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【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第8课 函数的图象和周期性 文



第8课

函数的图象和周期性
页)

(本课时对应学生用书第

自主学习 回归教材

1.(必修1P35练习4改编)设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则在下面四个图形中,能表 示集合M到集合N的函数关系的有

.(填序号)



② (第1题)





【答案】②③ 【解析】由函数的定义易知②③成立.

2.(必修1P31练习2改编)已知f(x)的图象如图所示,则f(x)=

.

(第2题)

0] ? x ? 1,x ? [-1,, ? ? 1 2] ?- x,x ? (0, 【答案】 ? 2
【解析】分段考虑,由于都是一次函数,所以从端点确定,分别过 (-1 , 0) , (0 , 1) , (0 , 0),(2,-1),从而求出解析式.

3.(必修1P45习题9改编)已知函数f(x)是奇函数且周期为3,若f(1)=-1,则f(2 015)= 【答案】1 【解析】由条件,f(2 015)=f(671×3+2)=f(2)=f(-1)=-f(1)=1.

.

1

1 4.(必修1P29练习6改编)方程|x-1|= x 的正实数根的个数是

.

(第4题) 【答案】1

1 【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=|x-1|和y= x 的图象如图所示,由图象可知
两者只有1个交点,所以方程只有1个正根.

? x1 ? x2 ? 1 ? ? 5.(必修1P87习题14改编)任取x1,x2∈(a,b),且x1≠x2,若f ? 2 ? > 2 [f(x1)+f(x2)],则
称f(x)是(a,b)上的凸函数.在下列图象中,是凸函数图象的是

.(填序号)





③ (第5题) 【答案】④



1.作函数图象有两种方法: (1)描点法:①列表;②描点;③连点成线.

2

运用描点法作图前,必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心 中有数,这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性,从而确保表列在关键处,线连在恰当 处. (2)图象变换法:包括平移变换、伸缩变换、对称变换.

2.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都 有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

3.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小正数,那么这个最小正数就 叫作f(x)的最小正周期.

【要点导学】 要点导学 各个击破

作函数的图象 例1 分别画出下列函数的图象.

x?2 (1)y= x-1 ;
?1? ? ? (2)y= ? 2 ? ;
(3)y=|log2x-1|.
|x |

cx ? d 【思维引导】(1)形如f(x)= ax ? b 的函数的图象是由反比例函数的图象经过平移变换得
到的. (2)要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性,作出x<0时的图象.

3

(3)要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.

3 3 【解答】(1)因为y=1+ x-1 ,先作出函数y= x 的图象,将其图象向右平移一个单位长度, x?2 再向上平移一个单位长度,即得到y= x-1 的图象,如图(1)所示.
?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? (2)作出y= ? 2 ? 的图象,保留y= ? 2 ? 图象中x≥0的部分,加上y= ? 2 ? 的图象中x>0部 ?1? ? ? 分关于y轴的对称部分,即得y= ? 2 ? 的图象,如图(2)实线部分所示.
(3)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移一个单位长度,保留x轴上方的部分,将x 轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图(3)所示.
|x | x x x

图(1) (例1)

图(2)

图(3)

【精要点评】为了正确地作出函数的图象,必须做到以下两点: (1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂

1 函数、形如y=x+ x 的函数;
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮 助我们简化作图过程.

变式 分别画出下列函数的图象. (1)y=|lg x|; (2)y=x -2|x|-1.
2

?lgx,x ? 1, ? -lgx, 0 ? x ? 1. 图象如图(1)所示. 【解答】(1)y= ?

4

? x2 -2 x-1,x ? 0, ? 2 x ? 2 x-1,x ? 0. 图象如图(2)所示. (2)y= ?

图(1)

图(2) (变式) 【精要点评】画函数图象的一般方法:(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是 熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个 基本函数的图象经过平移、翻折、对称等变换得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺 序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换 单位及解析式的影响.

