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广东省佛山南海九学中学高三第二轮专题复习资料:立体几何题型与方法(文科)


专题二:立体几何题型与方法(文科)
一、
1.平面 (1)平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 (2)证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点 在线上,线在面内 ,推出点在面内) 这样,可根据公理 2 证明这些点都在这两个平面的 , 公共直线上。 (3)证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上, 而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。 (4)证共面问题一般用落入法或重合法。 (5)经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线. (1)空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点; 平行直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内。 (2)异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直 线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) (3)平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. (4)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这 两个角相等 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直 角)相等. (5)两异面直线的距离:公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.
l1 , l 2 l1 , l 2

考点回顾

是异面直线,则过 l1 , l 2 外一点 P,过点 P 且与 l1 , l 2 都平行平面有一个或没有,但与

距离相等的点在同一平面内. (l1 或 l2 在这个做出的平面内不能叫 l1 与 l2 平行的平面)

3. 直线与平面平行、直线与平面垂直. (1)空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. (2)直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行.( “线线平行,线面平行” ) (3)直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面

和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.( “线面平行,线线平行” ) (4)直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和
P

一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
O a

?

若 PA ⊥ ? , a ⊥ AO ,得 a ⊥ PO (三垂线定理) ,

A

得不出 ? ⊥ PO . 因为 a ⊥ PO ,但 PO 不垂直 OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那 么这两条直线垂直于这个平面.( “线线垂直,线面垂直” ) 直线与平面垂直的判定定理二: 如果平行线中一条直线垂直于一个平面, 那么另一条也垂直 于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. (5)a.垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, .. ①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长 的斜线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短. [注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] b.射影定理推论: 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等, 那么这点在平面 内的射影在这个角的平分线上。 4. 平面平行与平面垂直. (1)空间两个平面的位置关系:相交、平行. (2)平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么 这两个平面平行.( “线面平行,面面平行” ) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. (3)两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们 交线平行.( “面面平行,线线平行” ) (4)两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二: 如果一个平面与一条直线垂直, 那么经过这条直线的平面垂直于 这个平面.( “线面垂直,面面垂直” ) (5)两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线也垂直于另一个平面.

推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. 5. 锥、棱柱. (1)棱柱性质 ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形; ........ 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. ..... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. (2)棱锥性质: ①正棱锥各侧棱相等, 各侧面都是全等的等腰三角形, 各等腰三角形底边上的高相等 (它 叫做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、 侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. (3)球: a.球的截面是一个圆面.
O r

①球的表面积公式: S b.纬度、经度:

? 4? R

2

.②球的体积公式: V

?

4 3

?R

3

.

①纬度:地球上一点 P 的纬度是指经过 P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度: 地球上 A, B 两点的经度差, 是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半 平面的二面角的度数,特别地,当经过点 A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是
B

点的经度. 附:①圆柱体积: V ②圆锥体积: V ③锥形体积: V
? 1 3

? ?r h
2
2

( r 为半径, h 为高)
R O

?r h

( r 为半径, h 为高)

?

1 3

Sh

( S 为底面积, h 为高)
? 6 3 a
S , 底? 3 4 a
2

h (1) ①内切球: 当四面体为正四面体时, 设边长为 a,

S , 侧?

3 4

a

2





3 4

a ?
2

6 3

a ?

3 4

a ?R ?
2

1 3
?

?
1 3

3 4

a ?R ? R ?
2

2 4

a/

4 3

3 ?

2 4

a?

3 ?

6 4

a.

注:球内切于四面体: V B ? ACD

?S 侧 ? R ? 3 ?

1 3

S 底 ?R ? S 底 ?h



②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式. 6. 空间向量. (1)a.共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行 或重合. (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在 .... ... 一个唯一的有序实数组 x、y、z,使 p
? xa ? yb ? zc

.

推论: O、A、 设 B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、
B

y、z 使

OP ? x OA ? y OB ? z OC

(这里隐含 x+y+z≠1).
O

注:设四面体 ABCD 的三条棱, AB 中 Q 是△BCD 的重心,则向量 AQ
? 1 3

? b , AC ? c , AD ? d ,


A

D

(a ? b ? c)

用 AQ

? AM ? MQ

即证.
??? ? ????

C

对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 O P ? xO A ? y O B ? z O C , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 (3) 空间向量的坐标: 空间直角坐标系的 x 轴是横轴 (对应为横坐标) y 轴是纵轴 , (对 应为纵轴) z 轴是竖轴(对应为竖坐标). , ①令 a =(a1,a2,a3), b
? ( b1 , b 2 , b 3 )

??? ?

??? ?

,则 ,a ?b 。
?a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3

a ? b ? ( a 1 ? b 1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b 3 ) , ? a ? ( ? a 1 , ? a 2 , ? a 3 )( ? ? R )



a

∥b

? a 1 ? ? b 1 ,a 2 ? ? b 2 ,a 3 ? ? b 3 (? ? R ) ?

a1 b1

?

a2 b2

?

a3 b3

a ? b ? a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0 。

a ?

a ?a ?

a

2
1

?a

2
2

?a

2
3

(用到常用的向量模与向量之间的转化:

a

2

? a ?a ? a ?

a ?a

)
? ? a ?b ? ? ? | a |?|b | a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3 ?
2 2 2

? ? 空间两个向量的夹角公式 cos ? a , b ??

b1 ? b 2 ? b 3

2

2

2

(a= ( a1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b3 ) ) 。 ②空间两点的距离公式: d 7.知识网络
? ( x 2 ? x1 )
2

? ( y 2 ? y1 )

2

? ( z 2 ? z1 )

2

.

二、

经典例题剖析
??? ? ? ? 2 ???? 1 ??? 2 ??? OA ? OB ? OC , 5 5 5

考点一 空间向量及其运算 例题 1. 已知 A , B , C 三点不共线, 对平面外任一点, 满足条件 O P ? 试判断:点 P 与 A , B , C 是否一定共面? 分析:要判断点 P 与 A , B , C 是否一定共面,即是要判断是否存在有序实数对 x , y ,使
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? A P ? x A B ? y A C或对空间任一点 O ,有 O P ? O A ? x A B ? y A C 。

解:由题意: 5 O P ? O A ? 2 O B ? 2 O C , ∴ (O P ? O A ) ? 2 (O B ? O P ) ? 2 (O C ? O P ) , ∴ A P ? 2 P B ? 2 P C ,即 P A ? ? 2 P B ? 2 P C , 所以,点 P 与 A , B , C 共面. 点评: 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候, 首先要选择恰当的 充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算. 例题 2. 如图,已知矩形 A B C D 和矩形 A D E F 所在平面互相垂直,点 M , N 分别在对角
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

线 B D , A E 上,且 B M ?
????

