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【高中数学必修4学习课件】——人教A版2-3-4平面向量共线的坐标表示



第二章

平面向量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.4 预习篇

平面向量共线的坐标表示 提高篇

课堂篇

巩固篇

课时作业

学习目标
1.记住两个向量共线的坐标表示. 2.能够应用

向量共线的坐标表示解决相关问题.

重点难点
重点:向量共线的坐标表示; 难点:向量共线的坐标表示的应用.

预习篇01
新知导学

两个向量共线的坐标表示

(1)向量a,b共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b? x1y2-x2y1=0 .

(2)向量共线的坐标表示的推导 ①设a=(x1,y1),b=(x2,y2)≠0,则a∥b?a=λb(λ∈R). 上式若用坐标表示,可写为a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2) ,
? ?x1=λx2, 即a∥b?? ? ?y1=λy2

? x1y2-x2y1=0.

②设a=(x1,y1),b=(x2,y2)=0时,a∥b? x1y2-x2y1=0 .综上①②,向量共线的坐标表示为a∥b? x1y2-x2y1=0 .

1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2-x2y1=0, 是否对于任意两向量都成立?还需注明b≠0吗? 答:在共线向量定理中a∥b?a=λb(λ∈R)必需注明 b≠0,而在“本问”中当b=0时也成立,故不需注明b≠0.

2.当两个非零向量共线时,通过坐标如何判断它们是 同向还是反向? 答:当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同 向.当两个向量的对应坐标异号或同为零时,反向. 例如,向量(1,2)与(-1,-2)反向;向量(1,0)与(3,0)同 向.

1.对向量共线条件的理解 (1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),由x1y2-x2y1=0成 立,可判断a与b共线;反之,若a与b共线,它们的坐标应 满足x1y2-x2y1=0. (2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共 x1 y1 线,故在x2y2≠0的条件下,a与b共线的条件可化为 x = y , 2 2 即两向量共线的条件为相应坐标成比例.

2.三点共线问题 (1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A、B、C三点 共线的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0. (2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两 种方法: ①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2 -y1)是否为0. → → ②任取两点构成向量,计算出两向量如 AB , AC ,再通 过两向量共线的条件进行判断.

课堂篇02
合作探究

向量共线的判定

【例1】

判断下列向量a与b是否平行:

1 3 (1)a=(2,4),b=(-2,-3); (2)a=(0.5,4),b=(-8,64); (3)a=(2,3),b=(3,0).

【解】 ∴a∥b.

1 3 3 3 (1)2×(-3)-4×(-2)=-2+2=0,

(2)0.5×64-4×(-8)=32+32=64≠0, ∴a与b不平行. (3)2×0-3×3=0-9=-9≠0,∴a与b不平行.

通法提炼 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2 -x2y1=0时,向量a,b共线.对条件的理解有两方面的含 义:由x1y2-x2y1=0,可判定a,b共线;反之,若a,b共 线,则x1y2-x2y1=0.

平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1), 若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.a+kc与2b-a是同向还 是反向?

解:∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2) +(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4) -(3,2)=(-5,2), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0.∴k=-13. 25 10 此时a+kc=(-13,13),2b-a=(-5,2). 5 ∴a+kc=13(2b-a). 5 ∵13>0,∴a+kc与2b-a同向.

三点共线问题

→ → → 【例2】 设向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC = (10,k),求当k为何值时,A、B、C三点共线. 【分析】 (1)本题的制约条件是什么?如何表达

→ → 这一条件?(A、B、C三点共线,即AB∥AC) (2)利用两向量共线求参数有哪些思路?(有两种: ①利用共线向量定理a=λb,列方程组求解;②利用共 线向量的坐标形式x1y2-x2y1=0直接求解)

【解】 线,

→ → 法一:∵A、B、C三点共线,即 AB 、 AC 共

→ → 则存在实数λ,使得AB=λAC, → → → ∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → AC=OC-OA=(10-k,k-12). ∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),
? ?4-k=λ?10-k? 即? ? ?-7=λ?k-12?

,解得k=-2或k=11.

→ → 法二:由题意知AB、AC共线, → → → ∵AB=OB-OA=(4-k,-7), → → → AC=OC-OA=(10-k,k-12), ∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0, ∴k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.

通法提炼 三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只 需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是 一致的.利用向量平行证明三点共线需分两步完成: ?1?证明向量平行; ?2?证明两个向量有公共点.

→ → → 已知OA=(1,1),OB=(3,-1),OC=(a,b). (1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系; → → (2)若AC=2AB,求点C的坐标.

