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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.3 圆与圆的方程课件 理 北师大版



9.3

圆与圆的方程

-2-

考纲要求:掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.

-3-

1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆.确定一个 圆最基本的要素是圆心和半径. 2.圆的标准方程 (1)(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),表示以(a,b)为圆心,r为半径长的圆的标 准方程. (2)特别地,以原点为圆心,r为半径长的圆的标准方程为x2+y2=r2.

-4-

3.圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, (1)当 D2+E2-4F>0 时,表示圆心为 - ,1 2 2 2

,半径长为

2 + 2 -4 的圆; (2)当 D2+E2-4F=0 时,表示一个点 - , 2 2

;

(3)当 D2+E2-4F<0 时,它不表示任何图形; (4)二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条 = 0, 件是 = ≠ 0, 2 + 2 -4 > 0.

-51 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一 条. ( × ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个 圆. ( × ) 2 2 2 (3)方程x +y +ax+2ay+2a +a-1=0表示圆心为 - ,- ,半径为 2 1 -32 -4 + 4 的圆. ( × ) 2 (4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(xx2)+(y-y1)(y-y2)=0. ( ) (5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是 B=0,D2+E2-4F>0. ( )

-61 2 3 4 5

2.(2015北京,文2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2

)

关闭

由题意可得圆的半径为 r= 2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
关闭

D
解析 答案

-71 2 3 4 5

3.点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对 称,则该圆的半径为( )
A.2 2 B. 2 C.3 D.1

关闭

圆的方程可化为 +
2 2

+(y+1) =5+ .
4 2

2

2

∵点 M,N 关于直线 x-y+1=0 对称 ,

∴圆心 - 2 ,-1 在直线 x-y+1=0 上 ,则 k=4,∴5+ 4 =9, C 该圆的半径为 3.故选 C. ∴
解析

关闭

答案

-81 2 3 4 5

4.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程 为 .
关闭

设圆心坐标为 C(a,0), ∵点 A(-1,1)和 B(1,3)在圆 C 上 , ∴|CA|=|CB|, 即 ( + 1)2 + 1 = (-1)2 + 9,

解得 a=2,∴圆心为 C(2,0), 半径|CA|= (2 + 1)2 + 1 = 10, 2 2 ( x2) +y =10 ∴圆 C 的方程为 (x-2)2+y2=10.
解析
关闭

答案

-91 2 3 4 5

5.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端 点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程 为 .

关闭

设 C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得 (x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0) 2,即 x2+y 2=2. 考虑到 A,B,C 三点要构成三角形,因此点 C 不能为 (1,1)和(-1,-1). 2 x2+y2=2( (1,1)和(-1, 1)) 所以点 C除去点 的轨迹方程为 x2+y =2(除去点 (1,1)和(-1,-1)).
解析

关闭

答案

-101 2 3 4 5

自测点评 1.求圆的标准方程,一定要抓住圆的圆心和半径两个核心要素. 2.配方法在圆的一般方程化为标准方程时起关键作用,因此要熟 练掌握. 3.求轨迹方程时,一定要结合已知条件进行检验,以防漏解或增解.

-11考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1求圆的方程 例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0 上,则圆C的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2
答案:B

解析:(1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列 方程即可.设圆心坐标为(a,-a),则
| -(- )| 2 2 2

=

| -(- )-4| 2

,即|a|=|a-2|,解得

a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径 r=

= 2,

故圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这 4 两条平行线之间的距离 d= =2 2 ;圆心是直线x+y=0被这两条平 2 行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0), 与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所 求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2. (方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项 C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径 2 即可.

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)经过点P(-2,4),Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆 的方程为 .

