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三角函数复习题目4.1—4.7



三角函数总复习 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数 题型一:求与已知角终边相同的角 例 1 已知角 α=45° , (1)在区间[-720° ]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β; ,0° k ? ? +45° ,k∈Z?, (2)设集合 M=?x|x=2×180° ? ? k ? ? +45° ,k∈Z?,那么两集合的关系是什么? N=?x|x=4×180° ? ? 变式题 1:(1)如果 α 是第三象限的角,那么-α,2α 的终边落在何处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (3)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角. 7 3 题型二:三角函数的定义 3 例 2 已知角 α 的终边经过点 P(x,- 2) (x≠0),且 cos α= x, 6 1 求 sin α+ 的值. tan α 变式题 2:已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值. 题型三:三角函数值的符号及判定 例 3 (1)如果点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角 θ 所在的象限. sin?cos θ? (2)若 θ 是第二象限角,试判断 的符号是什么? cos?sin 2θ? 变式题 3: 已知 sin 2θ<0,且|cos θ|=-cos θ,则点 P(tan θ,cos θ)在第几象限? 题型四:扇形的弧长、面积公式的应用 例 4 已知一扇形的圆心角为 α (α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积; (2)若扇形的周长是一定值 C (C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 数形结合具体体现三角函数线的应用 (14 分)(1)求函数 y=lg(3-4sin2x)的定义域; θ θ θ (2)设 θ 是第二象限角,试比较 sin ,cos ,tan 的大小. 2 2 2 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 题型一:同角三角函数的基本关系式的应用 1 例 1 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α 变式题 1 (1)已知 tan α=2,求 sin2α+sin αcos α-2cos2α; (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α. 题型二:三角函数的诱导公式的应用 π 5π 3 例 2 (1)已知 cos?6+α?= ,求 cos? 6 -α?的值; ? ? 3 ? ? 7 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· ?α-2π? tan? ? 5 的值. 变式题 2: 3π tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (1)化简: ; cos?-α-3π?sin?-3π-α?

sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? 31π (2)已知 f(x)= ,求 f?- 3 ?的值 ? ? π ? cos?-2+x? ? 题型三:三角函数式的化简与证明 1 1 1 例 3 求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ?1+tan θ?= ? ? sin θ+cos θ. 变式题 3: 证明下列恒等式: 1+2sin?360° +x?cos?360° +x? 1+tan x (1) 2 = ; cos ?360° +x?-sin2?360° +x? 1-tan x tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? (2) =-tan α. cos?α-π?sin?5π-α? 分类讨论思想和整体、化归思 想在三角函数式化简中的应用 4n-1 4n+1 ? (14 分)(1)化简:sin? π-α?+cos? ? 4 ? ? 4 π-α? (n∈Z); sin?nπ-α?cos[?n-1?π-α] (2)化简: (n∈Z). sin[?n+1?π+α]cos?nπ+α? 4.3 三角函数的图象与性质 题型一: 与三角函数有关的函数定义域问题 例 1 求下列函数的定义域: (1)y=lgsin(cos x);(2)y= sin x-cos x. 变式题 1 lg?2sin x-1?+ -tan x-1 (1)求函数 y= 的定义域; ?x+π? cos?2 8? (2)求函数 y= 2 ? log 1 x + tan x的定义域.
2

题型二: 三角函数的单调性与周期性 例 2 写出下列函数的单调区间及周期: π (1)y=sin?-2x+3?;(2)y=|tan x|. ? ? 变式题 2 π π (1)求函数 y=sin?3+4x?+cos?4x-6?的周期、单调区间及最大、最小值; ? ? ? ? π (2)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+6?-1. ? ? ①求 f(x)的最小正周期; π π ②求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? 题型三:三角函数的对称性与奇偶性 例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤π?的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. 2? ? 4π (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为________. ? ? 变式题 3 5π (1)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是 x= , 则函数 g(x)=asin x+cos x 的最 3 大值是________. 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用

π π (14 分)已知函数 f(x)=2asin?2x-3?+b 的定义域为?0,2?,函数的最大值为 1,最小值为-5,求 ? ? ? ? a 和 b 的值. 4.4 函数 y=Asin(ω x+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 题型一:作 y=Asin(ωx+φ)的图 π 例 1 已知函数 y=2sin?2x+3?, ? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π (3)说明 y=2sin?2x+3?的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. ? ? π π 3 变式题 1:设函数 f(x)=cos(ωx+φ) (ω>0,- <φ<0)的最小正周期为 π,且 f?4?= . ? ? 2 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象(给定区间上的函数图像) ; 2 (3)若 f(x)> ,求 x 的取值范围. 2 题型二:求函数 y=Asin(ω x+φ)的解析式 例 2 已知曲线 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)上的一个最高点的 π 3 π π 坐标为?2, 2?,由此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点?2π,0?,若 φ∈?-2,2?. ? ? ? ? ? ? (1)试求这条曲线的函数解析式; (2)写出函数的单调区间. 变式训练 2:(1)(2011· 江苏)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的 部分图象如图所示,则 f(0)的值是______. π (2)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ), 2 π y=f(x)的部分图象如图所示,则 f( )=________. 24

题型三:三角函数模型的应用 例 3 如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线 2π 段 FBC,该曲线段是函数 y=Asin ?ωx+ 3 ? (A>0,ω>0),x∈[-4,0]时的图象,且图象 ? ?