利用函数图象解题

|x 2 -1| 例2 (2014·中华中学)已知函数y= x-1 的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,
那么实数k的取值范围是

.

|x 2 -1| 【思维引导】根据绝对值的意义作出函数y= x-1 的图象,然后由于函数y=kx-2的图象是
过定点(0,2)的一条直线,结合交点个数,确定参数k的范围. 【答案】 (0,1)∪(1,4)

5

(例2)

, ? x ? 1, |x 2 -1| ?- x-1-1 ? x ? 1,x ? -1或x ? 1, 【解析】y= x-1 = ? 在同一平面直角坐标系内画出函数y=kx-2与
|x 2 -1| |x 2 -1| y= x-1 的图象如图所示,结合图象知,当0<k<1时,y=kx-2与y= x-1 在x轴下方的图象有两 |x 2 -1| 个公共点;当k∈(1,4)时,y=kx-2与y= x-1 的图象在x轴的上、下方各有一个公共点.
【精要点评】作函数图象的基本方法:列表、描点、连线,但更多的是通过已知的初等 函数的图象经过平移、伸缩、对称变换得到.作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法. 其中图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律.注意对于 左、右平移变换,可熟记口诀:左加右减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立.

1 变式 (2014·湖北卷)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= 2 (|xa2|+|x-2a2|-3a2).若对任意的x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 .

? 6 6? , ? ?6 6 ? 【答案】 ?
【解析】因为当x≥0时,

1 f(x)= 2 (|x-a2|+|x-2a2|-3a2),
所以当0≤x≤a 时,
2

1 f(x)= 2 (a2-x+2a2-x-3a2)=-x;
当a <x<2a 时,
2 2

1 f(x)= 2 (x-a2+2a2-x-3a2)=-a2;
当x≥2a 时,
2

1 f(x)= 2 (x-a2+x-2a2-3a2)=x-3a2.

6

综上,f(x)=

?- x, 0 ? x ? a 2, ? 2 2 2 ? - a ,a ? x ? 2 a , ? x-3a 2,x ? 2a 2 . ?

因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如图所示,

(变式) 观察图象可知,要使对任意的x∈R,f(x-1)≤f(x),

6 6 2 2 则需满足2a -(-4a )≤1,解得- 6 ≤a≤ 6 .

函数的周期性 例3 (2014·泸州模拟)设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当

0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π )的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积. 【思维引导】(1)利用f(x+2)=-f(x)确定函数f(x)的周期为4,然后计算;(2)根据函数

f(x)的奇偶性和周期性作出函数的图象.
【解答】(1)由f(x+2)=-f(x), 得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 从而得f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π )=-(4-π )=π -4. (2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即

f(1+x)=f(1-x).
所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又0≤x≤1时,f(x)=x, 且f(x)的图象关于原点成中心对称,

7

则f(x)的图象如图所示.

(例3)

?1 ? ? ? 2 ? 1? ? =4. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,则S=4S△OAB=4× ? 2
【精要点评】周期性常用的结论:对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-

1 1 f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)= f (x) ,则T=2a;(3)若f(x+a)=- f (x) ,则T=2a.

变式 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=1对称,当

x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.
(1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 017)的值. 【思维引导】(1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)为周期函数;(2)由f(x)在[0,1] 上的解析式及f(x)图象关于直线x=1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式;(3)由周期性求和. 【解答】(1)因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 则f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. (2)当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又f(x)的图象关于x=1对称, 则f(x)=f(2-x)=2 -1,x∈[1,2]. (3)因为f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,
2-x

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,
又f(x)是以4为周期的周期函数,

8

f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
所以f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 017)=504[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)=1.

1.(2015·平潮中学)函数f(x)=ln(x +1)的图象大致是

2

.(填序号)





③ (第1题) 【答案】①



【解析】f(x)=ln(x +1),x∈R,当x=0时,f(0)=ln 1=0,即f(x)过点(0,0),排除②④.又

2

f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x),即f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,排除③,所以选
①.

2.(2015·全国卷)已知函数f(x)=ax -2x的图象过点(-1,4),则实数a= 【答案】-2 【解析】由f(x)=ax -2x过点(-1,4),知f(-1)=-a+2=4 ? a=-2.
3

3

.

g1
3.已知f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,f(x)=lo
2

(1-x),则

? 2015 ? ?? 4 ?= f?

.

g1
【答案】lo
2

3 4

9

3 1? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 7 ? ? 1 ? g1 ? g1 ?? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ? =f ? 4 ? =f ? 4 ? =f ? 4 ? =lo 2 ? 4 ? =lo 2 4 . 【解析】f ?
4.(2014·天津卷)已知函数f(x)=|x +3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数 根,则实数a的取值范围为
2

.

