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第二章基本初等函数、导数及其应用第4课时



第二章

基本初等函数、导数及其应用

第4课时

函数的奇偶性与周期性

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第二章

基本初等函数、导数及其应用

1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)=f(x) ,那么函 偶函数 个x,都有______________ 数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一 f(-x)=-f(x) ,那么函 奇函数 个x,都有______________ 数f(x)是奇函数 图象特点 关于 y轴 对 _____ 称 关于 原点 对 ______ 称
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基本初等函数、导数及其应用

温馨提示:(1)所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个 函数一定不具有奇偶性.例如,y= x2 当定义域为区间(-∞, +∞ )时是偶函数,但当定义域为区间[- 1, 2]时却不具有奇 偶性. (2)f(0)= 0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.例如, 1 f(x)= 为奇函数,但 f(0)无意义;又如 f(x)= 2x- 1 满足 f(0) x = 0,但不是奇函数.但奇函数 f(x)在 x= 0 处有意义,必有 f(0)= 0.

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基本初等函数、导数及其应用

2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T, f(x) ,那么 使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=______ 就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
最小 的正数,那么这个______ 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期. ______ 温馨提示:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的 周期.

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基本初等函数、导数及其应用

1. (2014· 广东惠州市调研)下列函数是偶函数的是 ( A. y= sin x B. y= x3 C. y= ex D. y= ln x2 + 1

)

解析:选 D. y=sin x 为奇函数, y= x3 为奇函数, y=e x 是非 奇非偶函数, y= ln x + 1为偶函数.
2

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基本初等函数、导数及其应用

1 2. (教材改编题 )函数 f(x)= - x 的图象关于 ( x A. y 轴对称 C.坐标原点对称 B.直线 y=-x 对称 D.直线 y= x 对称

)

1 解析:选 C.f(x)= - x 是奇函数,所以图象关于原点对称. x

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基本初等函数、导数及其应用

3. (2013· 高考山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时, 2 1 f(x) = x + ,则 f(- 1)= ( ) x A.- 2 B. 0 C. 1 D. 2
2

1 解析:选 A.当 x>0 时,f(x)= x + , x 1 ∴ f(1)= 1 + = 2. 1
2

∵ f(x)为奇函数,∴ f(- 1)=-f(1)=- 2.
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基本初等函数、导数及其应用

4.(2013· 高考大纲全国卷)设f(x)是以2为周期的函数,且当

-1 x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则f(-1)=________.
解析:由于f(x)的周期为2,且当x∈[1,3)时,f(x)=x-2,

所以f(-1)=f(-1+2)=f(1)=1-2=-1.

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基本初等函数、导数及其应用

5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a
1 +b的值是________ . 3
解析:∵ f(x)= ax + bx 是定义在[a- 1, 2a]上的偶函数, 1 ∴ a- 1+ 2a= 0,∴ a= . 又 f(- x)=f(x), 3 1 ∴ b= 0,∴ a+ b= . 3
2

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基本初等函数、导数及其应用

判定函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)= x - ; x
3

(2)f(x)= x2 - 1+ 1- x2;

? (3)f(x)=?0( x= 0) . ? ?- x2- 2( x< 0)
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?x + 2( x> 0)

2

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基本初等函数、导数及其应用

[解]

(1)原函数的定义域为 { x|x≠ 0} ,关于原点对称,

并且对于定义域内的任意一个 x 都有 1 3 1 f(- x)= (- x) - =- (x - )=-f(x), -x x
3

从而函数 f(x)为奇函数. (2)f(x)的定义域为{- 1, 1},关于原点对称. 又 f(- 1)=f(1)= 0,f(- 1)=- f(1)= 0, ∴ f(x)既是奇函数又是偶函数.

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基本初等函数、导数及其应用

(3)f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 当 x>0 时, f(- x)=- (- x) - 2=- (x + 2)=-f(x); 当 x<0 时, f(- x)= (- x) + 2=- (- x - 2)=-f(x); 当 x=0 时, f(0)= 0,也满足 f(- x)=- f(x). 故该函数为奇函数.
2 2 2 2

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基本初等函数、导数及其应用

(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:

(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,

应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判
断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图象作判断.
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基本初等函数、导数及其应用

1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 3- 2x+ 2x- 3; 4- x (2)f(x)= ; |x+ 3|- 3
2 ? ?x + x, x> 0, (3)f(x)=? 2 ? ?x - x, x< 0; 2

(4)f(x)= x - |x- a|+ 2.
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2

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基本初等函数、导数及其应用

?3 ? 解: (1)∵函数 f(x)= 3- 2x+ 2x- 3的定义域为? ?,不关 ?2 ?

于坐标原点对称, ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
2 ? 4 - x ≥ 0, ? (2)由? 得- 2≤ x≤2 且 x≠ 0, ?|x+ 3|- 3≠ 0 ?

∴ f(x)的定义域为 [- 2, 0)∪ (0, 2],关于原点对称. 4- x2 4- x2 ∴ f(x)= = . x ( x+ 3)- 3 ∴ f(x)=- f(- x),∴ f(x)是奇函数.

