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4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式练习题


§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
一、选择题 ? 20π ? ?=( 1. cos?- ) 3 ? ? 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 2π ? π? 2π π 1 ? 20π ? ? ? ?=cos?6π + ?=cos 解析 cos?- =cos?π - ?=-cos =- ,故 3 ? 3 ? 3? 3 3 2 ? ? ? 选 C. 答案 C 2. 若 tan ? =3,则 A.2 解析 因为 答案 D 3.若 cos(2π -α )= A.- 5 3 5 ? π ? 且 α ∈?- ,0?,则 sin(π -α )=( 3 ? 2 ? 2 3 C.- 1 3 D.± 2 3 ).
sin 2? 的值等于( cos 2 a

) C.4 D.6

B.3

sin 2? 2sin ? cos ? = = 2 tan ? ? 6 ,所以选 D. cos 2 a cos 2 a

B.-

解析 cos(2π -α )=cos α = ∴sin α =- 1-cos2α =- 2 ∴sin(π -α )=sin α =- . 3 答案 B

5 ? π ? ,又 α ∈?- ,0?, 3 ? 2 ? ? 5? 2 1-? ?2=- . 3 ?3 ?

sin α 1-cos2α 4.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 + 的值等于 cos α 1-sin2α ( ). B.2 C.-2 或 2 D.0

A.-2 解析 原式=

sin α |sin α | + ,由题意知角 α 的终边在第二、四象限,sin |cos α | cos α

α 与 cos α 的符号相反,所以原式=0.

答案 D 5.已知 sin 2α =- 1 A.- 5 7 C.- 5 24 ? π ? ,α ∈?- ,0?,则 sin α +cos α =( 4 25 ? ? B. D. 1 5 7 5 1 , 25 )

解析:(sin α +cos α )2=1+2sin α cos α =1+sin 2α = ? π ? 又 α ∈?- ,0?,sin α +cos α >0, 4 ? ? 1 所以 sin α +cos α = . 5 答案:B 6.已知 f(cos x)=cos 3x,则 f(sin 30°)的值为( A.0 B.1 C.-1 ).

D.

3 2

解析 ∵f(cos x)=cos 3x, ∴f(sin 30°)=f(cos 60°)=cos 180°=-1. 答案 C 7.若 sin θ ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为 ( A.1+ 5 C.1± 5 B.1- 5 D.-1- 5 ).

解析 由题意知:sin θ +cos θ =- ,sin θ cos θ = , 2 4 又(sin θ +cos θ )2=1+2sin θ cos θ , ∴ =1+ , 4 2 解得:m=1± 5,又 Δ =4m2-16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 答案 B

m

m

m2

m

二、填空题 1 ?π ? 8.若 sin(π +α )=- ,α ∈? ,π ?,则 cos α =________. 2 2 ? ? 1 ?π ? 解析 ∵sin(π +α )=-sin α ,∴sin α = ,又 α ∈? ,π ?, 2 2 ? ? ∴cos α =- 1-sin2α =- 答案 - 3 2 3 . 2

5 ,且 α 是第二象限的角,则 tan(2π -α )=________. 13 12 sinα 12 解析 由 α 是第二象限的角, sinα = 1-cos2α = , 得 tanα = =- , 13 cosα 5 12 则 tan(2π -α )=-tanα = . 5 12 答案 5 9.已知 cosα =- 10.已知 α 为第二象限角,则 cos α ________. 解析:原式=cos α =cos α 答案:0 1 π π 11.已知 sin α cos α = ,且 <α < ,则 cos α -sin α 的值是________. 8 4 2 3 2 解析 (sin α -cos α ) =1-2sin α cos α = , 4 又∵ π π 3 <α < ,sin α >cos α .∴cos α -sin α =- . 4 2 2 3 2 1+ sin2α +sin α cos2α 1+ cos2α sin2α 1+tan2α +sin α 1+ 1 = tan2α