1 3

BD , AN ?

1 3

A E .求证: M N // 平面 C D E .

分析:要证明 M N // 平面 C D E ,只要证明向量 N M 可以用平面 C D E 内的两个不共线的向 量 D E 和 D C 线性表示. 证明:如图,因为 M 在 B D 上,且 B M ?
???? 1 ???? MB ? DB 3 ???? ??? ? 又CD ? BA
B D ,所以 3 ? ? ???? 1 ???? 1 ???? 1 ??? 1 ??? ? D A ? A B .同理 A N ? A D ? D E , 3 3 3 3 ??? ? ???? ? ???? ??? ???? ? ? ? A B ,所以 M N ? M B ? B A ? A N 1

???? ?

????

???? ? ? ??? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ???? 1 ???? 2 ??? 1 ???? 2 ???? 1 ???? D A ? A B ) ? B A ? ( A D ? D E ) ? B A ? D E ? C D ? D E .又 C D 与 3 3 3 3 3 3 3 3 ???? ???? ???? ? ???? D E 不共线, 根据共面向量定理, 可知 M N ,C D ,D E 共面. 由于 M N 不在平面 C D E 内,所以 M N // 平面 C D E .
?(

点评:空间任意的两向量都是共面的. 考点二 证明空间线面平行与垂直 例题 3. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II) 求证:AC 1//平面 CDB1; 分析: (1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或 逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直; (2)证明线 面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行. 解法一: (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1,∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; C 解法二:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3, BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C 两两垂直,如图,以 C 为坐标原点,直线 CA、CB、C1C 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(3,0, 0) 1(0,0,4) ,C ,B(0,4,0) 1(0,4,4) ,B ,D( 2,0)
3 2
1 1

z B E C A

A
1

B

y



x

(1)∵ AC =(-3,0,0) BC 1 =(0,-4,0) , ,∴ AC ? BC 1 =0,∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交战为 E,则 E(0,2,2).∵ DE =(- 4) ,∴ DE ?
1 2 AC 1 ,∴DE∥AC1.

3 2

,0,2) AC 1 =(-3,0, ,

点评:平行问题的转化:
转化 转化

面面平行

线面平行

线线平行;

主要依据是有关定义及判定定理和性质定理.? 例 题 4. ( 北 京 市 东 城 区 2007 年 综 合 练 习 ) 如 图 , 在 棱 长 为 2 的 正 方 体
ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1中 , O 为 BD 1的中点 , M 为 BC 的中点 , N 为 AB

的中点,P 为 BB1 的中点. (I)求证: BD 1 ? B 1 C ; (II)求证 BD 1 ? 平面 MNP ; (III)求异面直线 B 1 O 与 C 1 M 所成角的大小. 分析: 本小题考查直线与平面垂直, 二面角等基础知识, 考查空间想象能力和推理论证能力. 解法一: (I)连结 BC1 由正方体的性质得 BC1 是 BD1 在 平面 BCC1B1 内的射影
且 B 1 C ? BC 1 ,

所以 BD 1 ? B 1 C (II)又 MN ? PM ? M ,
? BD 1 ? 平面 MNP .

(III)延长 CB 到 Q , 使 BQ ? BM , 连结 B 1 Q , OQ
则 QM // C 1 B 1 , 且 QM ? C 1 B 1 . ? B 1 Q // C 1 M .

? ? OB 1 Q 是异面直线

B 1 O 与 C 1 M 所成的角 .

由于正方体的棱长为 2,

则 B1O ?

3 , B1Q ?

B1 B

2

? BQ

2

?

5,

设底面 ABCD 的中点为 O 1 , 可求得 OQ ? cos OB 1 Q ? OO 1 ? O 1 Q
2 2 2 2

?

6.
2

( 3) ? ( 5) ? ( 6) 2? 3? 5

?

15 15
15 15

即异面直线 B 1 O 与 C 1 M 所成角的大小为 arccos 解法二: (I)如图建立空间直角坐标系. 则 B(2,2,0) ,C(0,2,0) B1(2,2,2) 1(0,0,2). ,D
BD 1 ? ( ? 2 , ? 2 , 2 ), B 1 D ? ( ? 2 , 0 , ? 2 ),

.

??????3 分
BD 1 ? B 1 C ? 4 ? 0 ? 4 ? 0 . BD 1 ? B 1 C

? BD 1 ? B 1 C

(II) M (1, 2 , 0 ), P ( 2 , 2 ,1), N ( 2 ,1, 0 ) ,
MP ? (1, 0 ,1), MN ? (1, ? 1, 0 ), ? BD 1 ? MP ? ? 2 ? 0 ? 2 ? 0 , BD 1 ? MN ? ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 ,
? BD 1 ? MN , BD 1 ? MP . 又 MN ? PM ? M ,

? BD 1 ? 平面 MNP .

(III) O (1,1,1), C 1 ( 0 , 2 , 2 ), 设异面直线

B 1 O 与 C 1 M 所成的角为

? ,

则 B 1 O ? ( ? 1, ? 1, ? 1), C 1 M ? (1, 0 , ? 2 ). B 1 O ? C 1 M ? ? 1 ? 1 ? ( ? 1 ) ? 0 ? ( ? 1) ? ( ? 2 ) ? 1 .
? cos ? ? | B1O ? C 1 M | | B1O | ? | C 1 M | ? 1 3? 5 ? 15 5

.

即异面直线 B 1 O 与 C 1 M 所成角的大小为 arccso

15 5

.

