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高中数学解题方法之设而不求(含答案)


设而不求法
例 1、一家火车车票售票点共有三个售票窗口,每个窗口售票速度相同,在门口保安以固定 速度放旅客进入售票大厅,在售票窗口打开以前的早晨 6 点 20 分,保安就按此速度开始放 旅客进入大厅, 售票窗口打开后, 若同时打开 2 个窗口, 分钟后大厅内所有旅客能买到票, 8 若同时打开 3 个窗口, 5 分钟后大厅内所有旅客能买到票。 则 则售票窗口打开的时间是多少? 解:设保安每分钟放 X 名旅客进入大厅,每个窗口每分钟售票 Y 张,打开售票窗口时大厅 内已经有 m 名旅客。则依题意得 ?

?m ? 8x ? 16 y ? y ? 3x m ?? ? ? 40 , x ?m ? 5x ? 15 y ?m ? 40 x

即从 6 点 20 分钟开始放旅客进入大厅后,经过 40 分钟后才打开售票窗口, 因此打开售票窗口的时间是 7 点。 点评:本题中,共设有三个未知数 X、Y、m,而这三个未知数的值均不需要求出,就可以 得到问题的结果。这种解题方法就叫设而不求法。 例 2、一项工程一批工人共同完成需工作 9 小时,若先安排了 1 人去做之后每隔 t 小时( t 为 整数)增加 1 人直到工程完工;结果最后一人的工作时间恰好是第一人工作时间的

1 。求第 5

一人工作几小时? 解:设最后一人工作 x 小时,共有 n 个人,则从最后一人至第一人工作时间依次为

x, x ? t , x ? 2t ,?, x ? (n ? 1)t 。于是由题意得:

x ? (n ? 1)t ? 5 x ? ? (n ? 1)t ? 4 x ? ? ? ? 2 x ? (n ? 1)t ? x?3 ? n[2 x ? (n ? 1)t ] ? 9n ? ?9 ? x ? ( x ? t ) ? ? ? [ x ? (n ? 1)t ] ? ? 2 ? 2
于是第一人工作 x ? (n ? 1)t ? 5x ? 15 (小时) 。 点评:本题中设了三个求知数 x、t、n,则字母 t、n 的值不需要求出来,就可以使问题得到 解决。 例 3、王老师预计用 3000 元购买一批白粉笔和彩色粉笔,而甲厂的两种粉笔每盒都比王老 师的预算多 1 元,若少买 20 盒白粉笔,仍超支 70 元;乙厂的两种粉笔每盒都比王老师的预 算多 0.5 元、若少买卖 2 盒白粉笔,仍超支 60 元;问王老师预计购买两种粉笔共多少盒? 解:设王老师预计购买 x 盒白粉笔,y 盒彩色粉笔,白粉笔价格为每盒 a 元,彩色粉笔价格 为每盒 b 元。依题意得。

ax ? by ? 3000 ? ? ( x ? y ) ? 20a ? 90 ? x ? y ? 350 ? ?? ? ( x ? 20)(a ? 1) ? (b ? 1) y ? 3070 ? ? ?( x ? 2)(a ? 0.5) ? y (b ? 0.5) ? 3060 ?0.5( x ? y ) ? 2a ? 61 ? a ? 2 ?
点评:本题中设了四个未知数 x、y、a、b、而 x、y、b 的值不而要求出来就解决了问题。 例 4、某厂有九个车间,现在每车间原有成品一样多,每天每个车间生产的成品也一样多; 有 A、 两组检验员, 组有 8 名检验员, B A 他们先用 2 天将第一、 二两个车间的所有成品 (包 括原有的成品和后来生产的成品)检验完毕后,再去检验第三、四车间的所有成品,又用去 3 天;同时用这 5 天时间,B 组也检验完余下 5 个车间的所有成品。若每个检验员的检验速 度是一样快,求 B 组检验员的人数。

解:设每个车间原有 x 件成品,每个车间每天生产 y 件成品,每个检验员每天检查 m 件成 品,B 组检验员的人数为 n。则依题意得:

