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(新课程)高中数学《3.3.1 函数的单调性与导数》课件 新人教A版选修2-1



3.3

导数在研究函数中的应用

3.3.1 函数的单调性与导数

【课标要求】 1.掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【核心扫描】 1.利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间.(重点) 2.利用导数证明一些简单不等式.(难

点) 3.常与不等式、方程等结合命题.

自学导引 1.函数的单调性与其导函数的正负间的关系 设函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导 导数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调 递增 . 单调 递减 . 常数函数

想一想:在区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 f(x)在此区间上单调递 增,反之也成立吗? 提示 不一定成立.比如 y=x3 在 R 上为增函数,但其在 0 处

的导数等于零.也就是说 f′(x)>0 是 y=f(x)在某个区间上递增的 充分不必要条件.

2.一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大, 说明函数在这个范围内 变化得快 ,这时,函数的图象就比较 “ 陡峭 ”;反之,函数的图象就比较“ 平缓 ”. 3.利用导数求函数单调区间的基本步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导函数 f′(x); (3)由 f′(x)>0(或 f′(x)<0),解出相应的 x 的取值范围.当 f′(x)>0 时,f(x)在相应的区间上是增函数;当 f′(x)<0 时,f(x)在相应 区间上是减函数. (4)结合定义域写出单调区间.

名师点睛 1.理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题 (1)根据导数的几何意义,可以用曲线切线的斜率来解释导数与 单调性的关系,如果切线的斜率大于零,则其倾斜角是锐角, 函数曲线呈上升的状态,即函数单调递增;如果切线的斜率小 于零,则其倾斜角是钝角,函数曲线呈下降的状态,即函数单 调递减.

(2)在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间内为增(减) 函数的充分条件, 而不是必要条件. 如果出现个别点使 f′(x)=0, 不会影响函数 f(x)在包含该点的某个区间内的单调性.例如函 数 f(x)=x3 在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但由 f′(x)=3x2 知,f′(0)=0,即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f′(x)>0. 可导函数 f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:对任意的 x∈(a,b),都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0),且 f′(x)在(a,b)的任何子区 间内都不恒等于零.

2.利用导数求函数的单调区间需注意的问题 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义 域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符 号,来判断函数的单调区间. (2)如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间中间一般 不能用“∪”连接,可用“逗号”或“和”字隔开.

题型一

利用导数判断函数的单调性

ln x 【例 1】 证明:函数 f(x)= x 在区间(0,e)上是增函数. [思路探索] 利用函数单调性与导数间的关系进行判断. 1 x·x -ln x 1-ln x ln x ∵f(x)= ,∴f′(x)= = . x x2 x2

证明

1-ln x 又 0<x<e,∴ln x<ln e=1.∴f′(x)= x2 >0, 故 f(x)在区间(0,e)上是单调递增函数.

规律方法 关于利用导数证明函数单调性的判断问题: (1)首先考虑函数的定义域,所有函数性质的研究必须保证在定 义域内这个前提下进行. (2)f′(x)>(或<)0, 则 f(x)为单调递增(或递减)函数; 但要特别注意, f(x)为单调递增(或递减)函数,则 f′(x)≥(或≤)0.

?π ? sin x ? 【变式 1】 试证明: 函数 f(x)= x 在区间? ,π ? ?上单调递减. 2 ? ? ?π ? xcos x-sin x ? 证明 f′(x)= ,又 x∈? ,π ? 2 ?, x 2 ? ?

则 cos x<0,∴xcos x-sin x<0,
?π ∴f′(x)<0,∴f(x)在? ?2 ?

,π

? ? ?上是减函数. ?

题型二 利用导数求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x3-x; (2)y=ex-x+1.

[思路探索] 先确定函数的定义域,再对函数求导,然后求解不 等式 f′(x)>0 与 f′(x)<0,并与定义域求交集从而得相应的单调区 间.

解 (1)f′(x)=3x2-1=( 3x+1)( 3x-1), 令 f′(x)>0,则 令 f′(x)<0,则 ∴f(x)=x -x
? 减区间为? ?- ?
3

? x∈? ?-∞,- ? ? x∈? ?- ?

? ? 3? ? ? 3 ? 和 ,+∞ ? 3 ?, 3? ? ? ?

3 3? ? . , 3 3? ?
? ? 3? ? ? 3 ? 和 单调 ,+∞ ? 3 ?, 3? ? ? ?

? 的单调增区间为? ?-∞,- ?

3 3? ? . , 3 3? ?

(2)y′=ex-1,令 y′>0,即 ex-1>0, 则 x∈(0,+∞),令 y′<0,即 ex-1<0,则 x∈(-∞,0), ∴y=ex-x+1 的单调增区间(0,+∞),单调减区间为(-∞, 0).

规律方法

利用导数求函数 f(x)的单调区间,实质上是转化为

解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0,不等式的解集就是函数的单调区 间.注意:如果函数的单调区间不止一个时,单调区间应用 “,”、 “和”等连接,而不能写成并集的形式.

【变式 2】 求函数 f(x)=3x2-2ln x 的单调区间. 解 函数的定义域为(0,+∞),
2 2 2(3x -1) f′(x)=6x-x = . x

3x2-1 3 由 f′(x)>0,即 x >0,得 x> 3 , ∴函数
? f(x)的增区间为? ? ? ? 3 ? ,+∞ ?, 3 ?

