x1 ? x2 x1 x2 x1 x2
?2 ?
设t ?

2( x1 ? x2 ) a 4 a 4 4 ? ? 2? ? ?2? ? 2 2 3 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 )

………(8 分)

1 , t ? 0 ,令 kMN ? u(t ) ? 2 ? 4t 3 ? 4t 2 , u?(t ) ? 4t (3t ? 2) , x1 x2

由 u?(t ) ? 0 ,得 t ?

2 2 , 由 u?(t ) ? 0 得 0 ? t ? , 3 3

2 2 3 3 38 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ? u (t ) 在 t ? 处取极小值 ,?u (t ) ? ,∴所以 ? x1 ? x2 27 3 27 27
? u (t ) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数,
即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?

38 | x1 ? x2 | 27

………………(12 分)

11



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《导数及其应用》知识点总结
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《导数及其应用》单元测试题(详细答案)
《​导​数​及​其​应​用​》​单​元​测​试​题​(​详​细​答​案​)《导数及其应用》单元测试题(文科) 导数及其应用...
高中数学经典解题技巧(导数及其应用)
高中数学经典的解题技巧和方法(导数及其应用) 高中数学经典的解题技巧和方法(导数...【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答...
毕业论文 导数在经济学中的应用
x → 0 时的极限存在,则称函数 y=f(x)在点 x 0 处可 -f( x 0 ) 1 广东商学院数学与计算科学学院 导数在经济学中的应用 导,并称这个极限为函数 y...
导函数及其运用
导函数简单的运用导函数简单的运用隐藏>> 导函数 最近这段时间都在学导函数, 我们新课今天也刚好结束。 我请教了很多人学习导函数后的感 受,大家感受不一,我自...
高中数学导数的应用
自​己​整​理​的​导​数​这​一​章​的​重​点​,​题​目​很​不​错导数的应用 1. 函数的单调性 . (1)利用导数...
导数及其应用)
导数及其应用)_数学_高中教育_教育专区。导数及其应用导数的运算 1. 几种常见的...v' u vu ?u v 2 v v2 ? (v ? 0) 注:① u, v 必须是可导函数....
导数及其应用(知识点总结)
导数及其应用 知识点总结 1、函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率:...2-2导数及其应用知识点总... 暂无评价 3页 免费 高中数学人教版选修2-2导....
分离变量法在导数中的应用
分离变量法在导数的应用_数学_自然科学_专业资料。本文对分离变量法的用法进行...若导函数在 (2,3) 内没有零点,则有以下两种情况: 1 1 , ,显 2 3 x2...
高三导数及其应用
高三年级导数及其应用专题讲解 一、考点、热点回顾高考考点 1、导数定义的认知与...(3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别: (Ⅰ)若...
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