点评:证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可.这些从本题证法中都能 十分明显地体现出来 考点三 求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方法求值,注意“作、证、 算”的有机统一.解题时注意各种角的范围:异面直线所成角的范围是 0°<θ≤90°,其方 法是平移法和补形法;直线与平面所成角的范围是 0°≤θ≤90°,其解法是作垂线、找射 影;二面角 0°≤θ≤180°,其方法是:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法 另 也可借助空间向量求这三种角的大小. 例题 5. (河南省开封市 2007 届高三年级第三次质量检测)在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,
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AA1=1,AD=DC= 3 . (1)求直线 A1C 与 D1C1 所成角的正切值; (2)在线段 A1C 上有一点 Q,且 C1Q= 角的大小.
1 3

C1A1,求平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面

分析:求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法 小也可应用面积射影法,向量法办
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求二面角的大

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解法一: (I)? C 1 D 1 // CD ,
? ? A1 CD 为异面直线 A 1 C 与 D1C 1 所成的角

连 A 1 D,在 Rt△A 1 DC 中,CD= 3 ,A 1 D=2,
? tan ? A1 CD ? 2 3 3 .

(II)过 Q 作 EF(在平面 A 1 C 1 内)使 EF//A 1 B 1 ,
? EF // CD

连 B1C、CF、DF, (面 EFCD 即平面 QDC;面 A1B1CD 即平面 A1DC)
? DC ? 面 BCC 1 B 1 , ? DC ? B 1 C , DC ? CF ,
? C 1Q ? 1 3

? ? B 1 CF 即为二面角 A1—DC—Q 的平面角.

C 1 A1 , ? C 1 QF ~ ? A1 QE ,?

C1F A1 E

?

C 1Q QA 1
2

?

1 2

.

? C1 F ?

3 3

, B1 F ?

2 3 3

.又 B1C ? 2, C F ? C B1 ? C F ? B1 F
2 2

C C1 ? C1F ? 3 2 ,

2

?

2 3 3

,

在 ? B1C F 中 , co s ? B1C F ?

2 C B1 ? C F

? ? B 1 CF ? 30 ,即所求二面角大小为 30°

?

解法二: (I)同解法一(I) (II)建立空间直角坐标系,
则 D ( 0 , 0 , 0 ), C ( 0 , 3 , 0 ), A1 ( 3 , 0 ,1), C 1 ( 0 , 3 ,1). ? C 1Q ? 1 3 C 1 A1 , ? Q ( 3 2 3 , ,1), 3 3

设平面 A1 CD , 平面 QCD 的一个法向量分别为
n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ), n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ? n ? DC ? 0 , ? y1 ? 0, ? 1 由? ? ? ? n 1 ? DA 1 ? 0 ? 3 x1 ? z 1 ? 0 ? 令 x 1 ? 1,? z 1 ? ? 3 . ? n 1 ? (1, 0 , ? 3 ). ? y 2 ? 0, ? n ? DC ? 0 , ? 2 ? 由? ? ? 3 x2 ? z 2 ? 0. ? n 2 ? DQ ? 0 ? ? ? 3 令 x 2 ? 1,? z 2 ? ?
3 3

3 3

.

? n 2 ? (1, 0 , ?

)

? cos ? n 1 , n 2 ??

n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

?

1?1 2? 2 3

?

3 2

,

?? n 1 , n 2 ??

?
6

.

即平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面角为

?
6
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点评:本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强 移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角,是常用的方法.

特级教师 王新敞
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用平

例题 6. (福建省福州三中 2008 届高三第三次月考)如图,正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的所有 棱长都是 2 , D 是棱 A C 的中点, E 是棱 C C 1 的中点, A E 交 A1 D 于点 H .
B1 B

(1)求证: A E ? 平 面 A1 B D ; (2)求二面角 D ? B A1 ? A 的大小(用反三角函数表示) ; (3)求点 B1 到平面 A1 B D 的距离。
A1 C1 E H A D C

分析:本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求解角度和距离,在求此类问题 中, 要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决, 此外用向量也是 一种比较好的方法. 解答: (1)证明:建立如图所示,
AE ? ( ? 2 , ? 1, 0 ) BD ? ( 0 , 0 , ? 3 ) A1 D ? ( ? 1, 2 , 0 )

∵ AE ? A1 D ? 2 ? 2 ? 0
AE ? BD ? 0 ? 0 ? 0 ( ? 3 ) ? 0

∴ AE ? A1 D , AE ? BD 即 AE⊥A1D, AE⊥BD ∴AE⊥面 A1BD

(2)设面 DA1B 的法向量为 n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) 由 n 1 ? A1 D ? 0 n 1 ? BD ? 0 ? ?
? z1 (? 3 ) ? 0 ? ? x1 ? ? 2 y 1 ? 0

∴取 n1 ? (2,1, 0)

??

设面 AA1B 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ),则由 n 2 ? A1 B ? 0 , n 2 ? A1 A ? 0
?? x2 ? 2 y 2 ? ? ? ?2 y 2 ? 0 3z2 ? 0 ? 取 n 2 ? (3,0 , 3)

? n 1 , n 2 ??

6 5 ? 12

?

15 5

由图可知二面角 D—BA1—A 为锐角, ∴它的大小为 arcos
15 5

(3) B 1 B ? ( 0 , 2 , 0 ) ,平面 A1BD 的法向量取 n 1 ? ( 2 ,1, 0 ) 则 B1 到平面 A1BD 的距离 d= |
B 1 B ?n 1 | n1 | |? 2 5 ? 2 5 5

点评:立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算,这 是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于 三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法, 不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来.

考点四 探索性问题 例题 7. (2007 安徽·文) 如图,在三棱锥 V ? A B C 中,V C ⊥ 底 面 A B C , A C ⊥ B C , D 是 A B 的中点,且 A C ? B C ? a ,∠ V D C ? ? ? 0 ? ? ?
? ? π? ?. 2?



(I)求证:平面 V A B ⊥ 平面 V C D ; (II)试确定角 ? 的值,使得直线 B C 与平面 V A B 所成的角为
π 6


. A

解法 1: (Ⅰ)∵ A C ? B C ? a ,∴ △ A C B 是等腰三角形,又 D 是 A B 的中点, ∴ C D ? A B ,又 V C ? 底面 A B C .∴ V C ? A B .于是 A B ? 平面 V C D . 又 A B ? 平面 V A B ,∴ 平面 V A B ? 平面 V C D . (Ⅱ) 过点 C 在平面 V C D 内作 C H ? V D 于 H ,则由(Ⅰ)知 C D ? 平面 V A B . 连接 B H ,于是 ? C B H 就是直线 B C 与平面 V A B 所成的角. 依题意 ? C B H ?
π 6





,所以
2 2

在 R t△ C H D 中, C H ?

a sin ? ;

在 R t△ B H C 中, C H ? a sin
2 2

π 6

?

a 2



∴ sin ? ?


