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《2.4.1等比数列》课件



等比数列

忆一忆

什么是数列?什么是 等差数列?

1, 3, 5, 7, 9…; 3, 0, -3, -6, … ;
1 10

(1) (2)

,

2 10

,

3 10

,

4 10

, ? ? ? . (3)

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一 项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,用d表示。

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7 8

左图为国际象棋的棋盘,棋 盘有8*8=64格
上述棋盘中各格子里的麦粒数 按先后次序排成一列数:

1, 2, 2 , 2 , ?, 2
2 3

63

国际象棋起源于印度,关 于国际象棋有这样一个传说,国王要奖励国际象棋的 发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘上 的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒麦子, 第三个格子上放4粒麦子,第四个格子上放8粒麦子, 依次类推,即每一个格子中放的麦粒都必须是前一个 格子麦粒数目的2倍,直到第64个格子放满为止。” 国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要

求吗?

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。

如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送 病毒称为第二轮,依此类推。假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机,那么在 不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的 计算机数构成的数列是:

1, 20,202 , 203, …

比一比
(1)
(2) (3)
(4)

1, 2, 2 , 2 ,
1 1 1 1 , , , , …… 2 4 8 16

2

3

……

,2

63

以上4个数列有

1,20,20 ,20 ??

2

3

什么共同特点?
9
7

9,92,93,94,95,96,

共同特点: 从第2项起,每一项
与前一项的比都等于同一常数。

等比数列定义
一般的,如果一个数列从第2项起,每一 项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比,公比通常用字母q表示。(q≠0) 其定义式为:

an ? q(n ? 2) an?1



an?1 * ? q(n ? N ) an

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注意:
1. 公比是等比数列从第2项起,每一项 与前一项的比,不能颠倒。

2.对于一个给定的等比数列,它的公比 是同一个常数。

思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗? (2) 公比为1的数列是什么数列? (3) 既是等差数列又是等比数列的数列

存在吗?
(4) 常数列都是等比数列吗?

判定下列数列是否可能是等比数列? 若是,说明公比;若不是,说出理由.

1、 263 ,…,16,8,4,2,1; 2、 5,-25,125,- 625,…; 3、 1,2,3,6,12,24,48…; 4 、 1,0,1,0,1,……;

5、 1,1,1,1,……;
6、 0,0,0,0,0,…….; 7、 a, a, a, a, ……;

思考:等比数列中

(1)公比q为什么不能等于0?首项能等于0吗? 第n项能为0吗?
(2)公比q=1时是什么数列?

注意:(1)公比q≠0,an≠0(n∈N);
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列;

做一做
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.

① -2,1,4,7,10,13,16,19,…
② 8,16,32,64,128,256,… ③ 1,1,1,1,1,1,1,… ④ 243,81,27,9,3,1,,,…

⑤ 31,29,27,25,23,21,19,…

等比数列通项公式的推导
方法一: 递推法

an 定义式 : ? q(n ? 2) an?1

a 2 a 3 a4 an ? ? ??? ? q (q不为0) 等比数列 {an }中,有: a1 a 2 a 3 a n ?1

由此可知,等比数列的通项公式为

?? ??
n为正整数

a1 ? a1 ? q a2 ? a1 ? q a3 ? a2 ? q ? a1 ? q 2 3 a4 ? a3 ? q ? a1 ? q a5 ? a4 ? q ? a1 ? q 4
0

an ? a1 ? q n?1

等比数列通项公式的推导
方法二: 累乘法

an 定义式 : ? q(n ? 2) an ?1

a3 a2 a4 a n ?1 an ? ? q, ? q, ? q , ? ? q, ? q(n ? 2) a1 a2 a3 an ? 2 a n ?1

a 2 a 3 a4 a n ?1 a n n ?1 ? ? ? ??? ? ?q a1 a 2 a 3 a n ? 2 a n ?1

? an ? a1qn?1

当n ? 1时, a1 ? a1q

1?1

? an ? a1q

n?1

(a1 , q ? 0, n ? N* )

等比数列的通项公式:
通项公式一:

a n ? a1 ? q
通项公式二:

n ?1

(a1 , q ? 0)

an ? am ? q

n? m

(a1 , q ? 0)

等差数列与等比数列对比记忆表
数 定 列 义 等 差 数 列 等 比 数 列
an ?q a n ?1

an+1-an=d
d 叫公差

公差(比)

q叫公比

通项公式 一般形式 公差(比)

an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
an ? am d? n?m

an=a1qn-1
an=amqn-m
q
n?m

an ? am

例1.一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18,求它的第1项与第2项
解:设这个等比数列的第1项是

a1 ,公比是 q

,那么

消 元

16 ? a1 ? 2 ? ? a q ? 12 ? 1 ? 3 ? ? 3 ? ? ?a1q ? 18 ?q ? 3 ? 2 ?

16 3 a2 ? a1q ? ? ? 8 3 2
16 3
与8

答:这个数列的第1项与第2项分别为

讲解范例:
例2. 求下列各等比数列的通项公式: (1) a1=-2, a3=-8;

(2) a1=5, 且2an+1=-3an.

讲解范例:
例3. 某种放射性物质不断变化为其他

物质,每经过一年剩留的这种物质是
原来的84%.这种物质的半衰期为多长

(精确到1年)?

等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的通项公式,并求出其第4,5项: (1) 5,-15,45,…

a4 ? 5 ? (?3)4?1 ? ?135, a5 ? 5 ? (?3)5?1 ? 405.
(2)1.2,2.4,4.8,…

a4 ? 1.2 ? 2

4?1

? 9.6, a5 ? 1.2 ? 2

5?1

? 19.2.
5?1

2 1 3 (3) , , ,? 3 2 8
2 ? 3? a4 ? ? ? ? 3 ? 4?
4?1

( 4)
a4 ?

2 ,1,

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ,? 2 4?1

2 ? 3? 9 ? , a5 ? ? ? ? 32 3 ? 4?

27 ? , 128
5?1

1 ? , a5 ? 2

? 2? ? 2 ?? ? 2 ? ? ?

2 ? , 4

解:设洗之前的污垢为1个单位. 洗 1次 洗 2次 剩下污垢为 (1-3/4)=1/4 剩下污垢为 (1/4)2

则每洗1次剩下是的污垢是前一次的1/4,构成一 个等比数列 {an } .

an=(1/4)n
当n=4时, 而 n=3时,

a4= (1/4)4=1/256<1% a3= (1/4)3=1/64>1%

答: n的最小值为4.



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