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河南省天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考)2015届高三上阶段性测试(三)数学理试题(解析版)



河南省天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考)2015 届高三上阶段 性测试(三)数学理试题(解析版) )
【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性,很多题目是由多个知识点构成的,这有利于考查 考生对知识的综合理解能力,有利于提高区分度,在适当的规划和难度控制下,效果明显。通过考查知识 的交汇点,对考生的数学能力提出了较高的要求,提高了试题的区分度,这和当前课改的

教学要求、中学 的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.

【题文】第 I 卷
【题文】一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 【题文】(1)已知全集 U=R,集合 A ? ? x | 0 ? x ? 2? , B ? x | x 2 ? x ? 0 ,则图中的阴影部分表示的集合 为

?

?

(A)(-∞,1]U(2,+∞)

(B)

? ??,0 ? ?1, 2 ?

(C)[1,2) (D)(1,2] 【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】A 解析:图中的阴影部分表示的集合为 C? A B ? ? A 故选 A . 【思路点拨】根据题中韦恩图得阴影部分表示的集合为 C? A B ? ? A

B ? ? ? ??,1? B ? ,再结合

? 2, ?? ? ,

A ? ? x | 0 ? x ? 2? , B ? ? x | x 2 ? x ? 0? 得结论.
【题文】(2)已知 i 是虚数单位,则复数

?1 ? 3i 在复平面内所对应的点位于 (1 ? i ) 2
(D)第一象限

(A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 【知识点】复数运算;复数的几何意义. L4

【答案】 【解析】D 解析:因为

?1 ? 3i i 3 1 ?1 ? 3i ?1 ? 3i ? ? ? i ,所以 = 2 2i ?2 2 2 (1 ? i )

?

?

此复数在复平面内所对应的点位于第一象限. 【思路点拨】先把复数化为 a+bi 形式,再由复数的几何意义得结论.

1页

【题文】(3)已知数列 ?an ? 的通项为 an ? n 2 ? 2? n ,则“ 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件;必要条件. A2

? ? 0 ”是“ ?n ? N ? , an ?1 ? an ”

【答案】 【解析】 A 解析: 因为 an ? n 2 ? 2? n , 所以 an?1 ? an ? 2n ?1 ? 0 对于 n∈ N ? 恒成立, 所以 ? ? 0 ” 是“ ?n ? N ? , an ?1 ? an ”的充分不必要条件 . 【思路点拨】先求出 an?1 ? an ? 0 的条件,再根据充分性、必要性的判定方法确定结论.
2 2 2 2 【题文】(4)已知圆 C : ( x ? 1) ? y ? r 与抛物线 D : y ? 16 x 的准线交于 A,B 两点,且 AB ? 8 ,

则圆 C 的面积为 ( A)5 ? (B)9 ? (C)16 ? (D)25 ? 【知识点】抛物线的性质;直线与圆的位置关系;勾股定理. H7 H4 【答案】 【解析】 D 解析:设抛物线准线交 x 轴于 E,则 CE=3,所以 r ? 3 ? 4 ? 25 ,
2 2 2

所以圆 C 的面积为 25 ? ,故选 D. 【思路点拨】结合图形可知,利用勾股定理求得圆 C 半径得平方.

【题文】(5)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 对, f ( x) ? ?

? ?x ?cos ,0 ? x ? 8, 6 ? ?log 2 x, x ? 8,
(D)

f ( f (?16)) ?

(A) ?

1 2

(B) ?

3 2

(C)

1 2

3 2

【知识点】奇函数的性质;分段函数的应用. B4 B1 【答案】 【解析】C 解析:因为 f (16) ? log2 16 ? 4 ,所以 f ( f ( ?16)) ? ? ff (16) ? ? f (4)

? ? cos

4? 2? 1 ? ? cos ? ,故选 C. 6 3 2

【思路点拨】根据奇函数的性质,以及分段函数的函数值的意义求解. 【题文】(6)高三某班上午有 4 节课,现从 6 名教师中安排 4 人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节 课,丙必须上最后一节课,则不同的安排方案种数为 ( A)36 (B)24 (C)18 (D)12 【知识点】排列与组合;计数原理. J2 J1 【答案】 【解析】A 解析:第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课,由 3 种方法;第二、三节
2 从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中,任选两名分别上第二、三节课,由 A4 种方法. 根据分步 2 计数原理得不同的安排方案种数为 3 A4 ? 36 种. 故选 A.