π 4
π 6

∵0?? ?

π 2

,∴ ? ?

. .

故当 ? ?

π 4

时,直线 B C 与平面 V A B 所成的角为

解法 2: (Ⅰ)以 CA,CB ,CV 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间
?a a ? ? ? ? ? a tan ? ? , ? 2 ? 2

0 0 0 0 0 0 0 直角坐标系,则 C (0,, ), A ( a,, ), B (0, a, ), D ? , , ? , V ? 0,, ? ?2 2 ??? ? ?a a

? 于是, V D ? ? , , ? ?2 2
??? ???? ?

???? ? a a ? ??? ? ? a tan ? ? , C D ? ? , , ? , A B ? ( ? a, a, ) . 0 0 ? 2 ?2 2 ? ?

2

· 0) 0 从而 A B C D ? ( ? a, a, · ? , , ? ? ? ?2 2 ?

?a a

?

1 2

a ?
2

1 2

a ? 0 ? 0 ,即 A B ? C D .
2

· 0) ? 同理 A B V D ? ( ? a, a, · ? , ,

??? ??? ? ?

?a a ?2 2 ?

? 1 2 1 2 a tan ? ? ? ? a ? a ? 0 ? 0 , ? 2 2 2 ? 2

即 A B ? V D .又 C D ? V D ? D ,∴ A B ? 平面 V C D . 又 A B ? 平面 V A B .

∴ 平面 V A B ? 平面 V C D .

(Ⅱ)设平面 V A B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
??? ? · · 则由 n A B ? 0, n V D ? 0 .
? ? a x ? a y ? 0, ? 得? a a 2 a z tan ? ? 0 . ? x? y? ?2 2 2

z V

??? ? 1, 可取 n ? (1, 2 cot ? ) ,又 B C ? (0, a, ) , ? 0
???? n BC · 于是 sin ? ???? ? 6 n· B C a · π

C B D A x y

a 2 ? 2 co t ?
2

?

2 2

sin ? ,

即 sin ? ? 故交 ? =
π 4

2 2

∵0?? ?

π 2

,∴ ? =

π 4


π 6

时,直线 B C 与平面 V A B 所成的角为



解法 3: (Ⅰ)以点 D 为原点,以 D C, D B 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴,建立如图所示
? ? ? ? ? ? 2 a, ? , B ? 0, 0 a, ? , C 0 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 2 a,, ? , 0 0 ?? ? ? 2 ? ?

0 0 ? 的 空间 直角 坐标 系,则 D (0,, ), A ? 0,

? 2 2 V ?? a,, 0 a tan ? ? 2 2 ?

???? ? ? 2 2 a,, 0 a tan ? ? ,于是 D V ? ? ? ? ? 2 2 ? ?

???? ? ? ? 2 a,, ? , 0 0 ? , DC ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

??? ? A B ? (0, 2 a, ) . 0
??? ???? ?

· 0 从而 A B D C ? (0, 2 a, )· ? ?

? ? ?

? a,, ? ? 0 ,即 A B ? D C . 0 0 ? 2 ? 2 2 2 a,, 0 ? a tan ? ? ? 0 ,即 A B ? D V . ? 2 ? 2

· 0 同理 A B D V ? (0, 2 a, ) ? ? ? ?

??? ???? ?

?

又 D C ? D V ? D ,∴ A B ? 平面 V C D . 又 A B ? 平面 V A B , ∴ 平面 V A B ? 平面 V C D . (Ⅱ)设平面 V A B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

? 2 a y ? 0, ??? ? ???? ? · · 则由 n A B ? 0, n D V ? 0 ,得 ? 2 2 ax ? a z ta n ? ? 0 . ?? ? 2 2
???? ? ? 2 2 a, ? a, ? , 0 0 1) 可取 n ? (tan ? ,, ,又 B C ? ? ? ? ? 2 2 ? ?

V

2 ???? a tan ? n BC · 2 2 ? sin ? , 于是 sin ? ???? ? 2 6 2 n· B C a 1 ? tan ? · π

C B D A x

y

即 sin ? ? 故交 ? ?
π 4

π 2

, 0?? ? ∵

π 2

, ? = ∴

π 4



时,
π 6

即直线 B C 与平面 V A B 所成角为 考点五 折叠、展开问题



例题 8. (2006 年辽宁高考) 已知正方形 A B C D

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C E 、F 分别是 A B 、 D 的中点,将 ? A D E
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沿 D E 折起,如图所示,记二面角 A ? D E ? C 的大小为 ? (0 ? ? ? ? ) (I) 证明 B F // 平面 ADE ; (II)若 ? A C D 为正三角形,试判断 点 A 在平面 B C D E 内的射影 G 是否 在直线 E F 上,证明你的结论,并求角
? 的余弦值
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分析:充分发挥空间想像能力,抓住不变的位置和数量关系,借助模型图形得出结论,并给 出证明. 解析: (I)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,
? EB//FD,且 EB=FD, ? 四边形 EBFD 为平行四边形 ? BF//ED.
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? E F ? 平 面 A E D , 而 B F ? 平 面 A E D ,? B F // 平面 ADE

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(II)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE, 垂足为 G,连结 GC,GD
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? ? ACD 为正三角形,? AC=AD. ? CG=GD. ? G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,

过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 A H ? D E ,所以 ? A H D 为二面角 A-DE-C 的平 面角
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即 ?AHG ? ? .

设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中,AF= 3 a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF 为直角三角形, A G ? E F ? A E ? A F .
? AG ? 3 2 a 在 Rt ? ADE 中, A H ? D E ? A E ? A D ? A H ?

2 5

a.

? GH ?

a 2 5

, co s ? ?

GH AH

?