16m ? 2x ? 4 y ? ? 2m ? ?x ? 3 8 ? x ? 2 y ? 8m ? ? 4m ? 2 x ? 10 y ? ? ? 3m ? ? x ? 5 y ? 12m ? ? y ? ? 8 3 ? ? x ? 5 y ? nm ? ? ? 5 x ? 25 y ? n ? 12 ? 5m ? ? n ? ?
点评:本题中设有四个未知数 x、y、m、n,而 x、y、m 的值不需要求出就解决了问题。 例 5、甲乙两车在一个环形跑道内进行耐力测试,两车从现一地点同时起步后,乙车速度超 过甲车速度,在第 8 分钟时甲车开始提速,在第 12 分钟时甲车追上乙车并开始超过乙车, 在第 17 分钟时,甲车再次超追上乙车。已知甲乙两车均匀速行驶,若甲车不提速,乙车首 次超过甲车是在第几分钟? 解:设甲车没提速时的速度为 V甲 ,甲车提速后的速度为 V甲? ,乙车的速度为 V乙 ,环形跑道 长为 S 米,若甲车不提速,乙车首次超过甲车是在第 n 分钟。依题意得:

?8(V ? V ) ? 4(V ? ? V ) 乙 甲 ? 乙 甲 ? V ? ? V ? 2(V ? V ) ? ? 甲 乙 乙 甲 5(V甲? ? V乙 ) ? S ?? ? ? ? ? ?n(V乙 ? V甲 ) ? 5(V甲 ? V乙 ) n(V乙 ? V甲 ) ? S ? ?
? n(V乙 ? V甲 ) ? 10(V乙 ? V甲 ) ? n ? 10
点评:本题中设有五个未知数 V甲 、V甲? 、V乙 、 S 、n,而 V甲 、V甲? 、V乙 、 S 的值不需要求 出就解决了问题。 例 6、【牛吃草问题】:牧场上有一片青草,每天都在匀速地生长,这片青草可供 10 头牛 吃 20 天,或者可供 15 头牛吃 10 天。如果有 25 头牛来吃,那么可以吃多少天? 解:设牧场原有草量为 m,每天牧场生长的草量为 n,每头牛每天吃的草量为 x,25 头牛可

?m ? 20n ? 200 x ?m ? 100 x ? ? 以吃 y 天。则 ? m ? 10n ? 150 x ? ? n ? 5 x ,答:25 头牛可以吃 5 天。 ? m ? yn ? 25nx ? y?5 ? ?
点评:本题中共设有 m、n、x、y 共 4 个变量,其中 m、n、x 都无法求得值,只有 y 能求得。 巩固性题组 1、某商店有甲乙两种糖果,购买 2kg 甲种糖果的钱可以购买 3kg 乙种糖果,市场调查发现, 将两种糖果按一定比例混合后销售,可得较好销售效果。现在糖果售价有了调整,甲种糖果 上涨 30% ,乙种糖果下跌 10% ,若混合后的售价要保持不变,则甲、乙两种糖果的混合比 例是多少? 2、 某人经营甲乙两种商品, 每件甲种商品的利润率为 40% , 每件乙种商品的利润率为 60% , 当售出的乙种商品的件数比甲多 50%件时,此人所得总利润率为 50% ,若此人售出的乙种 商品的件数比甲种商品少 50%件时,此人所得的总利润率为多少? 3、某厂生产冬装,9 月份销售每件冬装的利润是出厂价的 25%(每件冬装的利润=出厂价 ?

