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高考理科数学第一轮复习测试题23



A 级 基础达标演练 (时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (★)(2011· 新课标)已知函数 y=f(x)的周期为 2, 当 x∈[-1,1]时 f(x) = x2 ,那么函数 y = f(x) 的图象与函数 y = |lg x| 的图象的交点共有 ( ). B. 9个 C. 8个 D. 1

A. 10 个 个

解析 (数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有 10 个.

答案 A 【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合,其实质是将抽象的数学 语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过 对图形的处理,发挥直观对抽象的支持作用,实现抽象概念与具体形 象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 1 2.函数 f(x)=2|log2x|-|x-x|的大致图象为( ).

解析

?x f(x)=?1 ?x

0<x≤1 x>1 故选 D.

答案 D

1 3.(2011· 新课标)函数 y= 的图象与函数 y=2sin πx(-2≤x≤4)的 1-x 图象所有交点的横坐标之和等于( A.2 B.4 ). C.6 D.8

解析 此题考查函数的图象、 两个函数图象的交点及函数的对称性问 题.两个函数都是中心对称图形.

如上图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两个图象在[-2,4] 上共 8 个公共点,每两个对应交点横坐标之和为 2,故所有交点的横 坐标之和为 8. 答案 D 4.(★)(2012· 舟山模拟)当 a≠0 时,y=ax+b 与 y=(ba)x 的图象大致 是( ).

解析 (筛选法)A 中,a>0,b=1,ba=1,很容易排除;B 中,a>0, b>1,故 ba>1,函数 y=(ba)x 单调递增,也可排除;C、D 中,a<0, 0<b<1,故 ba>1,排除 D.故选 C. 答案 C 【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数给定 特殊值域特殊位置,确定它们图象与函数式是否吻合. 5.(2012· 大同调研)由方程 x|x|+y|y|=1 确定的函数 y=f(x)在(-∞, +∞)上是( ).

A.增函数 C.先增后减

B.减函数 D.先减后增

解析 ①当 x≥0 且 y≥0 时,x2+y2=1,②当 x>0 且 y<0 时,x2-y2 =1, ③当 x<0 且 y>0 时,y2-x2=1, ④当 x<0 且 y<0 时,无意义.

由以上讨论作图如上图,易知是减函数. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知下列曲线:

以及编号为①②③④的四个方程: ① x- y=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0. 请按曲线 A、 B、C 、 D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编号 ________. 解析 按图象逐个分析,注意 x、y 的取值范围. 答案 ④②①③ 7.(2010· 南京调研)已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图 所示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论:

①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ?. ③ <f? 2 ? 2 ? 其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上). 解析 由 f(x2)-f(x1)>x2-x1,可得 f?x2?-f?x1? >1,即两点(x1,f(x1)) x2-x1

f?x1? 与(x2, f(x2))连线的斜率大于 1, 显然①不正确, 由 x2f(x1)>x1f(x2)得 x 1 f?x2? > x ,即表示两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))与原点连线的斜率的大小,
2

可以看出结论②正确;结合函数图象,容易判断③的结论是正确的. 答案 ②③ 8.如下图所示,向高为 h 的水瓶 A、B、C、D 同时以等速注水,注 满为止.

(1) 若水量 V 与水深 h 函数图象是下图的 (a) ,则水瓶的形状是 ________; (2)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图的(b),则水瓶的形状是 ________; (3)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图的(c),则水瓶的形状是 ________; (4)若水深 h 与注水时间 t 的函数的图象是图中的( d),则水瓶的形状

是________.

答案 (1)A (2)D (3)B (4)C 三、解答题(共 23 分) x 9.(11 分)已知函数 f(x)= .(1)画出 f(x)的草图;(2)指出 f(x)的单调 1+x 区间. x 1 1 解 (1)f(x)= =1- ,函数 f(x)的图象是由反比例函数 y=-x 1+x x +1 的图象向左平移 1 个单位后,再向上平移 1 个单位得到,图象如图所 示.