1
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4

点评:在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中,一般来说,位于同一平面内的几何元 素相对位置和数量关系不变:位于两个不同平面内的元素,位置和数量关系要发生变化,翻 折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。 考点六 球体与多面体的组合问题 例题 9.设棱锥 M—ABCD 的底面是正方形,且 MA=MD,MA⊥AB,如果Δ AMD 的面积 为 1,试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 分析:关键是找出球心所在的三角形,求出内切圆半径. 解: ∵AB⊥AD,AB⊥MA, ∴AB⊥平面 MAD, 由此,面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点,从而 ME⊥AD. ∴ME⊥平面 AC,ME⊥EF. 设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球. 不妨设 O∈平面 MEF,于是 O 是Δ MEF 的内心. 设球 O 的半径为 r,则 r= 设 AD=EF=a,∵SΔ AMD=1. ∴ME=
2 a

2 S △ MEF EF ? EM ? MF

.MF= a ? ( ) ,
2 2

2

a

r=
a? 2 a ?

2 a ?( ) a
2


2
2

2 2?2 2

= 2 -1。

当且仅当 a=

2 a

,即 a= 2 时,等号成立.

∴当 AD=ME= 2 时,满足条件的球最大半径为 2 -1. 点评:涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空 间问题化归为平面问题, 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。 注意多边形内切 圆半径与面积和周长间的关系;多面体内切球半径与体积和表面积间的关系。 三、

方法总结

1.位置关系: (1)两条异面直线相互垂直 证明方法:○证明两条异面直线所成角为 90?;○证明两条异面直线的方向量相互垂 1 2 直。 (2)直线和平面相互平行 证明方法:1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;2 证明这条直线的方向量和 ○ ○ 这个平面内的一个向量相互平行;○证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。 3 (3)直线和平面垂直 证明方法:1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直,2 证明直线的方向量与这个平面 ○ ○ 内不共线的两个向量都垂直;○证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 3 (4)平面和平面相互垂直 证明方法:○证明这两个平面所成二面角的平面角为 90?;○证明一个平面内的一条直 1 2 线垂直于另外一个平面;○证明两个平面的法向量相互垂直。 3 2.求距离: 求距离的重点在点到平面的距离, 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 (1)两条异面直线的距离

求法:利用公式 d ?

| AB · | n
(其中 A、B 分别为两条异面直线上的一点, n 为这两

|n|

条异面直线的法向量) (2)点到平面的距离 求法:○“一找二证三求” 1 ,三步都必须要清楚地写出来。○等体积法。○向量法,利 2 3

用公式 d ?

| AB · | n
(其中 A 为已知点,B 为这个平面内的任意一点, n 这个平面的法向

|n|
量) 3.求角 (1)两条异面直线所成的角 求法:○先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然 1 后通过解三角形去求得;2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得, 但是注意到异面直 ○ 线所成角得范围是 ( 0 , 相应的锐角。 (2)直线和平面所成的角 求法:○“一找二证三求” 1 ,三步都必须要清楚地写出来。○向量法,先求直线的方向 2 量于平面的法向量所成的角α ,那么所要求的角为 (3)平面与平面所成的角 求法:○“一找二证三求” 1 ,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这 个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。 ○ 通过射影面积来求 2
cos ? ? S 射影 S原
?
2 ? ? 或? ?

?
2

] ,向量所成的角范围是 [ 0 , ? ] ,如果求出的是钝角,要注意转化成

?
2



(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面的

射影,那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cosα ,注意到我们要求的角为 α 或π -α ) ○向量法,先求两个平面的法向量所成的角为α ,那么这两个平面所成的二 ;3 面角的平面角为α 或π -α 。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候, 注意到向量知识的应用, 如果可以比较容 易建立坐标系,找出各点的坐标,那么剩下的问题基本上就可以解决了,如果建立坐标系不 好做的话,有时求距离、角的时候也可以用向量,运用向量不是很方便的时候,就用传统的

方法了! 4.解题注意点 (1)我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题,但是当运用向量不是很方便的 时候,传统的解法我们也要能够运用自如。 (2)我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候,做到“一找二证三求” ,解题的过 程中一定要出现这样一句话, “∠α 是我们所要求的角” 、 “线段 AB 的长度就是我们所要求的 距离”等等。让人看起来一目了然。 (3)用向量来求两条异面直线所成角时,若求出 cosα =x,则这两条异面直线所成的 角为α =arccos|x| (4)在求直线与平面所成的角的时候,法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直 线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余,所以要 锐角,就用
?
2 ? ? ,若求出的钝角,就用 ? ?

?
2

? ? 或? ?

?
2

,若求出的角为

?
2



(5)求平面与平面所成角的时,若用第○、○种方法,先要去判断这个二面角的平面 2 3 角是钝角还是锐角,然后再根据我们所作出的判断去取舍。

四、

强化训练

(一) 选择题 1.空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一条直线上,那么经过其中三个点的平面 A.可能有 3 个,也可能有 2 个 C.可能有 3 个,也可能有 1 个 2.下列命题中正确的个数是( B.可能有 4 个,也可能有 3 个 D.可能有 4 个,也可能有 1 个 )

①三角形是平面图形 ②四边形是平面图形 ③四边相等的四边形是平面图形 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ④矩形一定是平面图形 D.4 个 ( )

3.设 a、b 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b , a ? ? , 则 b // ? ②若 a // ? , ? ? ? , 则 a ? ?

③ a ? ? , ? ? ? , 则 a // ?

④ 若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则 ? ? ?

其中正确的命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个





4.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底

面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为 A.90° C.45° B.60° D.30° ( )

5.设有如下三个命题:甲:相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内;乙:直 线 l 、m 中至少有一条与平面β 相交;丙:平面α 与平面β 相交. 当甲成立时, A.乙是丙的充分而不必要条件 C.乙是丙的充分且必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
?
3

6.若 a,b,l 是两两异面的直线,a 与 b 所成的角是 则 ? 的取值范围是
?
6
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,l 与 a、l 与 b 所成的角都是 ? ,


? ?
, 3 2



A.[

,

5? 6

]

B.[

]

C.[

?
3

,

5? 6

]

D.[

? ?
, 6 2

]

7 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是( )
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A 8
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8
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3

B

3
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8

C

4
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3

D

3
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4

在直二面角 α—l—β 中,直线 a ? α,直线 b ? β,a、b 与 l 斜交,则( ) A a 不和 b 垂直,但可能 a∥b B a 可能和 b 垂直,也可能 a∥b C a 不和 b 垂直,a 也不和 b 平行 D a 不和 b 平行,但可能 a⊥b 9 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( )
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A

?
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B

?
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C

?
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D

?
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6

4

3

2

10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 AB C1D1 的距离为 (B) A、
1 2

D1 O A1 D A
A1
A1 A1

C1 B1 C
A1

B、

2 4

C、

2 2

D、

3 2

11.△ABC 的顶点 B 在平面 a 内,A、C 在 a 的同一侧,AB、 BC 与 a 所成的角分别是 30°和 45°,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5, 则 AC 与 a 所成的角为 (A)60° (B)45° (C)30° (D)15°

B
A1

12.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则 四面体 ABCD 的外接球的体积为 A.
125 12
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?


