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3[1].1.1



空间向量 及其加减运算
绍兴市稽山中学

复习
⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量. 几何表示法:用有向线段表示; 字母表示法:用字母 a、 b 等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示. 相等的向量:长度相等且方向相同的向量. B D A C

复习

2.平面向量的加减法
(1

)向量的加法:
a?b
a

b

a?b
a

平行四边形法则

三角形法则

复习
(2)向量的减法
三角形法则

a?b b a

3. 平面向量的加法运算律
加法交换律: a ? b ? b ? a 加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

一、空间向量的有关概念: 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量.

c a b

常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示. 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
类似于平面向量,为了研究的方便起见, 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反 向量、平行向量等概念。

B
终点

A 起点

二、空间向量的加法、减法运算 平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 运算 减法:三角形法则
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则

运 算 律

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律 成立吗?

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

二、空间向量的加法、减法运算 (1)加法交换律: a ? b ? b ? a
a?b ) ? c ? a ? (b ? c) (2)加法结合律: (

a b c

a b c

B b O a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它

b a
A

们可用同一平面内的两条有向线段表示.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向

量中有关结论仍适用于它们.

说明
对空间向量的加法、减法的说明
⒈ 空间向量的运算就是平面向量运算的推广. ⒉ 两个向量相加的平行四边形法则在空间 仍然成立. ⒊ 空间向量的加法运算可以推广至若干个 向量相加.

推广
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An A3

A4

推广
(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,

则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2

An?1
An A3

A4

三、平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A?B?C ?D? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记 作ABCD— A?B?C ?D? .
D’

C’

平行六面体 的六个面都是平 行四边形,每个

A’

B’

面的边叫做平行
六面体的棱.

a
A

D B

C

例题
例 已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 解:⑴AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA' ? AC ? AA'   ? AC ? CC' ? AC'
A’

D’
B’

C’

D
A B

C

练习1

空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD 边的中点,化简:
A

D G B

1 (1) AB ? ( BC ? BD ) 2 1 ( 2) AG ? ( AB ? AC ) 2

(1) AG
(2) MG

M

C

练习2 已知F1=2000N, F2=2000N, F3=2000N,

这三个力两两之间 的夹角都为60度,

F3

作出它们的合力图。

F2

F1



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