(2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间: (-∞,-1),(-1,+∞). 1 10.(12 分)设函数 f(x)=x+x的图象为 C1,C1 关于点 A(2,1)对称的图 象为 C2,C2 对应的函数为 g(x). (1)求 g(x)的解析式; (2)若直线 y=m 与 C2 只有一个交点,求 m 的值和交点坐标. 解 (1)设点 P(x,y)是 C2 上的任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(2,1)对称的点为 P′(4-x,2-y), 1 代入 f(x)=x+x,

1 1 可得 2-y=4-x+ ,即 y=x-2+ , 4-x x-4 1 ∴g(x)=x-2+ . x- 4

?y=m, (2)由? 1 y=x-2+ , x-4 ?

消去 y

得 x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=(m+6)2-4(4m+9), ∵直线 y=m 与 C2 只有一个交点, ∴Δ=0,解得 m=0 或 m=4. 当 m=0 时,经检验合理,交点为(3,0); 当 m=4 时,经检验合理,交点为(5,4). B级 综合创新备选

(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2012· 北京东城区模拟)在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=ax, y=x+a 的图象,可能正确的是( ).

解析 当 a>1 或 0<a<1 时,排除 C;当 0<a<1 时,再排除 B; 当 a>1 时,排除 A. 答案 D 2.函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图

则函数 y=f(x)· g(x)的图象可能是(

).

解析 从 f(x)、 g(x)的图象可知它们分别为偶函数、 奇函数, 故 f(x)· g (x ) 是奇函数,排除 B 项.又 g(x)在 x=0 处无意义,故 f(x)· g(x)在 x=0 处无意义,排除 C、D 两项. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2012· 厦门调研)设 f(x)表示-x+6 和-2x2+4x+6 中较小者,则 函数 f(x)的最大值是________. 解析 在同一坐标系中,作出 y=-x+6 和 y=-2x2+4x+6 的图象 如图所示,可观察出当 x=0 时函数 f(x)取得最大值 6.

答案 6 4.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有正确命题的序号为________. 解析
2 ? ?x +c ①f(x)=x|x|+c=? 2 ?-x +c ?

?x≥0? ?x<0?



如图①,曲线与 x 轴只有一个交点,所以方程 f(x)=0 只有一个实数 根,正确.

②c=0 时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. ③当 c=0,b<0 时,
2 ? ?x +bx f(x)=x|x|+bx=? 2 ?-x +bx ?

?x≥0? ?x<0?

.

如图②,方程 f(x)=0 可以有三个实数根.

综上所述,正确命题的序号为①②. 答案 ①② 三、解答题(共 22 分) 5.(★)(10 分)讨论方程|1-x|=kx 的实数根的个数. 思路分析 分别作出函数 y=|1-x|与 y=kx 的图象, 结合图象讨论其 交点个数. 解 设 y=|1-x|,y=kx,则方程的实根的个数就是函数 y=|1-x|的 图象与 y=kx 的图象交点的个数.

由上边图象可知: 当-1≤k<0 时,方程没有实数根; 当 k=0 或 k<-1 或 k≥1 时,方程只有一个实数根; 当 0<k<1 时,方程有两个不相等的实数根. 【点评】 数形结合思想是高考必考内容,它对于解答选择、填空题 即形象、又快捷,对于解答题,图象有利于分析、解决问题,但适当 的解题步骤还是必须的.

6.(12 分)(2012· 郑州模拟)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切 实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数, 且 x∈[0,2]时, f(x)=2x-1, 求 x∈[-4,0]时的 f(x) 的表达式. (1)证明 设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)图象上任一点,

则 y0=f(x0), 点 P 关于直线 x=2 的对称点为 P′(4-x0,y0). 因为 f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]= f(x0)=y0, 所以 P′也在 y=f(x)的图象上, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)解 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],

所以 f(-x)=-2x-1. 又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(x)=f(-x )=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2], 所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
? ?2x+7,x∈[-4,-2], 所以 f(x)=? ? ?-2x-1,x∈[-2,0].



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