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高考理科数学第一轮复习测试题25



A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.(2012· 东莞调研)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增 长 10.4%,专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x)的图象大致 为 ( ).

解析 设原有荒漠化土地面积为 b,由题意可得 y= b(1+10.4%)x. 答案 D 2.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如 图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( ).

A.10 元

B.20 元

C.30 元

40 D. 3 元

解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 S=k1t+20, B 种方式对应的函数解析式为 S=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=5,t=150 时,150k2-150k1-20= 1 150×5-20=10. 答案 A

3.(2011· 广州二测)如图为某质点在 4 秒钟内做直线运动时,速度函数 v=v(t)的 图象,则该质点运动的总路程 s=( ).

A.10 cm C.12 cm

B.11 cm D.13 cm

1 解析 ∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积, ∴s=2×(1+3)×2+2×3 1 +2×1×2=11(cm).

答案 B 4.(2010· 广东深圳)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分 析每辆客车营运的总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N*)为二次函数关系 (如下图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大( ).

A.3

B.4

C.5

D.6

解析 由题图可得营运总利润 y=-(x-6)2+11, 则营运的年平均利润 y 25 =- x - x x +12, y ∵x∈N*,∴x≤-2 25 x·x +12=2,

25 当且仅当 x= x ,即 x=5 时取“=”. ∴x=5 时营运的平均利润最大. 答案 C

5.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超 过 4 000 元的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4 000 元的按全部稿酬的 11% 纳税.已知某人出版一本书,共纳税 420 元,则这个人应得稿费(扣税前)为 ( A.2 800 元 C.3 800 元 解析 B.3 000 元 D.3 818 元 ).

设扣税前应得稿费为 x 元,则应纳税额为分段函数,由题意,得 y =

?0≤x≤800?, ?0 ??x-800?×14% ?800<x≤4 000?, ?11%· x ?x>4 000?. 如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元,现知某人共纳税 420 元,所以稿费应在 800~4 000 元之间,∴(x-800)×14%=420,∴x=3 800. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知这种商 品每涨价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了赚得最大利润,每个售价应定为 ________元. 解析 设每个售价定为 x 元, 则利润 y=(x-80)· [400-(x-90)· 20]=-20[(x-95)2 -225] ∴当 x=95 时 y 最大. 答案 95 7.现有含盐 7%的食盐水为 200 g,需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上 且在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐水,设需要加入 4%的食盐水 x g,则 x 的取 值范围是__________. 解析 根据已知条件:设 y= 200×7%+x4% ,令 5%<y<6%,即(200+x)5%< 200+x

200×7%+x· 4%<(200+x)6%,解得 100<x<400. 答案 (100,400) 8.(2012· 绍兴模拟)2008 年我国人口总数为 14 亿,如果人口的自然年增长率控 制在 1.25%, 则________年我国人口将超过 20 亿. (lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,

lg 7≈0.845 1) 解析 由已知条件:14(1+1.25%)x-2008>20, 1-lg 7 x-2 008> 81= =28.7 4 lg3-3 lg2-1 lg80 则 x>2 036.7,即 x=2 037. 答案 2 037 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利 用的旧墙需维修), 其他三面围墙要新建, 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元 /m.设利用的旧墙长度为 x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位: 元) 10 lg 7

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解 (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,则 y=45x+180(x-2)+180· 2a=225x +360a-360, 360 由已知 xa=360,得 a= x . 3602 所以 y=225x+ x -360(x>0).

3602 (2)∵x>0,∴225x+ x ≥2

225×3602=10 800.

3602 ∴y=225x+ x -360≥10 440. 3602 当且仅当 225x= x 时,等号成立. 即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10 440 元.

10.(12 分)(2012· 天津模拟)某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预 测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图①所示,B 产品的利润与投资的算 术平方根成正比,其关系如图②所示(注:利润与投资单位:万元).