【思路点拨】完成把六名教师中安排 4 人各上一节课这个事件,需分两步:第一步,安排上第一节课的教
2页

师;第二步,安排上第二、三节课的教师,(第四节丙教师上).求得完成每步方法数后,由分步计数原理得 结论. 【题文】(7)设 a ? sin(?810 ), b ? tan( (A)a<b<c (B)a<c<b 【知识点】数值大小的比较. E1

33? 1 ), c ? lg ,则它们的大小关系为 8 5
(D)c<a<b

(C)b<c<a

【答案】 【解析】B 解析:∵ a ? ?1, b ? tan

?

1 ? 0, c ? lg ? ? ?1, 0 ? ,∴a<c<b,故选 B. 8 5

【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围,从而得到它们的大小顺序. 【题文】(8)函数 f ( x) ?

x3 ? 3 的大致图象是 ex

【知识点】函数图像得确定. B8 【答案】 【解析】C 解析:因为 f(0)= -3,所以排除选项 A、B;又因为 x ? 3 3 时, f ( x) ? 0 ,所以排除选项 D,故选 C. 【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项. 【题文】 (9)如图的几何体是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的一部分,其中

AB ? AD ? 3, DD1 ? BB1 ? 2cm 则该几何体的外接球的表面积为
(A 11? cm 2 (B) 22? cm 2 ( D) 11 22? cm
2

(C)

11 22 2 cm 3

【知识点】几何体的结构. G1 【答案 】 【解析】 B 解析:该 几何体的外接 球即长方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球,而若长方体
3页

ABCD ? A1B1C1D1 的 外 接 球 半 径 为 R , 则 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 的 体 对 角 线 为 2R , 所 以
(2 R) 2 ? 32 ? 32 ? 22 ? 22 ? R 2 ? 11 ,所以该几何体的外接球的表面积 22? cm 2 ,故选 B. 2

【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的外接球的关系,进而得结论. 【题文】(10)执行如图所示的程序框图,输出的 S 为 (A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009

【知识点】算法与程序框图. L1 【答案】 【解析】B 解析:根据程序框图得执行的结果是计算:

S ? ?1 ? ? ?1? 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 4 ?
2 3 4

? ? ?1?

2014

2014

? ? ?1? 2? ? ? ?3 ? 4? ? ? ?5 ? 6? ?

? ? ?2013 ? 2014? =1007,故选 B .

【思路点拨】根据程序框图描述的意义,得其运行结果是计算

S ? ?1 ? ? ?1? 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 4 ?
2 3 4

? ? ?1?

2014

2014 的值.

x2 y 2 【题文】(11)双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0 垂直, F1 , F2 为 C 的焦 a b
点,A 为双曲线上一 点,若 又 F1 A ? 2 F2 A ,则 cos ?AF2 F1 ?

(A)

3 2

(B)

5 4
H6

( C)

5 5

(D)

1 4

【知识点】双曲线及其性质.

【答案】 【解析】C 解析:因为双曲线的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0 垂直,所以 b=2a, 又 F1 A ? 2 F2 A ,且 F 1A ? F 2 A ? 2a ,所以 F 2 A ? 2a, F 1 A ? 4a ,而

c2 ? 5a2 ? 2c ? 2 5a ,所以
4页

F1 F2 ? AF2 ? AF1 20a 2 ? 4a 2 ? 16a 2 5 ? ? ,故选 C. cos ?AF2 F1 ? 2 F1 F2 AF2 5 2 ? 2 5a ? 2 a
【思路点拨】根据题意得 a,b,c 关系,以及 F 1A , F 2A , F 1F 2 关于 a,b,c 的表达式,然后用余弦定理求得结 论. 【题文】(12)设 f ( x) ? ln x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的 取值范 围是 (A)

2

2

2

? 1? ? 0, ? ? e?