125 6

?

B.

125 9

C.

?

D.

125 3

?

(二)填空题 13 设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z ? X∥Y” 为真命题的是_________(填序号) ①X、Y、Z 是直线;②X、Y 是直线,Z 是平面;③Z 是直线,X、Y 是平面;④X、Y、 Z 是平面. 14 已知∠AOB=90° O 点引∠AOB 所在平面的斜线 OC,与 OA、OB 分别成 45° ,过 、60° , 则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于______ 15.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面 角的度数为_________ 16.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为_________ O (一) 解答题 17. 已知 ? A B C D ,从平面 A C 外一点 O 引向量
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???? ??? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? ? ???? O E ? k O A, O F ? K O B , O G ? k O C , O H ? k O D ,

D

C

A

B

(1)求证:四点 E , F , G , H 共面; (2)平面 A C // 平面 E G .
E

H
F

G

P

18. 如图, P ? A B C D 是正四棱锥, A B C D ? A1 B1C 1 D 1 是正方 体,其中 A B ? 2, P A ? (Ⅰ)求证: P A ? B1 D 1 ; D (Ⅱ)求平面 P A D 与平面 B D D 1 B1 所成的锐二面角 ? 的大 小; A
1 1

D A B

C

6 .

C B
1

第 18 题 图

1

1 1 4 4
1

(Ⅲ)求 B1 到平面 P A D 的距离. 19. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线 EF ? 平面 PCD? 20. (安徽省合肥市 2007 年高三第三次教学质量检测) 已知,在如图所示的几何体 ABCED 中,EC⊥面 ABC,DB⊥面 ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M 为 AD 的中点。 (1)证明:EM⊥AB; (2)求直线 BM 和平面 ADE 所成角的大小。

21. (山东省济宁市 2006—2007 学年度高三年级第一次摸底考 试)如图,四面体 C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90°.E、F 分别是 BC、AC 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥BD; (Ⅱ)如何在 AC 上找一点 M,使 BF∥平面 MED?并说明理由; (Ⅲ)若 CA = CB,求证:点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点.

22. (广东省惠州市 2008 届高三第二次调研)正方体 A B C D -A 1 B 1 C 1 D 1 , A A 1 = 2 ,E 为
D1

棱 C C 1 的中点. (Ⅰ) 求证: B 1 D 1 ? A E ; (Ⅱ) 求证: A C // 平面 B1 D E ; (Ⅲ)求三棱锥 A -B D E 的体积.
A1

C1

B1

E

D
A B

C

强化训练题答案

1. 【答案】D 解析: 分类,第一类,四点共面,则有一个平面,第二类,四点不共面,因 为没有任何三点共线,则任何三点都确定一个平面,共有 4 个。.

2.【答案】B 解析:命题①是正确的,因为三角形的三个顶点不共线,所以这三点确定
平面。

命题②是错误,因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动,就形成了空间四 边形。命题③也是错误,它是上一个命题中比较特殊的四边形。 命题④是正确的,因为矩形必须是平行四边形,有一组对边平行,则确定了一个平面。 3. 【答案】B 解析:注意①中 b 可能在α 上;③中 a 可能在α 上;④中 b//α ,或 b ? ? 均有
? ? ? ,

故只有一个正确命题

4. 【答案】B 解析: 平移 SC 到 S ?B ,运用余弦定理可算得 BE ? S ?E ? S ?B ?

2.

5. 【答案】C 解析:当甲成立,即“相交直线 l 、m 都在平面α 内,并且都不在平面β 内” 时,若“ l 、m 中至少有一条与平面β 相交” ,则“平面α 与平面β 相交. ”成立;若“平面 α 与平面β 相交” ,则“ l 、m 中至少有一条与平面β 相交”也成立. 6. 【答案】D 解析: 当 l 与异面直线 a,b 所成角的平分线平行或重合时,a 取得最小值 当 l 与 a、b 的公垂线平行时,a 取得最大值
?
2

?
6





7 【答案】 C 解析 设 A1C1∩B1D1=O1, 1D1⊥A1O1, 1D1⊥AA1, 1D1⊥平面 AA1O1, ∵B B ∴B 故平面 AA1O1⊥AB1D1,交线为 AO1,在面 AA1O1 内过 A1 作 A1H⊥AO1 于 H,则易知 A1H 长
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即是点 A1 到平面 AB1D1 的距离, Rt△A1O1A 中, 1O1= 2 , 1=3 2 , A1O1· 1A=h· 1, 在 A AO 由 A AO 可得 A1H=
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4 3


a
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? A
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8 【答案】C 解析 如图,在 l 上任取一点 P,过 P 分别在 α、 a' β 内作 a′∥a,b′∥b,在 a′上任取一点 A, A 作 AC⊥l, 过 垂足为 C, C P 则 AC⊥β,过 C 作 CB⊥b′交 b′于 B,连 AB,由三垂线定理知 AB⊥ ? b b' B b′, ∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角 9 【答案】 D 解析 (特殊位置法)将 P 点取为 A1,作 OE⊥AD 于 E,连结 A1E,则 A1E 为 OA1 的射影,又 AM⊥A1E,∴AM⊥OA1,即 AM 与 OP 成 90°角 答案 D
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10. 【答案】B

解析:取 B1C1 的中点 M,连 B1C 交 BC1 于 O ? ,取 O ? C1 的中点 N,连 MN, 则 O 到 平 面

则 MN ? BC 1 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 OM 平行于平面 ABC1D1.
2 4