3x2-1 3 由 f′(x)<0,即 <0,得 0<x< , x 3

? ∴f(x)的减区间为? ?0, ?
2

3? ? , 3? ?
? 的单调增区间为? ? ? ? 3 ? ,+∞ ?,减区间为 3 ?

∴函数 f(x)=3x -2ln x
? ? ?0, ?

3? ? . 3? ?

题型三

已知函数单调性求参数的取值范围
2

a 【例 3】 已知函数 f(x)=x +x (x≠0,常数 a∈R).若函数 f(x) 在 x∈[2,+∞)上是单调递增的,求 a 的取值范围. [思路探索]



3 a 2x -a f′(x)=2x-x2= x2 .

要使 f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,则 f′(x)≥0 在 x∈[2,+ ∞)时恒成立, 2x3-a 即 x2 ≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立. ∵x2>0,∴2x3-a≥0, ∴a≤2x3 在 x∈[2,+∞)上恒成立.∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2,+∞),y=2x3 是单调递增的, ∴(2x3)min=16,∴a≤16.

2x3-16 当 a=16 时,f′(x)= ≥0(x∈[2,+∞))有且只有 f′(2) x2 =0,∴a 的取值范围是(-∞,16]. 规律方法 已知函数的单调性,求函数解析式中参数的取值范

围,可转化为不等式恒成立问题,一般地,函数 f(x)在区间Ⅰ 上单调递增(或减),转化为不等式 f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ 上恒成立,再用有关方法可求出参数的取值范围.

【变式 3】 (1)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的单调减区间为 [-1,2],求 b,c 的值. (2)设 f(x)=ax3+x 恰好有三个单调区间,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵函数 f(x)的导函数 f′(x) = 3x2 +2bx +c ,由题设知-

1<x<2 是不等式 3x2+2bx+c<0 的解集. ∴-1,2 是方程 3x2+2bx+c=0 的两个实根, 2 c 3 ∴-1+2=- b,(-1)×2= ,即 b=- ,c=-6. 3 3 2

(2)∵f′(x)=3ax2+1,且 f(x)有三个单调区间, ∴方程 f′(x)=3ax2+1=0 有两个不等的实根, ∴Δ =02-4×1×3a>0,∴a>0. ∴a 的取值范围为(-∞,0).

题型四 用单调性与导数关系证不等式 1 2 【例 4】 (12 分)当 x>0 时,证明不等式 ln x>x-2x . 审题指导 利用导数证明不等式,首先要构造函数 f(x)=ln x-x 1 2 + x ,证明 f(x)在(0,+∞)上单调增,由 f(x)>f(0)=0 证得. 2

1 2 证明 令 f(x)=ln x-x+ x ,(4 分) 2 1 则 f′(x)= x-1+x=
? 1?2 3 ?x- ? + 2? 4 ?

x

.(6 分)

当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(8 分) 于是当 x>0 时,f(x)>f(0)=0, 1 2 ∴当 x>0 时,不等式 ln x>x- x 成立.(12 分) 2

【题后反思】 要证明不等式 f(x)>g(x)(x∈(a,b))成立,可以构 造函数 F(x)=f(x)-g(x), 然后利用导数证明函数 F(x)=f(x)-g(x) 在(a,b)上是增函数,若 F(a)-g(a)≥0.由增函数的定义可知, 当 x∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,从而证明了不等式 f(x)>g(x).

π 1 3 【变式 4】 当 0<x< 2 时,求证:x-sin x<6x .
? π? 1 3 ? 证明 设 g(x)=x-sin x-6x ,x∈?0, ? , ? 2? ? ?x ?2? 1 2 ? ? 2x g′(x)=1-cos x-2x =2?sin 2-?2? ? . ? ? ? ? ? ? π ? ∵x∈?0, 2 ? ? ? ?,∴0<sin ?

x<x,

∴sin

2x

? x ?2 ? ? ,∴g′(x)<0, < 2 ?2? ? ? ?上单调递减, ?

? π ? ∴g(x)在?0, 2 ?

1 3 ∴g(x)<g(0)=0,∴x-sin x<6x .

方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用 运用导数这个工具研究函数的单调性,体现了转化与化归的数 学思想,凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性,在平时 的学习中应予以高度重视.

【示例】 已知 a>0,且 a≠1,证明函数 y=ax-xln a 在(-∞, 0)内是减函数. [思路分析] 求出y′ → y′恒小于零 → 函数为减函数 解 y′=axln a-ln a=ln a(ax-1) 当 a>1 时,∵ln a>0,ax<1, ∴y′<0,即 y 在(-∞,0)内是减函数; 当 0<a<1 时,∵ln a<0,ax>1, ∴y′<0,即 y 在(-∞,0)内是减函数. 综上,函数在(-∞,0)内是减函数.

方法点评 本题体现了转化与化归的思想. 证明函数的单调性当 然可以利用定义法,但过程冗长繁琐.利用导数来研究函数的 性质,过程比较简洁,学习中应认真总结体会.本题中还需注 意对 a 的讨论,否则证明过程会出现纰漏.



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