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不等式教学设计



不等式
【教材分析】 本节是人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学(必修 5)的第三章总复习内容,主 要内容是不等式的性质、基本不等式和线性规划。不等式与必修 1 的函数有联系,又为后续 研究几何概型、不等式选讲的基础,所以起着承前启后的作用。通过不等式与函数、方程的 联系,提高对数学各部分内容之间联系性的认识。 【学情分析】 在目前小班化形势下, 学生已经分组并要

求进行捆绑评价。 知识方面学生已经学习完了 高中所有课程,对不等式有一定的认识,已经具备将不等式与其他函数、方程等知识综合应 用的能力。 【教学环境分析】 根据本节内容以小题为主的特点, 选择多媒体教室环境, 其中线性规划的可行域通过软 件绘制,提高课堂效率。 【教学目标】 知识目标:理解二元一次不等式(组)与平面区域的关系;借助几何直观解决简单的线性规 划问题(包括含参数问题) ;通过基本不等式了解不等式的证明,解决一些函数的最大(小) 值问题。 能力目标:了解算法的思想、数形结合和问题转化能力思想。 情感目标:体验流程图在解决实际问题中的作用。 【教学重点】基本不等式的应用;线性规划问题 【教学难点】含参问题的线性规划 【教学过程】 1、教师布置并批改导学案(导学案附在后面) 。 学生完成并上交导学案(完成 1-15 题) ,准备展示用的白板。 2、课堂教学过程。 一、导入新课: 教师活动: 1、评价导学案完成情况。为优秀小组、优秀个人进行加分和鼓励。 2、幻灯片展示不等式的基本性质。

二、新课讲解 (一)一元二次不等式 1.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( 5 A. 2 7 B. 2 15 C. 4
? ?

)

15 D. 2

1 1? ? 2.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为?x|-2<x<3?,则不等式 2x2+bx+a<0 的解集是 ________. 3.求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 学生活动:第 1、2 题由小组成员用小白板展示并讲解解题过程。 教师活动:引导学生共同归纳出含参不等式的解法。 【设计意图】归纳出含参不等式的解法:参数进行分类讨论:(1)若二次项系数为常数,可 先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;(2) 若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形, 以便确定解集的形式;(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. (二)不等式恒成立问题 4.设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 教师活动:讲解第(1)小问,帮助学生体会分类讨论的数学思维。 学生活动:由一个学生板书第(2)问,其他小组讨论完成。 【设计题图】师生共同得出解决不等式恒成立问题的一般方法:(1)不等式 ax +bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;当 a≠0 时,?
?a>0, ?
2

? ?Δ<0.

不等式

ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,
? ?a<0, ? ?Δ<0. ?

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:一是利用二次函 数在区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简 单. (三)简单的线性规划

x+y-2≥0, ? ? 5.(2014· 安徽卷)不等式组?x+2y-4≤0,表示的平面区域的面积为________. ? ?x+3y-2≥0 x≥0, ? ? 4 6.若不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分,则 k 3 ? ?3x+y≤4 的值是( 7 A. 3 ) 3 B. 7 4 C. 3 3 D. 4

x+y-1≥0, ? ? 7.在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, (a 为常数)所表示的平面区域的面积等 ? ?ax-y+1≥0 于 2,则 a 的值为( A.-5 ) B.1 C.2 D.3

x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 8.若不等式组? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( y≥0, ? ?x+y≤a 4 ? A.? ?3,+∞? B.(0,1] 4 1, ? C.? ? 3? 4 ? D.(0,1]∪? ?3,+∞?

)

x+y-2≥0, ? ? 9.(2014· 北京卷)若 x,y 满足?kx-y+2≥0,且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? ?y≥0, A.2 B.-2 1 C. 2 1 D.- 2

)

x+y-2≤0, ? ? 10.(2014· 安徽卷)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯 ? ?2x-y+2≥0. 一,则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 1 B.2 或 2 ) C.2 或 1 D.2 或-1

2x+3y-6≤0, ? ? 11.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, 所表示的区域上一动点,则 ? ?y≥0 |OM|的最小值是________.

x-4y+3≤0, ? ? 12.变量 x,y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1. y (1)设 z= ,求 z 的最小值; x (2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围; (3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围. 教师活动:讲解第 12 题。 【设计意图】 总结归纳简单的非线性规划问题中常见的目标函数的几何意义, 帮助学生形成 先看目标函数的几何意义再解题的习惯。 已知目标函数的最值或其他限制条件, 求约束条件 或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题. 解决这类问题时, 首先要注意对参数取值的 讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里, 寻求最优解,从而确定参数的值. (四)基本不等式 13.已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值; 14.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值; 5 1 15.已知 x< ,求 f(x)=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 1 1 16.(2015· 郑州模拟)设 a>0,b>0.若 a+b=1,则 + 的最小值是( a b A.2 B. 1 4 C.4 D .8 )

17.(2014· 重庆卷)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是________. 18.(2014· 上海卷)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 19.若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是 ( 4 A. 3 5 B. 3 C.2 5 D. 4 )

师生活动: 共同回忆运用基本不等式解决函数最值问题的三个关键点: 一正、 二定、 三相等。 教师重点讲解第 19 题。 【设计意图】 让学生回顾基本不等式并能熟练应用基本不等式求函数的最值。 利用基本不等 式求解最值问题,要根据代数式或函数解析式的特征灵活变形,凑积或和为常数的形式;条 件最值问题要注意常数的代换, 凑成基本不等式的形式求解最值。 常用的方法还有: 拆项法、 变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.

三、课时小结 学生活动:含参数不等式的解法;不等式恒成立问题的处理方法;利用基本不等式求函数最 值的三个条件。 教师活动:强调重点并适当补充。 四、布置作业(导学案拓展与提升部分) y≤x+1, ? ? 20.设 x,y 满足约束条件?y≥2x-1, 若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为 35, ? ?x≥0,y≥0, 则 a+b 的最小值为________. xy 2 1 2 21.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时, + - 的最大值为 z x y z ( A.0 ) B.1 9 C. 4 D.3

a 22.已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,求 a 的值. x 23.(2015· 南昌模拟)已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________. 24.已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为________. 25.解关于 x 的不等式 kx2-2x+k<0(k∈R). 【设计意图】20-24 为必做,25 为选作。既巩固新知识又为学有余力的学生留出自由发展的 空间,不甘落后的同学也会主动探究。 五、板书设计: 不等式 第 3 题板书 第 12 题 图

第 4 题第(1)问板书

第 19 题板书

第 4 题第(2)问板书

六、教学反思: 1、学生的难点在于简单线性规划的含参数问题,直线经过定点而斜率步确定的时候,学生 的分类讨论意识薄弱。另外,解函数不等式的时候,不清楚分类依据,设计导学案的时候应 适当加几个这类题。 2、应用基本不等式求函数的最值时,学生容易忽略取等条件;另外遇到需要配凑定值(和 定或者积定)时,显得有些吃力。二利用基本不等式证明不等式是学生的一个很难突破的难 点。 利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是: 利用基本不等式对所证明的不等式中的 某些部分放大或者缩小,在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性.



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