(B)

? ln 2 ? ,e? ? ? 2 ?

( C)

? ln 2 1 ? , ? ? ? 2 e?

(D)

? ln 2 ? ? 0, ? 2 ? ?
B9 B12

【知识点】函数的零点;数形结合法确定参数范围;导数的几何意义. 【答案】 【解析】C 解析:即方程 ln x ? ax 区间(0,4)上有三个根,令

h ? x ? ? ln x ? h? ? x ? ?
过原点得切线斜率为

1 1 , 由 h(x)在 ? x0 ,ln x0 ? 处切线 y ? ln x0 ? ? x ? x0 ? 过原点得 x0 ? e ,即曲线 h(x) x x0

1 ln 2 ,而点 ? 4, ln 4 与原点确定的直线的斜率为 所以实数 a 的 取值范围是 ? e 2

? ln 2 1 ? , ? ,故选 C. ? ? 2 e?

【思路点拨】根据函数的零点与方程的根的关系,方程的根与两函数图像交点的关系,采用数形结合法, 结合导数的几何意义,确定参 a 的取值范围.

【题文】 第Ⅱ卷
【题文】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 【题文】(13)设 n ?

?

?

2 0

1 ? ? 10sin xdx ,则 ? x ? 3 ? 展开式中的常数项为_________(用数字作答) x? ?

n

【知识点】定积分;微积分基本定理;二项式定理. B13 J3 【答案】 【 解 析 】 210 解析: n ?
r

?

?

2 0

1 ? ? 10sin xdx = ?10cos x | ? 10 , 又 ? x ? 3 ? 展 开 式 的 通 项 x? ?
2 0

?

n

Tr ?1 ? C

r 10

? x?

10 ? r

5r ? ?1 ? 5r r 5? 6 r 3 ? 0 ?r ?6 , 所 以 展 开 式 中 的 常 数 项 为 , 由 5? ? ? x ? ? C10 ? ?1? x 6 ? ?

6 C10 ? ?1? ? 210 . 6

【思路点拨】由微积分基本定理得 n=10 ,由二项展开式的通项公式得展开式中的常数项为第七项
5页

6 T6 ?1 ? C10 ? ?1? ? 210 . 6

【题文】14 某天,小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影,他们到达电影院之后发现,当天正 在放映 A,B,C,D,E 五部影片,于是他们商量一起看其中的一部影片: 小赵说:只要不是 B 就行; 小张说:B,C,D,E 都行; 小李说:我喜欢 D,但是只要不是 C 就行; 小刘说:除了 E 之外,其他的都可以 据此判断,他们四人可以共同看的影片为____ 【知识点】集合运算. A1 【答案】 【解析】D 解析:小赵可以看的电影的集合为:{A,C,D,E,},小张可以看的电影的集合为{B,C,D,E}, 小李可以看的电影的集合为:{A,B,D,E},小刘可以看的电影的集合为: {A,B,C,D},这四个集合的交集中只有元素 D ,故填 D . 【思路点拨】分别找出小赵、小张、小李、小刘四人各自可以看的电影的集合,然后求这些集合的交集即 可. 【题文】(15)△ABC 中, AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120 ,若 BD ? 2 DC ,则 AD ? BC ? =______________. 【知识点】平面向量的线性运算;向量的数量积. F1 F3 【答案】 【解析】 ?

1 2 解析:因为 BD ? BC , BC ? AC ? AB ,所以 AD ? BC ? 3 3

2 1 1 2 2 2 2 ? ? ?1 ? ? AB ? BC ? ? BC ? ? AB ? AC ? ? AC ? AB ? 3 AC ? 3 AB ? AC ? 3 AB 3 3 ? ? ?3 ? 2 1 1 1 ? ? ? ? 2 ?1? cos120 ? ? . 故填 ? . 3 3 3 3
【思路点拨】先把 AD, BC 用 AB, AC 表示,再用向量数量积的运算性质求解. 【题文】 (16)已知数列 ?an ? 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,各项都是正数的数列
an an?1 an?2 x1 ? 3, x1 ? x2 ? x3 ? 39, xn ? xn ?1 ? xn?2 ,则 xn ? __________.