关闭

设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 2-4- = 20, ① 将 P,Q 两点的坐标分别代入得 3- + = -10. ② 又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程 ③的两根 , 由 |x1-x2|=6 有 D2-4F=36,④ 由 ①,②,④解得 D=-2,E=-4,F=-8,或 D=-6,E=-8,F=0. 2 2 x2+y2-2x- 4y-8=0 或 x x2 +y2 -2 6xx-4 8yy= 故所求圆的方程为 +y 80 =0 或 x2+y2- 6x-8y=0.
解析

关闭

答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求圆的方程有哪些常见方法? 解题心得:1.求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程. 2.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性 质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质: ①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上; ③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出 圆的方程,用待定系数法求解.

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1), 则圆C的方程为 .
答案: (x-3)2+y2=2

解析 :(1)(方法一)由已知 kAB=0, 所以 AB 的中垂线方程为 x=3.① 过 B 点且垂直于直线 x-y-1=0 的直线方程为 y-1=-(x-2), 即 x+y-3=0,② = 3, 联立 ①②,解得 所以圆心坐标为(3,0), = 0, 半径 r= (4-3)2 + (1-0 )2 = 2, 所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(方法二 )设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), ∵点 A(4,1),B(2,1)在圆上 , (4- )2 + (1- )2 = 2 , 故 (2- )2 + (1- )2 = 2 , -1 又 ∵ =-1,解得 a=3,b=0,r= 2, 故所求圆的方程为 (x-3)2+y2=2.
-2

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在 圆C上,则圆C的方程为 .

关闭

曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点为(0,1),(3±2 2,0). 故可设圆的圆心坐标为(3,t), 则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1, 则圆的半径为 32 + (-1)2 =3, (x-3)2+(y-1)2=9 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.
解析
关闭

答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2与圆有关的轨迹问题 例2如图所示,圆O1和圆O2的半径长都等于1,|O1O2|=4.过动点P 分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|=2 |PN|.试 关闭 建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程. 解:以 O1O2 的中点 O 为原点 ,O1O2 所在的直线为 x 轴 ,建立如图 所示的平面直角坐标系 ,则 O1(-2,0),O 2(2,0). 由已知 |PM|= 2|PN|, 得|PM|2=2|PN|2. 因为两圆的半径长均为 1, 所以 |PO1| 2-1=2(|PO 2|2- 1). 设 P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2) 2+y2-1], 化简 ,得(x-6)2+y2=33, 所以所求轨迹方程为 (x-6)2+y2=33.
答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解题心得:1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采 用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义 法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方 程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系 式等. 2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也 应有不同:若求轨迹方程,把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根 据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一 点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程; 解 :(1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知 , (2) 若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程. P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x2+y2=4 上 , 所以 (2x-2)2+(2y)2=4,即 (x-1)2+y2=1. 故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y).在 Rt△PBQ 中 ,|PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点 ,连接 ON,则 ON⊥PQ, 所以 |OP|2=|ON| 2+|PN| 2=|ON| 2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0.

关闭

答案

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3与圆有关的最值问题(多维探究) 类型一 斜率型最值问题 2 2 例3已知实数x,y满足方程x +y -4x+1=0,求 的最大值和最小值.
解 :原方程可化为 (x-2)2+y2=3, 表示以 (2,0)为圆心 , 3为半径的圆 . 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率 ,


关闭

所以设 =k,即 y=kx. 如图所示 ,当直线 y=kx 与圆相切时 , 斜率 k 取最大值或最小值 , 此时
|2 -0| 2 +1



= 3,解得 k=± 3.

所以 的最大值为 3,最小值为 - 3.
答案

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型二 截距型最值问题 例4在例3条件下求y-x的最大值和最小值.
关闭

y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距 ,如图所示 ,当直线 y=x+b 与圆相切时 ,纵截距 b 取得最大值或最小值 ,此时
|2-0+ | 2

= 3,解得

b=-2± 6.所以 y-x 的最大值为 -2+ 6,最小值为 -2- 6.
答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型三 距离型最值问题 例5在例3条件下求x2+y2的最大值和最小值.