1 +sin α cos2α

1 1 1 =cos α +sin α =0. 2 sin α -cos α sin α

答案 -

π? 1 cos 2α ? 12.已知 sin α = +cos α ,且 α ∈?0, ?,则 的值为________. 2? 2 π? ? ? sin?α - ? 4? ? 1 解析 依题意得 sin α -cos α = ,又(sin α +cos α )2+(sin α -cos α )2 2 π? 7 ?1? ? =2,即(sin α +cos α )2+? ?2=2,故(sin α +cos α )2= ;又 α ∈?0, ?, 2? 4 ?2? ? 因此有 sin α +cos α = 7 cos 2α cos2α -sin2α , 所以 = 2 π? ? 2 sin?α - ? 4 ? 2 ? sin α -cos α ? ? =- 2

(sin α +cos α )=- 答案 - 14 2

14 . 2

三、解答题 ?5π ? +α ? sin? 2 2 5 ? ? 13.已知 sinα = ,求 tan(α +π )+ 的值. 5 ?5π ? -α ? cos? ? 2 ? 2 5 解析 ∵sinα = >0,∴α 为第一或第二象限角. 5 当 α 是第一象限角时,cosα = 1-sin2α = ?5π ? +α ? sin? cosα ? 2 ? tan(α +π )+ =tanα + sinα ?5π ? -α ? cos? ? 2 ? sinα cosα 1 5 = + = = . cosα sinα sinα cosα 2 当 α 是第二象限角时,cosα =- 1-sin2α =- 1 5 原式= =- . sinα cosα 2 1+tan? π +α ? 1+tan? 2π -α ? 5 , 5 5 , 5

14.已知

=3+2 2,

?3π ? ?π ? 2 +α ??cos ? +α ?+2sin2(α -π )的值. 求 cos (π -α )+sin ? 2 2 ? ? ? ? 解析:由已知得 ∴tan α = 1+tan α =3+2 2, 1-tan α

2+2 2 1+ 2 2 = = . 4+2 2 2+ 2 2 ?π ? ? +α ?+2sin2(α -π ) 2 ? ?

?3π ? +α ?cos ∴cos2(π -α )+sin ? 2 ? ?

=cos2α +(-cos α )(-sin α )+2sin2α =cos α +sin α cos α +2sin α cos2α +sin α cos α +2sin2α = sin2α +cos2α 1+tan α +2tan α = 1+tan2α 2 1+ +1 2 4+ 2 = = . 1 3 1+ 2 15.化简: sin? kπ -α ? cos[? k-1? π -α ] (k∈Z). sin[? k+1? π +α ]cos? kπ +α ?
2 2 2

解析 当 k=2n(n∈Z)时, sin? 2nπ -α ? cos[? 2n-1? π -α ] 原式= sin[? 2n+1? π +α ]cos? 2nπ +α ? sin? = -α ? ?cos? -π -α ? sin? π +α ? ?cos α = -sin α ? -cos α ? -sin α ?cos α =-1;

当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[? 原式= sin[? 2n+1? π -α ]?cos[? 2n+1-1? 2n+1+1? π +α ]?cos[? 2n+1? π -α ] π +α ] =-1.

sin? π -α ? ?cos α sin α ?cos α = = sin α ?cos? π +α ? sin α ? -cos α ? 综上,原式=-1.

16.已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ ,θ ∈ (0,2π ),求:

sin2θ cos θ (1) + 的值; sin θ -cos θ 1-tan θ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. 解析 (1)原式= sin2θ cos θ + sin θ -cos θ sin θ 1- cos θ

sin2θ cos2θ = + sin θ -cos θ cos θ -sin θ sin2θ -cos2θ = =sin θ +cos θ . sin θ -cos θ 由条件知 sin θ +cos θ = 3+1 , 2

sin2θ cos θ 3+1 故 + = . sin θ -cos θ 1-tan θ 2 (2)由 sin2θ +2sin θ cos θ +cos2θ =1+2sin θ cos θ ? 3+1?2 3 ? ,即 m= . =(sin θ +cos θ )2,得 1+m=? 2 ? 2 ?

(3) 由

?sin ? ? ?sin ?

θ +cos θ =

3+1 , 2

3 θ ?cos θ = 4



?sin ? ? ?cos ?

θ =

3 , 2

1 θ = 2



?sin ? ? ?cos ?

1 θ = , 2 θ = 3 . 2 π π 或θ = . 6 3

又 θ ∈(0,2π ),故 θ =


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