?

?

? xn ? 满足

【知识点】等差数列;等比数列;数列通项公式的求法. D2 D3 【答案】 【解析】 3
n
n?1 n?2 解析:设 xn n ? xn? 1 ? xn?2 =k,则 an ? log xn k ?

a

a

a

1 ? log k xn , an

同理

1 1 ? log k xn?1 , ? log k xn? 2 ,因为数列 ?an ? 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,所以 an?1 an? 2

2 2logk xn?1 ? logk xn ? logk xn?2 ? xn ?1 ? xn xn ? 2 , 所 以 数 列

? xn ?

是 等 比 数 列 , 把 x1 ? 3 代 入

x1 ? x 2? x 3 ? 39 得公比 q=3(负值舍去),所以 xn ? 3? 3n?1 ? 3n .
6页

n?1 n?2 【思路点拨】设 xn n ? xn? 1 ? xn?2 =k,利用指数与对数互化及对数换底公式得

a

a

a

1 ? log k xn , an

1 1 ? log k xn?1 , ? log k xn? 2 ,再由 ?an ? 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列,以及对数运算性 an?1 an? 2
2 质得 xn ?1 ? xn xn ? 2 ,所以数列

? xn ? 是等比数列,又因为 ? xn ? 各项都是正数且

x1 ? 3, x1 ? x2 ? x3 ? 39, 得公比 q ,从而求得 xn .
【题文】三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 【题文】(17)(本小题满分 10 分) 已知向量 m ? ( 3 sin

x x x ,1), n ? (cos ,cos 2 ) ,记 f ( x) ? m ? n 4 4 4 3 2? (I) 若 f ( a ) ? ,求 cos( ? a) 的值; 2 3 2? ( Ⅱ ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 个单位得到 y ? g ( x ) 的图象,若函数 y ? g ( x) ? k 在 3

? 7? ? ?0, 3 ? 上有零点,求实数 k 的取值范围 ? ?
【知识点】向量的数量积;三角函数的求值;三角函数的图像. F3 C3 C7 【答案】 【解析】(I)1(II) ?0, ? 解析: f ? x ? ? 3 sin cos ? cos ? sin ? ? ? ? 4 4 4 ?2 6? 2 ? 2?
2

? 3?

x

x

x

?x ?? 1

3 ?? ? ? 1 3 得 sin ? ? ? ? ? ,于是 2 ?2 6? 2 2 2? 2? ? ? 2? ? ? 2? ? ? 4k? ? , k ? Z ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? 4k? ? ? ?1 3 3 ? ? 3 ? ? 3 2? ?? 1 ?1 (II)将函数 y ? f ? x ? 的图象向右平移 个单位得到函数 g ? x ? ? sin ? x ? ? ? 的图象,当 x∈ 3 6? 2 ?2 ? 1 ? 1 ?? ?1 ? 7? ? x ? ? ? 1, ?0, 3 ? 时, ? 6 ? 2 x ? 6 ? ? ,所以 ? 2 ? sin ? 6? ?2 ? ? ?? 1 3 ?1 ? 7? ? ? 3? 所以 0 ? sin ? x ? ? ? ? ,若函数 y ? g ( x) ? k 在 ? 0, 上有零点,则 k∈ ?0, ? ? 6? 2 2 ?2 ? 2? ? 3 ?
(I)由已知 f ? a ? ? 【思路点拨】 由向量的关系可求出函数的解析式, 再根据三角函数的性质求出函数的取值,从而求得使函数

? 7? ? y ? g ( x) ? k 在 ?0, ? 上有零点得 k 范围. ? 3 ?
【题文】(18)(本小题满分 12 分) 设等差数列 满足 2
an ?1

?an ? 的前 n 项和为

S n , a5 ? a6 ? 24, S11 ? 143 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn

? ?Tn ? (a1 ? 1)(n ? N ? )

7页

(I)求数列

?an ? 的通项公式及数列

? 1 ? ? ? 的前 n 项和; ? an an ?1 ?