ABC1D1 距离转化为 M 到平面 ABC1D1 的距离,即 MN=

,故选 B C A E B F D

11. 【答案】C 解析:如图,AE⊥平面 α 于 E,CD⊥平面 α 于 D,EF∥AC,EF 交 CD 于 F,则∠ABE=300,∠CBD=450,由此得

CD=4,AE=1.5,∴EF=2.5,而 EF=AC=5 ∴∠FED=300,即 AC 与平面 α 所成的角为 300,∴选(C)

12. 【答案】C

解析:连接矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O,则 AO=BO=CO=DO,
5 2

则 O 为四面体 ABCD 的外接球的圆心,因此四面体 ABCD 的外接球的半径为 为 ?( ) ?
3

,体积

4 3

5

125 6

? .选 C.
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2

13 【答案】 ②③ 解析 ①是假命题, 直线 X、 Z 位于正方体的三条共点棱时为反例, Y、 ②③是真命题,④是假命题,平面 X、Y、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例
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【答案】-

3 3

解析

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在 OC 上取一点 C,使 OC=1,过 C 分别作 CA⊥OC 交 OA

于 A,CB⊥OC 交 OB 于 B,则 AC=1, ,OA= 2 ,BC= 3 ,OB=2,Rt△AOB 中,AB2=6, △ABC 中,由余弦定理,得 cosACB=- 15 【答案】 60°
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3
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答案

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3 3

3
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解析

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设一个侧面面积为 S1,底面面积为 S,则这个侧面在底面上射
1

S S 1 3 ? ? ? ,设侧面与底面所成二面角为θ ,则 cosθ = 影的面积为 ,由题设得 , S1 3S1 2 3 S 3

S

S1

2

∴θ =60° 16
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答案
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60° a 解析
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【答案】

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以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面
2 2

体,取 P、Q 分别为 AB、CD 的中点,因为 AQ=BQ=

a,∴PQ⊥AB,

同理可得 PQ⊥CD,故线段 PQ 的长为 P、Q 两点间的最短距离,在 Rt△APQ 中, PQ= AQ 2 ? AP
2

?

(

3 2

a) ? (
2

a 2

)

2

?

2 2

a.答案

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2 2

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a
??? ? ????

17.解: (1)∵四边形 A B C D 是平行四边形,∴ A C ? A B ? A D , ∵ EG ? OG ? OE ,
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? O C ? k ? O A ? k (O C ? O A ) ? k A C ? k ( A B ? A D ) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? k (O B ? O A ? O D ? O A ) ? O F ? O E ? O H ? O E ??? ???? ? ? EF ? EH

????

????

????

??? ?

∴ E , F , G , H 共面; (2)∵ E F ? O F ? O E ? k ( O B ? O A ) ? k ? A B ,又∵ E G ? k ? A C , ∴ E F // A B , E G // A C 所以,平面 A C // 平面 E G .
??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

????

????

18.解:(Ⅰ) 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO⊥面 ABCD , 又∵ A C ? B D , ∴ P A ? B D , ∵ B D // B1 D 1 , ∴ P A ? B1 D 1 . (Ⅱ) ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面 PBD , 过点 O 作 OM⊥PD 于点 M, 连结 AM , 则 AM⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角 A-PD-O 的平面角, 又∵ A B ? 2, P A ?
PO ?OD PD

6 , ∴AO=
2? 6 2 2 3

2 ,PO= 6 ? 2 ? 2

OM ?

?

?

, ∴ tan ? A M O ?

AO OM

?

2 2 3

?

6 2

,

即二面角的大小为 arctan

6 2


1 3 1 3

(Ⅲ) 用 体 积 法 求 解 : V B ? P A D ? V A ? B P D
1 1

?

h x ?S P A D ?

A O ?S B P D
1

即 有

1

1 1 1 6 5 h x ? ?2 ? 5 ? ? 2 ? ?( S ? B D B ? S ? P B D ? S ? P B B ) 解得 h x ? , 1 1 3 2 3 2 5

即 B1 到平面 PAD 的距离为

6 5 5

19.证: (1)取 CD 中点 G,连结 EG、FG ∵E、F 分别是 AB、PC 的中点,∴EG//AD,FG//PD, ∴平面 EFG//平面 PAD, ∴ EF//平面 PAD. (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45?角时,直线 EF?平面 PCD. 证明: ∵G 为 CD 中点, EG?CD, 则 ∵PA?底面 ABCD∴AD 是 PD 在平面 ABCD

内的射影。

∵CD?平面 ABCD,且 CD?AD,故 CD?PD

.又∵FG∥PD∴

FG?CD,故?EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角,即?EGF=45?,从而得 ?ADP=45?, AD=AP.由 Rt?PAE?Rt?CBE,得 PE=CE.又 F 是 PC 的中点,∴EF?PC. 由 CD?EG,CD?FG,得 CD?平面 EFG,∴CD?EF,即 EF?CD, 故 EF?平面 PCD. 20.解法一: (1)如图,以 C 为原点,CA、CB、CE 所在的射线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 不妨设 BD=1,则 E(0,0,2) ,A(2,0,0) ,D(0,2,1) ,B(0,2,0) 由 M 是 AD 的中点,得 M (1,1, )
2 EM ? (1,1, ? 3 2 ), AB ? ( ? 2 , 2 , 0 ) 1

EM ? AB ? 0 得 EM ? AB

(2) AD ? ( ? 2 , 2 ,1), AE ? ( ? 2 , 0 , 2 ) 设面 ADE 的法向量 n=(x,y,z) 由 AD ? n ? 0 , AE ? n ? 0 , 易求平面 ADE 的一个法向量为 又 BM ? (1, ? 1, ) ? cos ? n , BM ??
2 1 4 9 4 9

n ? (1,

1 2

,1)

∴直线 BM 和平面 ADE 所成角为

?
2

? arccos



解法二: (1)如图,过 M 作 MN⊥AB,由 DB⊥面 ABC??2 分
? ,面 ABD ? 面 ABC ,得 MN ? 面 ABC ? MN // BD // CE ,

∵M 是 AD 中点,N 是 AB 中点,CA=CB, ∴CN⊥AB 由三垂线定理,得 EM⊥AB (2)设 CB 和 ED 延长线交于 F,不妨设 BD=1 易求 BF ? 2 , AB ? 2 2 , AD ? 3 , BM
4 5 3 5
? 3 2 ; DF ? 5 , AF ? 2 5

cos ? DFA ?