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基本初等函数、导数及其应用

(3)易知函数的定义域为 (-∞, 0)∪ (0, +∞), 关于原点对称, 又当 x>0 时, f(x)= x2+ x,则当 x<0 时,- x> 0,故 f(- x)= x - x=f(x); 当 x<0 时, f(x)= x2- x,则当 x>0 时,- x< 0,故 f(- x)= x + x= f(x),故原函数是偶函数. (4)函数 f(x)的定义域为 R. 当 a=0 时, f(- x)= f(x),∴f(x)是偶函数. 当 a≠0 时, f(a)= a2+ 2, f(- a)= a2- 2|a|+ 2, f(a)≠ f(- a),且 f(a)+f(- a)= 2(a - |a|+ 2) 2 1 7 ? ? = 2?|a|- ? + ≠ 0, 2 2 ∴ f(x)是非奇非偶函数.
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2

2

2

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基本初等函数、导数及其应用

函数奇偶性的应用 (1)(2013· 高考湖南卷)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( A.4 C.2 B.3 D.1 ) )

(2)(2014· 江西省七校联考)定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时, f(x)=2x,则满足f(1-2x)<f(3)的x的取值范围是( A.(-1,2) B.(-2,1)

C.[-1,2] D.(-2,1]

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基本初等函数、导数及其应用

[解析] (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1). 又g(x)是偶函数, ∴g(-1)=g(1). ∵f(-1)+g(1)=2,∴g(1)-f(1)=2.① 又f(1)+g(-1)=4,∴f(1)+g(1)=4.② 由①②,得g(1)=3. (2)依题意得,函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(x)=f(|x|), 不等式f(1-2x)<f(3)?f(|1-2x|)<f(3)?|1-2x|<3?-3<1 -2x<3?-1<x<2,故选A.

[答案] (1)B

(2)A
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基本初等函数、导数及其应用

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法:
(1)求函数值. 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式. 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求 出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式.

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基本初等函数、导数及其应用

(3)求函数解析式中参数的值.
利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数 的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得 出参数的值. (4)画函数图象和判断单调性.

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上
的单调性.

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基本初等函数、导数及其应用

( x+ 2)( x+ k) 2.(2014· 广东湛江调研 )设函数 f(x)= 为奇 tan x

-2 . 函数,则 k= ________
解析:∵ f(x)为奇函数,∴f(- x)=-f(x), ( x+ 2)( x+ k) (- x+ 2)(- x+ k) ∴ =- , tan x tan(- x) ∴ (x+ 2)(x+ k)= (2- x)(k- x), 即 x2+ 2x+ kx+ 2k= 2k- kx- 2x+ x2,∴ k=- 2.
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基本初等函数、导数及其应用

函数周期性的应用
(2012· 高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)= f(x).当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时, f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=( A.335 C.1 678 B.338 D.2 012 )

[解析] 由f(x+6)=f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(-

3)=f(3)=-1,f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=
f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个周期内有f(1)+f(2)+ …+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2

012)=f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338.
[答案] B
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基本初等函数、导数及其应用

判断函数周期性的三个常用结论: 若对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x 都有: (1)f(x+ a)=-f(x)(a≠ 0), 则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它 的一个周期; 1 (2)f(x+ a)= (a≠ 0),则函数 f(x)必为周期函数, 2|a|是 f( x) 它的一个周期; 1 (3)f(x+ a)=- (a≠ 0),则函数 f(x)必为周期函数, 2|a| f( x) 是它的一个周期.
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基本初等函数、导数及其应用

3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+ 2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.

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基本初等函数、导数及其应用

解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

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基本初等函数、导数及其应用

对函数f(x)=[x]的再理解 (2013· 高考湖北卷)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数, 则函数f(x)=x-[x]在R上为( A.奇函数 C.增函数 B.偶函数 D.周期函数 )

[解析] 当x∈[0,1)时,画出函数图象(图略),再左右扩展知

f(x)为周期函数.
[答案] D
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基本初等函数、导数及其应用

本考题源于教材人教A版必修1 P25习题B组T3,“函数f(x)=
[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如:[-3.5]=-4, [2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出 函数的图象”的变式.

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基本初等函数、导数及其应用

1. (2013· 高考陕西卷)设 [x]表示不大于 x 的最大整数, 则对 任意实数 x,有 ( ) 1 A. [- x]=-[x] B. [x+ ]= [x] 2 1 C. [2x]= 2[x] D. [x]+[x+ ]= [2x] 2 解析:选 D.选项 A,取 x= 1.5,则 [- x]= [- 1.5]=- 2,-

[x]=- [1.5]=- 1,显然[- x]≠- [x]. 1 选项 B,取 x= 1.5,则 [x+ ]=[2]= 2≠ [1.5]= 1. 2 选项 C,取 x= 1.5,则 [2x]= [3]= 3, 2[x]= 2[1.5]= 2,显然 [2x]≠ 2[x].
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基本初等函数、导数及其应用

2. (2014· 陕西榆林六校高三适应性训练 )设函数 f(x)= ? ?x- [x], x≥ 0 ? ,其中 [x]表示不超过 x 的最大整数,如 [- ?f( x+ 1), x<0 ? 1.5]=- 2, [1.5]= 1,若直线 y= k(x+ 1)(k>0)与函数 y= f(x) 的图象有三个不同的交点,则 k 的取值范围是 ( ) 1 1 1 A. ( , ] B. (0, ] 4 3 4 1 1 C. [ , ] 4 3 1 1 D. [ , ) 4 3

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基本初等函数、导数及其应用

? ?x- [x], x≥ 0 解析:选 D.依题意作出函数 f(x)=? 与直线 y ? ?f( x+ 1), x<0

1 1 = (x+ 1)、 y= (x+ 1)的部分图象,如图所示.从图象中我 3 4 1 1 们可以看出当 k= 时,函数 f(x)与直线 y= (x+ 1)的图象有 4 4 1 1 三个交点,当 k= 时,函数 f(x)与直线 y= (x+ 1)的图象有 3 3 1 1 两个交点,所以当 ≤ k< 时,直线 y= k(x+ 1)与函数 y= f(x) 4 3 的图象恰有三个交点.
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