(Ⅱ)是否存在非零实数

? ,使得数列 ?bn ? 为等比数列?并说明理由
n 6n ? 9

【知识点】等差数列、等比数列的性质;数列求和. D2 D2 D4 【 答 案 】【 解 析 】 (I) (II) 见 解 析 . 解 析 : (I) 设 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d, 由

S11 ? 11a6 ? 143,? a6 ? 13, 又 a5 ? a6 ? 24 ,解得 a5 ? 11,d ? 2 ,
* 因此 ?an ? 的通项公式是 an ? a5 ? ? n ? 5 ? ? 2 ? 2n ? 1 n ? N

?

?

所以

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ,从而前 n 项的和为 an an?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

1 1 ? ? 3? 5 5 ? 7

?

1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 3 5 5 7 1

1 1 ? n ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 ? 6 n ? 9
1

(II)因为 a1 ? 3, 2 当 n ? 1 时, b1 ?

an ?1

? ?Tn ? (a1 ?1)(n ? N ? ),?4n ? ?Tn ? 2 ? Tn ?
3

?

4n ?

2

?

6

?

;当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ?

?

4n ?1 .
6

所以 bn?1 ? 4bn ? n ? 2? ,若 ?bn ? 是等比数列,则有 b2 ? 4b1 而 b1 ? 盾,故数列 ?bn ? 不是等比数列. 【题文】(19)(本小题满分 12 分) 已知国家某 5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表:

?

, b2 ?

12

?

,所以

b2 ? 2与b2 ? 4b1 矛 b1

【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前 n 项和,再通过项的关系判定 ?bn ? 不是等比数列.

该景区对 3 月份的游客量作出如图的统计数据:

(1)某人 3 月份连续 2 天到该景区游玩,求这 2 天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率;
8页

(2)从该景区 3 月份游客人数低于 10 000 人的天数中随机选取 3 天, 记这 3 天游客拥挤等级为优的天数为 ? , 求 ? 的分布列及数学期望 【知识点】古典概型;离散型随机变量分布列;数学期望. K2 K6 K8

【答案】 【解析】 (1)

2 ; (2) 15

, E ?? ? ?

15 . 16

解析:(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件 A ,此人 3 月份连续 2 天到景区游玩的所有结果 共有 30 种,其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有 4 种,所以 P ( A) ?

4 2 ? . 30 15

(2)由题意知 ? 的可能取值为 0,1,2,3,因为该景区 3 月份游客人数低于 10000 人的天数为 16,其中游客
2 1 3 C11 C C11 33 55 拥挤等级为优的天数为 5,所以 P(? ? 0) ? 3 ? , P(? ? 1) ? 3 5 ? C16 112 C16 112 1 3 C11 C52 11 C5 1 ,所以 ? 的分布列为: ? , P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C16 56 C16 56

P(? ? 2) ?

故 E (? ) ? 0 ?

33 55 11 1 15 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? . 112 112 56 56 16 4 2 ? ; (2)由题意得 ? 的可能取值为 0,1,2,3,因为该景区 30 15

【思路点拨】 (1)此人 3 月份连续 2 天到景区游玩的所有结果共有 30 种,其中这两天他遇到的游客拥挤 等级均为良的结果有 4 种,所以所求概率为

3 月份游客人数低于 10000 人的天数为 16,其中游客拥挤等级为优的天数为 5,根据组合数公式求得 ? 取 每个值的概率,从而写出 ? 的分布列,进一步求得 ? 的期望. 【题文】(20)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AD ? DB,其中三棱锥 P- BCD 的三视图如图所示,且

sin ?BDC ?

