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2006-2015全国高考新课标A卷理科---解析几何专题



2006-2015 全国高考新课标 1 卷理科---解析几何专题
一、基础题 1. (2006,全国卷 1)双曲线 mx2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m=( (A) ? )

1 4

(B)-4

(C)4

(D)

1 4

/>2. (2006,全国卷 1)抛物线 y ? ? x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( ) (A)

4 3

(B)

7 5

(C)

8 5

(D)3

3. (2007,全国卷 1)已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0) , (4,0) ,则双曲线方程为( )

A.

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 12 4

C.

x2 y2 ? ?1 10 6

D.

x2 y2 ? ?1 6 10

4. (2007,全国卷 1)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的 部分相交于点 A , AK ? l , 垂足为 K ,且△ AKF 的面积是( )

A.4

B.3 3

C.4 3

D.8

5. (2008, 全国卷 1)已知抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三 角形面积为 .

6. (2008,全国卷 1)在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 的离心率 e ? .

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆 18

7. (2009,全国卷 1) 设双曲线 率等于( (A) 3 ) (B)2

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心 2 a b

(C) 5

(D) 6

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 C 于点 B ,若 8. (2009,全国卷 1)已知椭圆 C : 2

??? ? ??? ? ???? ? FA ? 3FB ,则 | AF | =(
(A).

) (D). 3
2 2

2

(B). 2

(C). 3

P 在 C 上, ?F1PF2 ? 60°, 9. (2010,全国卷 1) 已知 F 1 、 F2 为双曲线 C : ? ? ? ? 1的左、右焦点,点在
则 P 到 ? 轴的距离为( )

(A)

3 2

(B)

6 2

(C) 3
1

(D) 6

10. (2010,全国卷 1) 已知圆 O 的半径为 1, PA 、 PB 为该圆的两条切线, A 、 B 为两切点,那么 PA 〃 PB 的最小值为( ) (A)-4+ 2 (B)-3+ 2 (C)-4+2 2 (D)-3+2 2 。

??? ?

??? ?

2 11. (2010,全国卷 1) 直线 y =1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

12. (2010,全国卷 1) 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且

??? ? ??? ? BF ? 2FD ,则 C 的离心率为



13. (2011,全国卷 1) 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点,

AB

为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( )

(A) 2

(B) 3

(C)2

(D)3

14. (2011,全国卷 1) 由曲线 y ?

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )
(C)
16 3

(A)

10 3

(B)4

(D)6

15. (2011,全国卷 1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心

率为

2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 2



16. (2012,全国卷 1) 设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


? F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?
2

17. (2012,全国卷 1) 等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A) 2

(B) 2 2

(C ) ?

( D) ?


18. (2012,全国卷 1)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2

( A) 1 ? ln 2

(B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)
).

x2 y2 5 19. (2013, 全国卷 1) 已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0, b>0)的离心率为 , 则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 1 1 ? x ? x ? x A.y= 4 B.y= 3 C.y= 2 D.y=±x
20. (2013,全国卷 1) 已知椭圆 E:

x2 y 2 ? =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B a 2 b2
).
2

两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为(

x2 y 2 ? =1 A. 45 36

x2 y 2 ? =1 B. 36 27
2

x2 y 2 ? =1 C. 27 18
2

x2 y2 ? =1 D. 18 9

21. (2014,全国卷 1) 已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的 距离为学科网( )

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m
2

22. (2014,全国卷 1) 已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的 一个焦点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =( )

??? ?

??? ?

7 A.2

5 B.2

C .3

D .2

23. (2015,全国卷 1) 已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 上的一点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若 2

????? ????? MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是(
(A ) (-



3 3 3 3 2 2 2 2 , ) (B) (, ) (C) (? , ) 3 3 3 3 6 6

(D) (?

2 3 2 3 , ) 3 3

24. (2015,全国卷 1) 一个圆经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的三个顶点,且圆心在 x 16 4

轴上,则该圆的标准方程为
二、压轴题



1. (2006,全国卷 1) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 有一个以 F1 (0,? 3 ) 和 F2 (0, 3) 为焦点、 离心率为 3 的椭圆. 设椭圆在第一象 2 限的部分为曲线 C, 动点 P 在 C 上, C 在点 P 处的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、 B, 且向量 OM ? OA ? OB . 求: (Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)| OM |的最小值.

2. (2007,全国卷 1) (本小题满分 12 分)

3

已知椭圆

x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 的直线交椭圆于 B、D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 3 2
2 x0 y2 + 0 ? 1; 3 2

A、C 两点,且 AC⊥BD,垂足为 P。 (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x0,y0) ,证明:

(Ⅱ)求四过形 ABCD 的面积的最小值。

3. (2008,全国卷 1)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 双曲线的中心为原点 O , 焦点在 x 轴上, 两条渐近线分别为 l1,l2 , 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4.(2009,全国卷 1) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) .............
4

如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点。 (I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

5. (2010,全国卷 1)

(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) .........

已知抛物线 C y2 =4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB =

??? ? ??? ? 8 ,求△BDK 的内切圆 M,的方程. 9

6. (2011,全国卷 1) (本小题满分 12 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A(0,-1) , B 点 在 直 线 y = -3 上 , M 点 满 足 MB / /OA ,

uuu r

uur

uuu r uu u r uuu r uu r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
5

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

7. (2012,全国卷 1) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; B, D 两点;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m, n 距离的比值。

8. (2013,全国卷 1) (本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.
6

2

2

2

2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 9. (2014, 全国卷 1) (本小题满分 12 分) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E :a 的离心率为 2 ,

2 3 F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 3 , O 为坐标原点.
(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

10. (2015,全国卷 1) (本小题满分 12 分)

x2 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直线 y=ks+a(a>0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;
7

(Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 K 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。

8



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