(第4题) 【答案】(0,1)∪(9,+∞) 【解析】在同一坐标系内分别作出函数y=|x +3x|与y=a|x-1|的图象如图所示.
2

?-ax ? a ? - x 2 -3x, ? a ? 0, 2 当y=a|x-1|与y=|x +3x|的图象相切时,由 ?
整理得 x +(3-a)x+a=0 ,则 Δ =(3-a) -4a=a -10a+9=0 ,解得 a=1 或 a=9. 故根据图象知,当 0<a<1 或a>9时y=a|x-1|与y=f(x)的图象有4个交点.
2 2 2

5.(2014· 泰 州 期 末 ) 设 函 数 f(x)=(x-a)|x-a|+b(a , b 都 是 实 数 ) , 则 下 列 叙 述 中 正 确 的 是

.(填序号)

①对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上是单调函数; ②存在实数a,b,函数y=f(x)在R上不是单调函数; ③对任意实数a,b,函数y=f(x)的图象都是中心对称图形; ④存在实数a,b,使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图形.

(第5题)

10

【答案】①③ 【解析】函数f(x)的图象是由g(x)=x|x|的图象向右平移a个单位长度,再向上平移b个单位长

? x 2,x ? 0, ? 2 - x ,x ? 0, 度得到的,而 g(x)= ? 其图象如图所示,可知 g(x) 关于原点对称,且在 R 上为增函
数,所以f(x)关于点(a,b)对称,且在R上为增函数,故选①③.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第15~16页.

【检测与评估】 第8课 函数的图象和周期性 一、 填空题 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,则f(x)的一个周期为 .

2.(2014· 启 东 中 学 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x) 满 足 f(x+2)=-f(x) , 那 么 f(6) 的 值 为 .

?ax ? b,x ? 0, ? 1? ? ? ?log c ? x ? 9 ? ,x ? 0 ? ? 3.(2015· 烟 台 模 块 检 测 ) 若 函 数 f(x)= ? 的图象如图所示,则
a+b+c=
.

(第3题)

11

4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且f(-1)=2,那么

f(2 017)=

.

? x2 ? x,x ? 0, ? 2 - x ,x ? 0. 若 f(f(a))≤2 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 5.(2014· 浙 江 卷 ) 已 知 函 数 f(x)= ?
是 .

6.某同学从A地跑步到B地,随路程的增加速度减小.若以y表示该同学离B地的距离,x表示出发 后的时间,则下列图象中较符合该同学走法的是 .(填序号)



② (第6题)





7.(2015·安徽卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1的图象只有一个交 点,则实数a的值为 .

8.(2015· 北 京 卷 ) 如 图 , 函 数 f(x) 的 图 象 为 折 线 ACB , 则 不 等 式 f(x)≥log2(x+1) 的 解 集 是 .

(第8题)

二、 解答题 9.写出下列函数的作图过程,然后画出下列函数图象的草图.

12

2x-1 (1)y= x-1 ;
(2)y=(x+1)|x-2|; (3)y=2
|x+1|

.

10. 已知定理:“若 a , b 为常数, g(x) 满足 g(a+x)+g(a-x)=2b ,则函数 y=g(x) 的图象关于点

1 (a,b)成中心对称”.已知函数f(x)=-1+ a-x .
(1)求证:函数f(x)的图象关于点(a,-1)成中心对称;

1 (2)当x∈[a-2,a-1]时,求证:f(x)∈[ 2 ,0].

11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称. (1)求证:函数f(x)是以4为周期的周期函数; (2)若f(x)=

x (0<x≤1),求当x∈[-5,-4]时函数f(x)的解析式.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.(2015·上海徐汇区高三诊断)已知函数f(x)=|x|·(a-x),a∈R. (1)当a=4时,画出函数f(x)的大致图象,并写出其单调增区间; (2)若函数f(x)在x∈[0,2]上是减函数,求实数a的取值范围; (3)若不等式|x|·(a-x)≤6对x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.

13

(第12题)

【检测与评估答案】 第8课 函数的图象和周期性

13 1. 4 【解析】由f(x)·f(x+2)=13,得f(x+2)= f (x) ,所以 13 f(x+4)=f[(x+2)+2]= f (x ? 2) =f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
2.0 【解析】由题意得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以

f(6)=f(2).由f(x+2)=-f(x)得f(2)=-f(0).因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.

13 3. 3

1? ? ?x? ? 9 ? 的图象过点(0, 【解析】由图象可求得直线的方程为y=2x+2.又函数y=logc ?