3 5

9页

(1)求证:AD ? PB (2)若 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为

12 13 ,求 AD 的长 65
G2 G5 G11 解析:由三视图可知

【知识点】几何体的三视图;垂直关系的判定;线面角的意义. 【答案】 【解析】 (1)证明:见解析; (2)6.

PD ? 平面ABCD,而AD ? 面ABCD ? AD ? PD 又 AD ? DB, 且PD ? BD ? D, PD, BD ? 平面PBD, ? AD ? 平面PBD , ? AD ? PB 。 又 PB ? 平面PBD,
(2)由(1)可知,PD,AD,BD 两两互相垂直,以 D 为原点,建立如图所示空间直角坐标系.

3 9 12 可得 A(? , 0, 0), B(0,3, 0), C ( ? , , 0), P(0, 0, 4) . 5 5 5 9 12 所以 PA ? (? , 0, ?4), DC ? (? , , 0), DP ? (0, 0, 4) 5 5 ?4 z ? 0 ? ? DP ? n ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PCD 的法向量,由题意得 ? 即? 9 ,令 y=3,则 x=4,z=0,得 12 ? x? y ?0 ? ? DC ? n ? 0 ? 5 ? 5
设 AD= ? (? ? 0) ,结合 sin∠BDC= 平面 PCD 的一个法向量 n ? (4,3,0) . 设 PA 与平面 PCD 所成角为 ? ,可得 sin ? ? cos? PA, n? ? 解之得 ? ? 6 ,即 AD=6.

4? ? 3 ? 0 ? 0 ? ? ?4 ?

? ? 16 ? 16 ? 9
2

?

12 13 , 65

【思路点拨】 (1)由三视图得此几何体的结构特点,从而得 AD⊥平面 PBD,进而得结论; (2)建立空间直 角坐标系,利用空间向量求解. 【题文】(21)(本小题满分 12 分)
10 页

x2 y 2 2 2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) )过点 Q (1, ? ,直线 l 与 E 相交于 M,N ) ,且离心率 e ? a b 2 2
两点, l 与 x 轴、y 轴分别相交于 C,D 两点,0 为坐标原点 (I)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)判断是否存在直线 l ,满足 2OC ? OM ? OD, 2OD ? ON ? OC ?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题. H8 (II) y= ?

【答案】 【解析】(I)

2 5 或 y= x? 2 5



解析: (1)由已知得:

,解得:a =2,b =1.

2

2

∴椭圆 E 的方程为



(2)如图, 假设存在直线 l:y=kx+m(k≠0)交椭圆于 M(x1,y1) ,N(x2,y2)两点,交 x 轴于 C(c,0) ,交 y 轴于 D(0,d) , 由2 = + ,2 , 即 C、D 为线段 MN 的三等分点. 由 y=kx+m,取 y=0,得 c=﹣ ,即 C(﹣ 取 x=0,得 d=m,即 D(0,m) . ) , = + ,得

联立

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0 ①.

2

2

2





若 C、D 为线段 MN 的三等分点,则

,解得:

,k=



当 k=

时,方程①化为



解得:



11 页



,解得:m=



同理求得当 k=

时,m=



∴满足条件的直线 l 存在,方程为:y= ?

2 5 或 y= x? 2 5



【思路点拨】 (1)把点的坐标代入椭圆方程,结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得 a,b 的值,则椭 圆方程可求; (2)把给出的向量等式变形,得到 C、D 为 M、N 的三等分点,设出直线 l 的方程 y=kx+m(k≠0) ,和椭圆 方程联立,利用四个点坐标间的关系求得 k,代入关于 x 的方程后求得 M 的坐标,再由中点坐标公式列式 求得 m 的值,则直线方程可求. 【题文】 (22)(本小题满分 12 分) 设函数

f ( x) ?

bx ? ax, e 为自然对数的底数 ln x
2 2 2

(1)若函数 f(x)的图象在点 (e , f (e )) 处的切线方程为 3 x ? 4 y ? e ? 0 ,求实数 a,b
2 (2)当 b=l 时,若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的最小值

的值;

【知识点】导数的几何意义;导数的应用;不等式的有关知识. B11 【答案】 【解析】(1)a=1,b=1;(2)

B12 E8

1 1 ? 2 4e 2

.

