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2014北京西城区高考数学(文)二模试题答案



北京市西城区 2014 年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.A 6.A 3.C 7.D 4.D 8.B

2014.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 11. ?2<

br />
n2

10. 3 12.

1 2

13.

2 2 3

14. 8

{1, 2}

注:第 9,14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解: f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? 1

1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?1 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ?

……………… 4 分

?

2 π 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

……………… 6 分 ……………… 7 分

2π ? π. 2 π 5π π π ≤ 2x ? ≤ - . (Ⅱ )解:由 ? ≤ x ≤ 0 ,得 ? 2 4 4 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 所以 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ≤

π 4

2 , 2

……………… 9 分

所以

? 2 ?1 2 π 1 ? 2 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ? ≤ 1 ,即 ≤ f ( x) ≤1 . ……… 11 分 2 2 4 2 2

当 2x ? 当 2x ?

π π π π ? 2 ?1 ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最小值 f (? ) ? ;… 12 分 4 2 8 8 2 π 5π π π ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最大值 f ( ? ) ? 1 . …………13 分 4 4 2 2

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:A 班 5 名学生的视力平均数为 xA =

4.3+5.1+4.6+4.1 ? 4.9 =4.6 , ………… 2 分 5 5.1+4.9+4.0+4.0 ? 4.5 =4.5 . …………… 3 分 B 班 5 名学生的视力平均数为 xB = 5
……………… 4 分 ……………… 8 分

从数据结果来看 A 班学生的视力较好. (Ⅱ)解:B 班 5 名学生视力的方差较大. (Ⅲ)解:在 A 班抽取的 5 名学生中,视力大于 4.6 的有 2 名, 所以这 5 名学生视力大于 4.6 的频率为

2 . 5 2 ? 16 名, 5

……………… 11 分

所以全班 40 名学生中视力大于 4.6 的大约有 40 ?

则根据数据可推断 A 班有 16 名学生视力大于 4.6.

……………… 13 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 A1 D1 ? 平面 ABB1 A 1D 1 ? 平面 A 1, A 1 BD 1, 所以平面 A 1 BD 1 ? 平面 ABB 1A 1. (Ⅱ)证明:连接 BD , AC ,设 BD ……………… 4 分

AC ? G ,连接 OG .

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 AE // DD1 ,且 AE ? 又因为 O 是 BD1 的中点, 所以 OG // DD1 ,且 OG ?

1 DD1 ,且 G 是 BD 的中点, 2

D1 B1 O D

C1

A1

1 DD1 , 2

E
G

所以 OG // AE ,且 OG ? AE , 即四边形 AGOE 是平行四边形, 所以 EO //AG , 又因为 EO ? 平面 ABCD , AG ? 平面 ABCD , 所以 EO // 平面 ABCD . (Ⅲ)解:满足条件 OP ? 2 的点 P 有 12 个. 理由如下:

C B

A

……………… 6 分

……………… 9 分 ……………… 12 分

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, AA1 ? 2 , 所以 AC ? 2 2 . 所以 EO ? AG ?

1 AC ? 2 . 2

……………… 13 分

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 AA 1 ? 平面 ABCD , AG ? 平面 ABCD , 所以 AA 1 ? AG , 又因为 EO //AG , 所以 AA 1 ? OE , 则点 O 到棱 AA1 的距离为 2 , 所以在棱 AA1 上有且只有一个点(即中点 E )到点 O 的距离等于 2 , 同理,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 每条棱的中点到点 O 的距离都等于 2 , 所以在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱上使得 OP ?

2 的点 P 有 12 个. ……… 14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) ?

ex 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? ?1} . x ?1

……………… 1 分

f ?( x) ?

e x ( x ? 1) ? e x xe x ? . ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

……………… 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? 1)

(?1, 0)

0

(0, ? ?)

?


?


0

?
↗ ……………… 4 分

f ( x)

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? 1) , (?1,0) ;单调增区间为 (0, ? ? ) .

所以当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 有极小值 f (0) ? 1 . (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 存在两个零点. 证明过程如下: 由题意,函数 g ( x) ?

……………… 5 分

ex ?1 , x2 ? x ? 1

因为 x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ?0, 4
……………… 6 分

所以函数 g ( x) 的定义域为 R . 求导,得 g ?( x) ?

e x ( x 2 ? x ? 1) ? e x (2 x ? 1) e x x( x ? 1) ? , ( x 2 ? x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) 2

………………7 分

令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 1 , 当 x 变化时, g ( x) 和 g ?( x) 的变化情况如下:

x
g ?( x)

(??, 0)

0

(0, 1)

1

(1, ? ?)

?