→ → → → → 解:(1)由题意知, AB = OB - OA =(2,-2), AC = OC → → → - OA =(a-1,b-1),若A,B,C三点共线,则 AB ∥ AC , 即2(b-1)-(-2)(a-1)=0,故a+b=2. → → (2)∵AC=2AB,∴(a-1,b-1)=(4,-4),
? ?a-1=4, ∴? ? ?b-1=-4, ? ?a=5, ∴? ? ?b=-3,

即C(5,-3).

向量共线坐标表示的应用

【例3】

在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),

→ 1→ → 1→ B(4,3), OC = 4 OA , OD = 2 OB ,AD与BC交于点M,求 点M的坐标. 【分析】 程组求解. 充分利用向量共线的坐标表示,列出方

【解】

∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3),

→ → ∴OA=(0,5),OB=(4,3). 1→ 5 → ∵OC=(xC,yC)= OA=(0, ), 4 4 5 ∴点C的坐标为(0,4). 3 7 → 同理可得点D的坐标为(2, ),从而AD=(2,- ). 2 2

→ 设点M的坐标为(x,y),则AM=(x,y-5). → → ∵A,M,D三点共线,∴AM与AD共线. 7 ∴-2x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 5 → 易知CM=(x,y-4), 5 7 → CB=(4-0,3-4)=(4,4).

→ → ∵C,M,B三点共线,∴CM与CB共线. 7 5 ∴4x-4(y-4)=0,即7x-16y=-20.② 12 由①②得x= ,y=2. 7 12 ∴点M的坐标为( ,2). 7

通法提炼 关于解决点共线或向量共线问题,主要是求出相关向 量的坐标,利用向量共线的坐标表示列出方程?方程组?来解 决.

已知A,B,C三点坐标分别为(-1,0),(3,-1), → 1→ → 1→ → → (1,2),AE=3AC,BF=3BC,求证:EF∥AB.

证明:设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). → → → 由题意,知 AC =(2,2), BC =(-2,3), AB =(4,-1), → → AE=(x1+1,y1),BF=(x2-3,y2+1), → 1→ 2 2 又AE=3AC=(3,3), 2 → 1→ BF=3BC=(-3,1), 2 2 所以(x1+1,y1)=( , ), 3 3

2 (x2-3,y2+1)=(-3,1). 1 2 7 所以(x1,y1)=(-3,3),(x2,y2)=(3,0). → 所以EF=(x2,y2)-(x1,y1) 7 1 2 ( ,0)-(- , ) 3 3 3 8 2 =(3,-3).

2 8 因为4×(-3)-(-1)×3=0, → → 所以EF∥AB.

提高篇03
自我超越

——易错警示系列—— 将向量平行的充要条件记错 易将平面向量共线的坐标表示记错,对于a∥b?x1y2- x1 x2y1=0,要充分理解其推导的过程,并结合另一种形式 x 2 y1 = (x2y2≠0)比较记忆. y2

【例】

如图所示,已知点A(2,0),B(2,2),C(1,3),求

AC和BO的交点D的坐标.

【错解】

→ → → 因为OD,OB共线,所以存在实数λ,使OD

→ =λOB=λ(2,2)=(2λ,2λ), → → → 从而AD=OA-OD=(2-2λ,-2λ), → → → AC=OA-OC=(1,-3), → → 由AC与AD共线, 1 可知(2-2λ)· 1-(-2λ)· (-3)=0,解得λ= , 4

1 1 → 所以OD=(2λ ,2λ)=(2,2), 1 1 所以点D的坐标为(2,2).

【错因分析】

错解中有两个错误:(1)两向量相减,

箭头方向应指向被减向量;(2)将两向量共线(平行)的坐标 表示记错,不是x1x2-y1y2=0,而应该是x1y2-x2y1=0.

【正解】

→ → 因为OD,OB共线,

→ → 所以可设OD=λOB=(2λ,2λ),λ∈R, → → → 从而AD=OD-OA=(2λ-2,2λ), → → → AC=OC-OA=(-1,3), → → 由AC,AD共线(平行), 3 可知(2λ-2)×3-2λ×(-1)=0,所以λ= , 4

3 3 → 所以OD=(2λ,2λ)=(2,2), 3 3 所以点D的坐标为(2,2).

已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平 行,则实数x的值是________.

解析:a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2). ∵a+b与4b-2a平行,∴3(4x-2)-6(1+x)=0, 即4x-2=2(1+x).∴x=2.
答案:2

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