(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关 系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,怎样分配 这 10 万元资金,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到 1 万元)? 解 (1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x(k1· k2≠0), 1 1 由题图知 f(1)=4,∴k1=4. 5 又 g(4)=2, 5 ∴k2=4. 1 5 从而 f(x)=4x(x≥0),g(x)=4 x(x≥0). 所以利润与投资的函数关系式为 1 A 种产品 f(x)=4x(x≥0), 5 B 种产品 g(x)=4 x(x≥0). (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入(10-x)万元,设企业利润为 y 万元,则 x 5 y=f(x)+g(10-x)=4+4 10-x, ∴0≤x≤10,令 10-x=t, 则 0≤t≤ 10, 则 y= 10-t2 5 1? 5?2 65 ? t- ? + t =- 4 4 4? 2? +16(0≤t≤ 10),

5 65 25 当 t=2时,ymax=16≈4,此时 x=10- 4 =3.75. ∴当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约为 4 万元.

B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.(2011· 湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含 量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其 t 含量 M(单位:太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M02-30,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10ln 2(太 贝克/年),则 M(60)=( A.5 太贝克 C.150ln 2 太贝克 解析 由题意 M′(t)=M02- t ? 1? ?- ?ln 2, 30? 30? ). B.75ln 2 太贝克 D.150 太贝克

? 1? M′(30)=M02-1×?-30?ln 2=-10ln 2, ? ? ∴M0=600,∴M(60)=600×2-2=150. 答案 D 2.(2011· 广东汕头)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消 耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截 取的矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为( ).

A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 解析 由三角形相似得 24-y x = , 24-8 20

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

5 得 x=4(24-y), 5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180, ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.碳 14 的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳 14 的 “半衰期”是 5730 年,即碳 14 大约每经过 5730 年就衰变为原来的一半.科学 研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳 14.动植物在生长过程中衰变的 碳 14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物每克组织中的 碳 14 含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中 原有的碳 14 就按其确定的规律衰变.经探测,一块鱼化石中碳 14 的残留量约为 原始含量的 46.5%. 设这群鱼是距探测时 t 年前死亡的,则 t 满足的等式为________,将 t 用自然对 数的运算式子可以表示为________(只写出运算式子不需要计算出结果,式子中 可以出现自然对数、实数之间的四则运算). 解析 .

答案 4.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按 起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超 过 8 km 时, 超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元. 现 某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________ km. 解析 由已知条件

?8,0<x≤3 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8 ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8
由 y=22.6 解得 x=9. 答案 9 三、解答题(共 22 分)

5.(10 分)(2011· 湖南)如图,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向做 匀速移动,速度为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单 位时间内的淋雨量包括两部分:①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量, 1 1 假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为10;②其他面的淋雨量之和,其值为2. 3 记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离 d=100,面积 S=2时,

(1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨 量 y 最少. 解 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 3 1 20|v-c|+2, 1? 5 100? 3 故 y= v ?20|v-c|+2?=v(3|v-c|+10). ? ? (2)由(1)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15; v 5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15. v 5?3c+10? ? ? v -15,0<v≤c, 故 y=? 5?10-3c? ? ? v +15,c<v≤10. 10 ①当 0<c≤ 3 时,y 是关于 v 的减函数, 3c 故当 v=10 时,ymin=20- 2 . 10 ②当 3 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于 v 的

50 增函数.故当 v=c 时,ymin= c . 6.(12 分)(2012· 聊城调研)某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场.如 图,运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成.跑 道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设草皮.已知塑胶 跑道每平方米造价为 150 元,草皮每平方米造价为 30 元.

(1)设半圆的半径 OA=r(米),设建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r); (2)由于条件限制 r∈[30,40],问当 r 取何值时,运动场造价最低?最低造价为多 少?(精确到元) 解 (1)塑胶跑道面积 10 000-πr2 S=π[r2-(r-8)2]+8× ×2 2r 80 000 = r +8πr-64π. ∵πr2<10 000,∴0<r< 100 . π

(2)设运动场的造价为 y 元, ?80 000 ? y=150×? r +8πr-64π? ? ? 80 000 ? ? +30×?10 000- r -8πr+64π? ? ? ?80 000 ? =300 000+120×? r +8πr?-7 680π. ? ? 令 f(r)= 80 000 r +8πr, 80 000 r2 ,

∵f′(r)=8π-

当 r∈[30,40]时,f′(r)<0, ?80 000 ? ∴函数 y=300 000+120×? r +8πr?-7 680π ? ? 在[30,40]上为减函数.

∴当 r=40 时,ymin≈636 510, 即运动场的造价最低为 636 510 元.



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