, sin ? DFA ?

, 得 S ? ADF ? 3
2 3

设 B 到面 AEF 的距离为 h,由 V D ? ABF ? V B ? ADF , 得 h ? 设直线 BM 和平面 ADE 所成角为 ? , sin ? ?
? ? arcsin
4 9 h BM ? 4 9



21.解: (Ⅰ)取 BD 的中点 O,连接 AO,CO,在△BCD 中, ∵BC = DC,∴CO⊥BD,同理 AO⊥BD 而 AO∩CO = O,∴BD⊥平面 AOC, 又 AC ? 平面 AOC,∴AC⊥BD. (Ⅱ)取 FC 的中点 M,连接 EM,DM, ∵E 是 BC 的中点,∴BF∥EM, ∵ EM ? 平面 MED,∴BF∥平面 MED, ∴FC 的中点 M 即为所求. (Ⅲ)∵△ABD 是等腰直角三角形,∠BAD = 90°, ∴AO = BO = DO;∵CA = CB = CD,CO 是公共边, ∴△COA≌△COB≌△COD; ∴∠COA=90°,即 CO⊥AO, 又 CO⊥BD,AO∩BD = O,∴CO⊥平面 ABD

即点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点 。 22.解析:主要考察立体几何中的位置关系、体积. (Ⅰ)证明:连结 B D ,则 B D // B1 D 1 , ∵ A B C D 是正方形,∴ A C ? B D .∵ C E ? 面 A B C D ,∴ C E ? B D . 又 A C ? C E ? C ,∴ B D ? 面 A C E . ∵ A E ? 面 A C E ,∴ B D ? A E , ∴ B1 D 1 ? A E . (Ⅱ)证明:作 B B1 的中点 F,连结 A F 、 C F 、 E F . ∵ E 、 F 是 CC 1、 B B1 的中点,∴ C E
B1 F ,

∴四边形 B1 F C E 是平行四边形,∴ C F // B1 E . ∵ E , F 是 CC 1、 B B1 的中点,∴ E F // B C , 又 B C // A D ,∴ E F // A D . ∴四边形 A D E F 是平行四边形,? A F // E D , ∵ A F ? C F ? C , B1 E ? E D ? E , ∴平面 A C F // 面 B1 D E . 又 A C ? 平面 A C F ,∴ A C // 面 B1 D E . (3) S ? A B D ?
1 2 1 3 S ?ABD ? C E ? 1 3 S ?ABD ? C E ? 2 3 AB ? AD ? 2 .

V A? BDE ? V E ? ABD ?



(四)创新试题 1.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 c 到平面 AB1D 的距离. 创新试题解析答案 2 1.解法一(I)证明: , 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 4 ∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = AB, , ∴四边形 A1ABB1 是正方形, 6 ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C.

∵DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1 ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=
3 4 .

在△ABE 中, FG ?

3 4

? BE ?

3 2 8 DF FG



在 Rt△DFG 中, tan FGD ?

?

6 3



所以,二面角 B—AB1—D 的大小为 arctan

6 3

.

(III)解:∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 B1BCC1,又 AD ? 平面 AB1D,∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离. 由△CDH∽△B1DB,得 CH ?
BB 1 ? CD B1 D ? 5 5 .

即点 C 到平面 AB1D 的距离是

5 5

.

解法二: 建立空间直角坐标系 D—xyz,如图, (I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. 设 A1A = AB = 1, 则 D ( 0 , 0 , 0 ), A1 ( 0 ,
3 2 ,1), E ( ? 1 4 , 3 1 1 , ), C ( , 0 , 0 ). 4 2 2 1 4 3 1 , ), 4 2

? A1 C ? (

1 2

,?

3 2

, ? 1), DE ? ( ?

,

? A1 C ? ? 2 DE ,? A1 C // DE .
? DE ? 平面 AB 1 D , A1 C ? 平面 AB 1 D ,

? A1 C // 平面 AB 1 D .
3 2 1 2 3 2 1 2

(II)解:? A ( 0 ,

, 0 ), B 1 ( ?

, 0 ,1) , ? AD ? ( 0 ,

, 0 ), B 1 D ? (

, 0 , ? 1) ,

设 n 1 ? ( p , q , r ) 是平面 AB1D 的法向量,则 n 1 ? AD ? 0 , 且 n 1 ? B 1 D ? 0 , 故?
3 2 q ? 0, 1 2 p ? r ? 0 .取 r ? 1, 得 n 1 ? ( 2 , 0 ,1) ;

同理,可求得平面 AB1B 的法向量是 n 2 ? ( 3 , ? 1, 0 ). 设二面角 B—AB1—D 的大小为θ ,? cos ? ?
n1 ? n 2 | n 1 || n 2 | ? 15 5



∴二面角 B—AB1—D 的大小为 arccos

15 5

.

(III)解由(II)得平面 AB1D 的法向量为 n 1 ? ( 2 , 0 ,1) , 取其单位法向量 n ? (
2 5 1 5
5 5

,0 ,

), 又 DC ? (

1 2

, 0 , 0 ).

∴点 C 到平面 AB1D 的距离 d ? | DC ? n |?

.

五、

复习建议

1.位置关系的判断,根据概念、性质和定理进行判断,认定是正确的,要能证明;认定上 不正确的,只需举反例.注意作图辅助说明. 2.证明空间线面平行与垂直,是必考题型,解题时要由已知想性质,由求证想判定,即分 析法与综合法相结合寻找证明思路. 3.空间图形中的角与距离,先根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等 方法求值,注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范 围是 0°<θ ≤90°,其方法是平移法和补形法;直线与平面所成角的范围是 0°≤θ ≤ 90°,其解法是作垂线、找射影;二面角 0°≤θ ≤180°,其方法是:①定义法;②三垂 线定理及其逆定理;③垂面法 另也可借助空间向量求这三种角的大小. 4.与几何体的侧面积和体积有关的计算问题,根据基本概念和公式来计算,要重视方程的 思想和割补法、等积转换法的运用 5.平面图形的翻折与空间图形的展开问题,要对照翻折(或展开)前后两个图形,分清哪 些元素的位置(或数量)关系改变了,哪些没有改变.
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