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必修五第一章2013.6月15



必修五第一章《解三角形》单元测试题
一 选择题 1. 在 ? ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有 2 个解的是( A . b=10,A= 45 ,C= 70 C .a=7,b=5,A=80
?



?

?

B .a=60,c=48,B= 60

?


?

D .a=14,b=16,A= 45

2. 在 ? ABC 中, A ? 60?? , a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 B 等于( A 45 或135
? ?



B 135

?

C 45

?

D 以上答案都不对在 )

3. ? ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 6 : ( 3 ? 1) ,则三角形的最小内角是( A 60
?

B 45

?

C 30

?

D 以上答案都不对 ) D ) D 等腰或直角三角形 4,5,6

4. 钝角三角形 ABC 的三边长为连续自然数,则这三边长为( A 1,2,3 B 2,3,4 C 3,4,5

5. ? ABC 中,a = 2 b cosC,则这个三角形一定是( A 等腰三角形 B 直角三角形

C 等腰直角三角形 )

? ? 6. ? ABC 中,a=2,A= 30 ,C= 45 ,则 ? ABC 的面积为(

A

2

B

2 2

C

3 ?1

D

1 ( 3 ? 1) 2

7. (2010 上海文数 18.)若△

ABC 的三个内角满足
( )

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形.

(B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

8. 已知 ? ABC 中, AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是( A 0?C?

) D

?
6

B 0?C?

?
2

C

?
6

?C?

?
2

?
6

?C?

?
3
2

9. 2. (2010 天 津理 数 7) 在 △ ABC 中 , 内角 A,B,C 的对 边分 别是 a,b,c , 若 a

? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
(A) 30 0 (B) 600

) (C) 1200 (D)1500

10. 在 ? ABC 中,三边 a,b,c 与面积 s 的关系式为 s ? A 30 二
?

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ), 则角 C 为( 4



B 45

?

C 60

?

D

90?

填空题

11. 在 ? ABC 中,已知 AB=4,AC=7,BC 上的中线 AD=

7 ,那么 BC= 2

.

第 1 页 共 9 页

12. 三角形两条边长分别为 3cm,5cm,其夹角的余弦是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形面积为
2

.

13. 在 ? ABC 中,a 比 b 长 2,b 比 c 长 2,且最大角的正弦是 14. ? ABC 中, (a+b+c) (b+c-a)=3bc,则角 A= 15. ? ABC 中, a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin

3 ,则 ? ABC 面积为 2

.

.

A) ? c(sin A ? sin B) =

.

三、解答题 16.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a2-c2=ac-bc, 求∠A 的大小及

b sin B c

的值。

17.在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

第 2 页 共 9 页

18. 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C

? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

19. (2009 辽宁卷文,理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为
0

750 , 30 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D

点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距 离(计算结果精确到 0.01km,

2

? 1.414,

6

? 2.449)

第 3 页 共 9 页

20.(2008 全国Ⅰ卷文)设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

第 4 页 共 9 页

必修五第一章《解三角形》单元测试题参考答案
一、选择题答案 1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 二、填空题答案 11、9 12、6 cm2 13、 6、C 7、C 8、A 9、A 10、B

15 3 4

14、 60?

15、0
2 2

例 3.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a -c =ac

-bc,求∠A 的大小及

b sin B c

的值。

分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可用余弦定理。由

b2 b sin B b =ac 可变形为 =a,再用正弦定理可求 的值。 c c
2

解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac。 又 a -c =ac-bc,∴b +c -a =bc。
2 2 2 2 2

2

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 在△ABC 中,由余弦定理得:cosA= = = , 2bc 2bc 2
∴∠A=60°。 在△ABC 中,由正弦定理得 sinB= ∠A=60°,
b sin A 2 ,∵b =ac, a



b sin B b 2 sin 60? 3 ? =sin60°= 。 c ac 2

解法二:在△ABC 中, 由面积公式得
2

1 1 bcsinA= acsinB。 2 2
2

∵b =ac,∠A=60°,∴bcsinA=b sinB。 ∴ b sin B =sinA= 3 。
c
2

评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理。 4.(2008 辽宁文)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.
第 5 页 共 9 页

? . 3

4.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识,考查综合计算能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 分 ·········· 4 ·········· 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 . ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a , ························8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ··········· ··········· · 分 ··········· ·········· ·· ······················ 12 ab sin C ? 2 3

例 6. (2009 辽宁卷文,理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯 塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为
0

750 , 30 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D

点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距 离(计算结果精确到 0.01km,

2

? 1.414,

6

? 2.449)

解:在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA,

AB AC ? , 在△ABC 中, sin ?BCA sin ?ABC 即

ACsin60 ? 3 2? 6 ? , ? AB= sin 15 20
3 2? 6 ? 0.33km 。 因此,BD= 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 点评:解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展,但也不可太难,只要掌握基本知识、概念,深刻理解其中 基本的数量关系即可过关。 10.(2010 辽宁文数 17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,
第 6 页 共 9 页

且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C

? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.
2

解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即a
2

? b 2 ? c 2 ? bc

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 1 故 cos A ? ? , A ? 120 ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin 又 sin B ? sin C 因为 0? ? 故B?C
2

A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C.
2

? 1 ,得 sin B ? sin C ? 1

B ? 90?,0? ? C ? 90? ,
所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。

1.(2010 上海文数 18.)若△

ABC 的三个内角满足
( )

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. 解析:由 sin

(B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

A : sin B : sin C ? 5 :11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13

5 2 ? 112 ? 132 ? 0 ,所以角 C 为钝角 2 ? 5 ? 11 AC 5(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 的值等于 cos A
由余弦定理得 cosc ? 为 解析 . 设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

, AC 的取值范围

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? ? ?

又0

?

? 180? ? 3? ? 90? ? 30? ? ? ? 60? ,
2 3 , ? cos ? ? 2 2
第 7 页 共 9 页

故 30? ? ? ? 45? ?

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).
2. ( 2010 天 津 理 数 7 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,b,c , 若

a2 ? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
(A) 30 0 【答案】A (B) 600

) (C) 1200 (D)1500

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由正弦定理得

c 2 3b ? ? c ? 2 3b , 2R 2R

b2 +c2 -a 2 ? 3bc ? c 2 ? 3bc ? 2 3bc 3 0 ? 所以 cosA= = ,所以 A=30 ? 2bc 2bc 2bc 2
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。 6.(2008 全国Ⅰ卷文)设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l . 6.解: (1)由 a cos B ? 3 与 b sin A ? 4 两式相除,有:

3 a cos B a cos B b cos B ? ? ? ? cot B 4 b sin A sin A b sin B b 又通过 a cos B ? 3 知: cos B ? 0 , 3 4 则 cos B ? , sin B ? , 5 5 则a ? 5. 1 (2)由 S ? ac sin B ,得到 c ? 5 . 2 2 a ? c 2 ? b2 由 cos B ? , 2ac 解得: b ? 2 5 , 最后 l ? 10 ? 2 5 .
6.(全国Ⅰ理) (本小题满分 10 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围. 6. 解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

π . 6 ? ? ? (Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ? ? A ? ? ? ?
由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?
第 8 页 共 9 页

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知, 0 ? A ?

?
2

2 ? ? 2? ? 5? ?A? ? 解得 ? A ? 所以 , 3 2 3 3 6 1 ? ?? 3 所以 sin ? A ? ? ? . 2 ? 3? 2 3 ?? 3 ? 由此有 ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ?



?

?A?

?
6

?? .

? 3 3? ? 2 , ?. 2? ? ?

第 9 页 共 9 页



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