关闭

如图所示 ,x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方 ,由平面几何知识 知 ,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 . 又圆心到原点的距离为 (2-0)2 + (0-0 )2 =2, 所以 x2+y2 的最大值是 (2+ 3)2=7+4 3,x2+y2 的最小值是 (2- 3)2=7-4 3.
答案

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型四 利用对称性求范围 例6设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°, 则x0的取值范围是( )

A.[-1,1] C.[- 2, 2]

B. - , D.

1 1 2 2 2 2 - , 2 2

关闭

当点 M 的坐标为 (1,1)时 ,圆上存在点 N(1,0),使得 ∠OMN=45°,所以 x0=1 符合题意,故排除 B,D;当点 M 的坐标为( 2,1)时 ,OM= 3,过点 M 作圆 O 的一条切线 MN',连接 ON',则在 Rt△OMN'中,sin∠ OMN'=
3 3

<

2 2

,则 ∠OMN'<45°,故此时在圆 O 上不存在点 N,使得 关闭
解析 答案

A ∠ OMN=45°,即 x0= 2不符合题意,排除 C,故选 A.

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

类型五 建立目标函数求最值问题 例7设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于点A,B, 当|AB|取最小值时,切线l的方程为 .

设点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b)(a,b>0),则直线 AB 的方程为 +




关闭

=1,即 bx+ay-ab=0,因为直线 AB 和圆相切 ,所以圆心到直线 AB 的距
|- | 2 + 2

离 d=

= 2,即 2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4,当且仅当 a=b
2

时取等号 ,又 |AB|= 2 + 2 =

x+y2= 0 a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0. 时 a=b ,即
2 2

≥2 2,所以 |AB|的最小值为 2 2,此 关闭
解析 答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解题心得:求解与圆有关的最值问题的两大规律: (1)借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代 数式的几何意义,借助数形结合思想求解. (2)建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关 系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用基本不等式求 最值是比较常用的.

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 设P为直线3x-4y+11=0上的动点,过点P作圆 C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的 面积的最小值为 .
关闭

圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为 C(1,1),半径为 r=1,根据对称 性可知,四边形 PACB 的面积为 2S△APC=2× |PA|r=|PA|= | |2 - 2 ,
2 1

要使四边形 PACB 的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直 线 l:3x-4y+11= 0 的距离 d= 的最小值为 3 | |2 min - 2 =
|3-4+11| 32 +(-4)2

=

10 5

=2.所以四边形 PACB 面积
关闭

4-1 = 3.
解析

答案

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.圆心的确定可考虑圆的几何性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与圆心三点共线. 2.半径的确定常有如下方法: (1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(线)的距离等于半径; (2)若已知弦长、弦心距、半径则可利用弦长的一半、弦心距、 半径三者构成的直角三角形求得.

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的 方程都要列出三个独立的关系式. 2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行, 注意数形结合,充分运用圆的性质. 3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是 求轨迹.

-30-

易错警示——轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误 典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边 作平行四边形MONP,求点P的轨迹.

解 :如图所示 ,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为 线段 MN 的中点坐标为
0 -3 0 +4 , 2 2

, 2 2

,

.

由于平行四边形的对角线互相平分, 0 +4 0 = + 3, 0 -3 故 = , = .从而 2 2 2 2 0 = -4. N(x+3,y-4)在圆上 ,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因为 MONP 要构成平行四边形 , 因此需要 O,M,P 三点不共线 .

-31-

4 3 21 = - , 5 解得 28 或 = 5 21 28 所以应除去 - , 5 5

直线 OM:y=- x,与(x+3)2+(y-4)2=4 联立方程组 ,
9 5 12 = , 5 9 12 和 - , 5 5

=- ,

这两个点.
9 12 - , 5 5

故点 P 的轨迹是以(-3,4)为圆心 , 2 为半径的圆 除去
21 28 - , 5 5



两点 .

-32-



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