的最高点为 B(-1,2).赛道的中间部分为长 3千 米的直线跑道 CD,且 CD∥EF,赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 . (1)求 ω 的值和∠DOE 的大小; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路 EF 上, 一个顶点在半径 OD 上, 另外一个顶点 P 在圆弧 上, 且∠POE=θ, 求当“矩形草坪” 的面积取最大值时 θ 的值.

变式题 3:如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部 分为 曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx (A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高 点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120° . (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2) 应 如 何 设 计 , 才 能 使 折 线 段 赛 道 MNP 最 长 ?

题型四:用方程思想求三角函数图象的解析式 (14 分)如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个 6

单位后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程. 课堂热点精讲 例 1:已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos2 x ?
5 3 2

(1)求 f(x)的单调增区间 (2)求 f(x)图象的对称中心; ? (3)求 f(x)在 [0, ] 上的最大值和最小值 . 2 (4)在给定的坐标系中作出函数 f(x)在[0, π] 上的图象 . ? 例 2. 如何由 y=sin x 的图象得到 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图象? 4 【例 3】 已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位: 时)的函数, 记作: =f(t), y 下表是某日各时的浪高数据:

t(时) y(米)

0 1.5

3 1.0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1.0

18 0.5

21 0.99

24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosω t+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acosω t+b(ω >0)的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达 式. (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断 一天内的 8∶00 至 20∶00 之间,有多少时间可供冲浪者进行运动? 例 4.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动 一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动θ 角到 OB,设 B 点与地面距离是 h. (1)求 h 与θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求缆车第 一次到达最高点时用的时间.

【例 5】已知函数 f(x)=Asinωx+Bcosωx(其中 A、B、ω 是实常数,且 ω>0)的最小正周期为 2, 1 且当 x= 时,f(x)取得最大值 2. 3 (1)求函数 f(x)的表达式; 21 23 (2)在闭区间[ , ]上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在, 4 4 说明理由. π π (1)求函数 y=sin?3+4x?+cos?4x-6?的周期、单调区间及最大、最小值; ? ? ? ? π (2)(2011· 北京)已知函数 f(x)=4cos xsin?x+6?-1. ? ? ①求 f(x)的最小正周期; π π ②求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? 例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ) ?|φ|≤π?的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. 2? ? 4π (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为________. ? ? 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切 题型一:利用和、差角公式求值 例 1 求下列各式的值: (1)tan 20° +tan 40° 3tan 20° 40° + tan ; 3 1 2 (2) 2 - 2 +64sin 20° . sin 20° cos 20° 变式题 1 (1)化简: ? 1 -tan α? α ? 2?·1+tan α· tan ?; ?tan α 2? ? 2 ? ? (2)求值:[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° 2sin280° )]· . 题型二:三角函数的给角求值与给值求角问题 β α π 1 2 (1)已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= , ? ? ? ? 3 2 9 求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7 变式题 2: (2011· 广东)已知函数 f(x)= 1 π? 2sin?3x-6?,x∈R. ? 5π (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π π 10 6 (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? 13 5 题型三:三角变换的简单应用 例2

1 π π 例 3 已知 f(x)=?1+tan x?sin2x-2sin?x+4?sin?x-4?. ? ? ? ? ? ? (1)若 tan α=2,求 f(α)的值; π π (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围 ? ? 变式题 3 (2010· 天津)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1(x∈R). π (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间[0, ]上的最大值和最 2 小值; 6 π π (2)若 f(x0)= ,x0∈[ , ],求 cos 2x0 的值. 5 4 2 构造辅助角逆用和角公式解题 π (14 分)已知函数 f(x)=2cos xcos?x-6?- 3sin2x+sin xcos x. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 α∈[0,π]时,若 f(α)=1,求 α 的值 4.6 二倍角的三角函数 题型一:三角函数式的化简求值 3π 1 10 例 1 已知 <α<π,tan α+ =- ,求 4 tan α 3 α α α α 5sin2 +8sin cos +11cos2 -8 2 2 2 2 的值 π? 2sin?α-2? ? 变式题 1 化简: ? 1 -tan ?tan α 2 ?

α? α ? 2?·1+tan α· tan ?. 2? ?

?

题型二: 三角函数式的求值 π 3 12 例 2 已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈?2,π?, ? ? 5 13 π ? β∈?-2,0?,求 sin α 的值. ? 变式题 2 4 3 已知 cos(α+β)+cos(α-β)= ,sin(α+β)+sin(α-β)= , 5 5 α 2cos2 -3sin α-1 2 (1)求 tan α;(2) . π 2sin?α+4? ? ? 用三角变换研究三角函数的性质 π π π (14 分)已知 f(x)=2sin?x-3?· ?x-3?+2 3cos2?x-3?- 3. cos? ? ? ? ? ? (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时相应的 x 的值; π (2)若函数 y=f(2x)-a 在区间?0,4?上恰有两个零点 x1,x2,求 tan(x1+x2)的值. ? ?



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