0

?


0

?


g ( x)

故函数 g ( x) 的单调减区间为 ( 0,1) ;单调增区间为 (??, 0) , (1, ? ?) . 当 x ? 0 时 , 函 数 g ( x) 有 极 大 值 g (0) ? 0 ; 当 x ? 1 时 , 函 数 g ( x) 有 极 小 值

e g (1) ? ? 1 . 3
因为函数 g ( x) 在 (??, 0) 单调递增,且 g (0) ? 0 , 所以对于任意 x ? (??, 0) , g ( x) ? 0 . 因为函数 g ( x) 在 ( 0,1) 单调递减,且 g (0) ? 0 , 所以对于任意 x ? (0,1) , g ( x) ? 0 . 因为函数 g ( x) 在 (1, ? ?) 单调递增,且 g (1) ?

……………… 9 分

……………… 10 分

……………… 11 分

e e2 ? 1 ? 0 , g (2) ? ? 1 ? 0 , 3 7

所以函数 g ( x) 在 (1, ? ?) 上仅存在一个 x 0 ,使得函数 g ( x0 ) ? 0 , ………… 12 分 故函数 g ( x) 存在两个零点(即 0 和 x 0 ). ……………… 13 分

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:椭圆 W 的长半轴长 a ?

2 ,左焦点 F1 (?1,0) ,右焦点 F2 (1,0) , … ……… 2 分

由椭圆的定义,得 | AF , | BF , 1 | ? | AF 2 |? 2a 1 | ? | BF 2 |? 2a 所以 ?ABF1 的周长为 | AF . 1 | ? | AF 2 | ? | BF 1 | ? | BF 2 |? 4a ? 4 2 (Ⅱ)解:因为 ?ABF1 为直角三角形,
o o o 所以 ?BF 1 A ? 90 ,或 ?BAF 1 ? 90 ,或 ?ABF 1 ? 90 , o 当 ?BF 1 A ? 90 时,

……………… 5 分

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

……………… 6 分

? x2 2 ? ? y ? 1, 由 ?2 ? y ? k ( x ? 1), ?
所以 x1 ? x2 ?

得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,

……………… 7 分

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

……………… 8 分

o 由 ?BF 1 A ? 90 ,得 F 1A? F 1B ? 0 ,

……………… 9 分

因为 F 1 A ? ( x1 ? 1, y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 1, y2 ) , 所以 F 1 A? F 1B ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2

? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) ? 2k 2 ? 2 4k 2 2 ? (1 ? k ) ? ? 1 ? k 2 ? 0 , ……………10 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
……………… 11 分

解得 k ? ?

7 . 7

o o 当 ?BAF 1 ? 90 (与 ?ABF 1 ? 90 相同)时,

则点 A 在以线段 F1F2 为直径的圆 x ? y ? 1上,也在椭圆 W 上,
2 2

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 2 解得 A(0,1) ,或 A(0, ?1) , ? x 2 ? y 2 ? 1, ?
根据两点间斜率公式,得 k ? ?1 , 综上,直线 l 的斜率 k ? ?

……………… 13 分

7 ,或 k ? ?1 时, ?ABF1 为直角三角形. ……………14 分 7

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 . (Ⅱ)解:因为 {an } 为等比数列, a1 ? 1 , a2 ? 2 , 所以 an ? 2n?1 , 因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? 1 , b2 ? b3 ? 2 , b4 ? b5 ? b6 ? b7 ? 3 , b8 ? b9 ? ……………… 4 分 ……………… 3 分

? b15 ? 4 ,
……………… 6 分 ……………… 8 分

b16 ? b17 ?

? b31 ? 5 ,b32 ? b33 ? ? b50 ? 243 .

? b50 ? 6 ,

所以 b1 ? b2 ? b3 ?

(Ⅲ)解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N* ,得 an≥n .

? an ?

, ……………… 9 分

又因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 使得 an ≤m ? 1 成立的 n 的最大值为 bm?1 , 所以 b1 ? 1 , bm≤bm?1 (m ? N* ) . 设 a2 ? k ,则 k≥2 . 假设 k ? 2 ,即 a2 ? k >2 , 则当 n≥2 时, an ? 2 ;当 n≥3 时, an≥k ? 1 . 所以 b2 ? 1, bk ? 2 . 因为 {bn } 为等差数列, 所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , ……………… 10 分

所以 bn ? 1,其中 n ? N .
*

这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾, 所以 a2 ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b2 ? 2 , 由 {bn } 为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N .
*

……………… 11 分

? an ?



……………… 12 分

因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 an ≤n , 由 an≥n ,得 an ? n . ……………… 13 分



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