成本),10 月份每件冬装的出厂价降 10%(成本不变),销售件数比 9 月份增加 80%,则 10 月份销售的利润总额比 9 月份的利润总额增长的百分率是多少? 4、云南大旱,某水库每天流入定量的水,按原来的放水量,水库中的水可使用 80 天,但因 干旱,现在流入量减少了 20%,若在放水量不变的情况下只能用 60 天,若仍需使用 80 天, 则每天的放水量要减少百分之几? 5、甲乙两人同时从圆形跑道上同一点出发,沿顺时针放向匀速跑步,过一段时间后,甲第 一次从背后追上乙,这时甲立即转身,以原来速度逆时针方向跑去,当两人再次相遇时,乙 恰好跑了 4 圈。则甲的速度是乙的速度的几倍? 6、小王骑车在环城路上行驶,每隔 4 分钟有一辆公交车从对面驶来,每隔 16 分钟又有一辆 公交车从后面开过,若公交车是匀速行驶,且不计乘客上下车的时间,则公交车每隔多少分 钟发一辆车? 巩固性题组答案: 1、 解:设甲种糖果的售价是每千克 a 元,则乙种糖果的售价是 m 千克乙种糖混合,销售的效果好。依题意得

2a 元,设 1 千克甲种糖与 3

a?

2a 2a m (1 ? 30%)a ? (1 ? 10%)m 3 3 ? ? m ? 4.5 1? m 1? m

答:甲、乙两种糖果的混合比例是 2:9 2、 解:设甲、乙两种商品每件的成本分别是 m 元,n 元。总利润率为 50%时,甲、乙两种 商品分别销售了 x 件,y 件。由题意可得

? 40%mx ? 60%ny ? 50% ? mx ? ny 3 ? mx ? ny ?? ?m? n ? 2 ? y ? x(1 ? 50%) ? y ? x(1 ? 50%) ?
又设乙种商品比甲种商品少销售 50%件时,甲销售了 a 件,乙销售了 b 件, 所得的总利润率为 Z,则

? 40% ma ? 60% nb ?z ?( z ? 0.4) ma ? (0.6 ? z) nb ? ?? am ? bn ? b ? (1 ? 50%) a ? ? b ? (1 ? 50%) a ?
3 1 ? ( z ? 0.4)? ? (0.6 ? z )? ? z ? 0.45 2 2
答:当此人售出的乙种商品的件数比甲种商品少 50%件时,此人所得的总利润率为 45% 3、 解:设 9 月份每件冬装出厂价为 a 元,则 9 月份每件冬装利润为 0.25a 元,成本为 0.75a 元。再设 9 月份的销售件数为 x 件,则 10 月份销售件数为 1.8x 件,每件冬装出厂价为 0.9a 元,每价装利润为 0.15a 元,成本仍为 0.75a 元。依题意,10 月的销售利润比 9 月 份的利润总额增长的百分率为

1.8 x?0.15a ? x?0.25a ? 100% ? 8% x?0.25a

点评:本题设了未知数 x,a,但未求 x 与 a 的值,就得到了结果。 4、 解:设原来水库存水量为 m,原来每天流入水量为 x,原来每天放水量为 y,依题意得:

80 x ? m ? 80 y ? ? y ? 1.6 x ?? ? (1 ?60? ? 20%) x ? m ? 60 y ?m ? 48 x

若干旱时仍需使用 80 天,则每天的放水量应为 Z,则

80(1 ? 20%) x ? m ? 80Z ? Z ? 1.4 x ?
答:每天的放水量要减少数 12.5%.

y ? z 1.6 x ? 1.4 x ? ? 12.5% y 1.6 x

5、解:设圆形跑道长一圈长为 S,甲,乙二人的速度分别为 V甲 、 V乙 ,甲顺时针方向跑的 时间为 t1 ,甲逆时针方向跑的时间为 t 2 ,依题意得

? (V甲 ? V乙 )t1 ? S 1 ? 17 1 ? 17 ? ? 乙 ,即甲的速度是乙的速度的 V 倍。 ?(V甲 ? V乙 )t2 ? S ? V甲 ? 4 4 ?V (t ? t ) ? 4 s ? 乙 1 2
6、解:设小王的行驶速度是 v1 ,公交车的行驶速度是 v 2 ,公交车每隔 t 分钟发一辆车 则 4(v2 ? v1 ) ? 16(v2 ? v1 ) ? v2 t ? t ? 答:公交车每隔

32 5

32 分钟发一辆车。 5


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