解析: (1)由已知得 x>0,x≠1, f ?( x) ?

b(ln x ?1)

? ln x ?

2

?a .

b 3 be2 e2 2 ? ae ? ? 且 f ? ? e 2 ? ? ? a ? ? ,解之得 a=1,b=1. 则 f ?e ? ? 4 4 2 2
2

(2)当 b=1 时, f ?( x) ?

ln x ? 1

? ln x ?

2

1 ? 1 ? ? 1 1? 1 ? a = ?? ? a ? ?? ? ? ? ?a ? ? ? ln x ? ln x ? ln x 2 ? 4

2

2

所以当

1 1 1 ? ? x ? e 2 时, f ? ? x ?max ? ? a . ln x 2 4

2 而命题“若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于
2 “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a ”

12 页

1 1 ? a ,所以 f ? ? x ?max ? a ? . 4 4 1 2 问题等价于: “当 x ? ? ? e, e ? ? 时,有 f ? x ? min ? 4 ”
2 又当 x ? ? ? e, e ? ? 时, f ? ? x ?max ?

① 当a ? 故a ?

1 e2 1 2 2 ? e , e f x ? f e ? ? ae 2 ? , 时, f ? x ? 在 ? 上为减函数,则 ? ? ? ? ? ? min 4 2 4

1 1 ? . 2 4e 2
2

1 1 ? ? ? 1 1? 1 e, e 2 ? ② 当 a ? 时,由于 f ? ? x ? ? ? ? 上的值域为 ? ?a, ? a ? . ? ? ? ?a 在? ? ? 4 4 ? ? ? ln x 2 ? 4
2 2 (Ⅰ)当 ?a ? 0 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 ? ? e, e ? ? 恒成立,故 f ? x ? 在 ? ? e, e ? ? 上为增函数,

于是 f ? x ?min ? f ? e ? ? e ? ae ? (Ⅱ)当 ? a ? 0 即 0 ? a ?

1 ,不合题意. 4

1 2 时,由 f ? ? x ? 的单调性和值域知,存在唯一 x0 ? ? e, e ? 使 4

f ? ? x ? ? 0 ,且满足:当 x ? ? e, x0 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,f(x)为减函数;当 x ? ? x0 , e 2 ? 时,
f ? ? x ? ? 0 ,f(x)为增函数;所以 f ? x ?min ? f ? x0 ? ?
所以 a ?

x0 1 ? ax0 ? , x0 ? ? e, e 2 ? . ln x0 4

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,与 0 ? a ? 矛盾. 2 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 1 1 ? . 2 4e 2

综上得 a 的最小值为

2 2 2 2 【思路点拨】 (1)由点 (e , f (e )) 在切线方程为 3 x ? 4 y ? e ? 0 及 f ? e ?

? ?

b 3 ?a ? ? 4 4

2 得 a,b 的值; (2)命题“若存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于
2 “当 x ? ? ,这样把问题转化为最值问题,然后利用函数最值,以及 ? e, e ? ? 时,有 f ? x ?min ? f ? ? x ?max ? a ”

导数,确定涉及到的函数的最值,进而求得实数 a 的最小值. 【典例剖析】本题第二小问题是具有代表性的问题,由于 x1 , x2 的取值相互之间没有影响,所以命题“若
2 存在 x1 , x2 ? ? ?e, e ? ? ,使 f ( x1 ) ? f '( x2 ) ? a 成立”等价于
2 2 “ 存 在 x?? , 又 当 x?? ? e, e ? ? 时 , 有 f ? x ? ? f ? ? x ?max ? a ” ? e, e ? ? 时 , f ? ? x?m a x?

1 ? a, 所 以 4 1 1 1 e, e 2 ? f ? ? x ?max ? a ? . 所以问题等价于: “存在 x ? ? 时,有 f ? x ? ? ” ,所以只需使 f ? x ? min ? 即可. ? ? 4 4 4

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