1 1 13 2),将其坐标代入可得c= 3 ,所以a+b+c=2+2+ 3 = 3 .
4. 2 【解析】在f(x+4)=f(x)+2f(2)中,令x=-2,得f(2)=f(-2)+2f(2),即

f(2)=f(2)+2f(2),故f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)是以4为周期的周期函数.又2
017=4×504+1,因此f(2 017)=f(1)=f(-1)=2.

5.(-∞, 2 ] 【解析】函数f(x)的图象如图所示,令t=f(a),则f(t)≤2,由图象知t≥2,所以f(a)≥-2,则a≤ 2 .

14

(第5题)

6.③ 【解析】由于y表示该同学离B地的距离,所以答案在①③中选,又随路程的增加速度减 小,前一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半,故选③.

1 7.- 2

【解析】在同一平面直角坐标系内,作出y=2a与y=|x-a|-1的大致图象如图所示,由

1 题意,可知2a=-1 ? a=- 2 .

(第7题)

8.(-1 ,1]

【解析】如图把函数y=log2x 的图象向左平移一个单位长度得到 y=log2(x+1)的图

象,当x=1时,两图象相交,由图象知不等式的解集为{x|-1<x≤1}.

(第8题)

2x-1 2(x-1) ? 1 1 x-1 =2+ x-1 . 9. (1) y= x-1 = 1 1 1 先作出函数y= x 的图象,再把函数y= x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y= x-1 的图象, 1 1 最后把函数y= x-1 的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2+ x-1 的图象,如图(1)所示.

15

?- x 2 ? x ? 2,x ? 2, ? 2 x -x-2,x ? 2. (2) y=(x+1)|x-2|= ? 函数的图象如图(2)所示.
(3) 首先作出函数y=2 的图象,在y轴右边的保持不变,去掉 y轴左边的图象,再把 y轴右边的 图象对称地翻折到y轴左边,即得函数y=2 的图象,最后把函数y=2 的图象向左平移1个单位 长度,得到函数y=2
|x+1| |x| |x| x

的图象,如图(3)所示.

图(1)

图(2)

图(3) (第9题)

? ? ? 1 1 ? ?-1 ? a-(a ? x) ? ? ?1 ? a-(a-x) ? ?+? ? =-2,所以函数f(x)的图象关于 10.(1) 因为f(a+x)+f(a-x)= ?
点(a,-1)成中心对称.

1 1 (2) 由f(x)=-1+ a-x =-1- x-a ,知f(x)在(-∞,a)和(a,+∞)上均为增函数,所以f(x)在[a? 1 ? - , 0? ? 2 ? ?. 2,a-1]上单调递增,从而f(x)∈[f(a-2),f(a-1)],即f(x)∈
11. (1) 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 知f(x+1)=f(1-x), 即有f(-x)=f(x+2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故有f(-x)=-f(x),故f(x+2)=-f(x), 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即函数f(x)是以4为周期的周期函数. (2) 由函数f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0. 当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- - x .

16

故当x∈[-1,0]时,f(x)=- - x . 当x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0],

f(x)=f(x+4)=- - x-4 .
从而当x∈[-5,-4]时,函数f(x)=- - x-4 .

?- x 2 ? 4 x,x ? 0, ? 2 x -4 x,x ? 0, 函数f(x)的大致图象如图所示. 12.(1) 当a=4时,f(x)= ?
由图象知单调增区间为[0,2].

(第12题) (2)方法一:设0≤x1<x2≤2, 由f(x)在x∈[0,2]上单调递减,知f(x1)-f(x2)>0对任意0≤x1<x2≤2都成立,即(x1-x2)[a(x1+x2)]>0,所以a<x1+x2对任意的0≤x1<x2≤2都成立,所以a≤0.

? a ? a2 ? x- ? 2 方法二:(数形结合方法)当x∈[0,2]时,f(x)=x(a-x)=-x +ax=- ? 2 ? + 4 ,

2

a 若函数f(x)在x∈[0,2]上是单调减函数,则 2 ≤0,所以a≤0.
(3) 当x=0时,0≤6成立,所以a∈R;

6? ? 6 6 ?x? ? x ?min 即可. 当0<x≤2时,a-x≤ x ,即a≤x+ x ,只要a≤ ?

6 设g(x)=x+ x ,g(x)在(0, 6 ]上单调递减,在[ 6 ,+∞)上单调递增,
当0<x≤2时,g(x)min=g(2)=5, 所以a≤5. 综上,|x|(a-x)≤6对x∈[0,2]恒成立的实数a的取值范围是(-∞,5].

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