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圆锥曲线考题



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绝密★启用前

xxx 学校 2015-2016 学年度 11 月同步练习
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx
题号 得分 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明
评卷人 得分

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 0 分,共 0 分)
1. 已知椭圆 A. 10 2. =1(a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为( B. 20 C. D. )

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 设双曲线 a 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则此双曲线的离心率为(
6 A. 2
3.

) .

3 B. 2

2 C. 2

3 D. 2

已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐
2

??? ? ??? ?

标原点) ,则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是( ▲ ) A. 4. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰为双曲线
2

2 8

B.

2 4

C.

2 2

D. 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,且两曲线交点的 a 2 b2

连线过点 F ,则双曲线的离心率为(



A .2? 2
5.

B .1 ? 2

C .2

D. 2

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x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( ) 如果方程 m ? 2 m ?1
A. (??,?2) ? (?1,??) 6. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰为双曲线
2

B. ( ?1,1)

C. (?2,?1)

D. (?3,?2)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,且两曲线交点的 a 2 b2

连线过点 F ,则双曲线的离心率为( )

A .2? 2
7. 如果方程

B .1 ? 2

C .2

D.

2

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( m ? 2 m ?1
B. (??,?2) ? (?1,??) C. ( ?1,1)

) D. (?3,?2)

A. (?2,?1) 8.

已知直线 l1 :4x-3y+6=0 和直线 l 2 :x=-1,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之
2

和的最小值是( A.2 9.

) B.3 C.

11 5

D.

37 16

抛物线 y ? ax 2 的准线方程为 y ? 2 ? 0 ,则 a 的值是( A.8 10. B. ?8 C.
1 8

) D. ?
1 8

x2 y 2 已知 A, B 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 长轴的两个端点, M , N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点,直线 a b
AM , BN 的斜率分别为 k1 , k2 (k1k 2 ? 0) ,若椭圆的离心率为
A. 1 11. B. 2 C. 3

3 ,则 | k1 | ? | k 2 | 的最小值为( 2
D. 2



x2 x2 2 ? y ? 1 与双曲线 ? y 2 ? 1 有相同的焦点 F1、F2,P 是这两条曲线的一个交点,则 ?F1 PF2 若椭圆 4 2
的面积是( )
答案第 2 页,总 11 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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的最小值是( )

已知点 P 为抛物线 y ?

A.8 B.

A.4 B.2

19 2
C.10

C.1

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17 1 2 x 上的动点, 点 P 在 x 轴上的射影为 M, 点 A 的坐标是 (6, ) , 则 PA ? PM 2 2

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D.

D.

1 2

21 2

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第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 0 分,共 0 分)
13. 设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过点 P(﹣1,0)的直线 l 交抛物线 C 于两点 A,B,点 Q 为线段 AB 的 中点,若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于 14. 设点 P 是椭圆 .
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 3b 2 的一个交点,F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点, a2 b2


且 | PF1 |? 3 | PF2 | ,则椭圆的离心率为 15. 过椭圆 16. 设 P( x, y ) 是椭圆 评卷人

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F 的弦中最短弦长是 16 9



x2 y 2 ? ? 1 上的一点,则 2 x ? y 的最大值是 9 4

.

得分

三、 解答题 (本题共 6 道小题,第 1 题 0 分,第 2 题 0 分,第 3 题 0 分,第 4 题 0 分,第 5 题 0 分,第 6 题 0 分,共 0 分)

17.
2 y2 求与双曲线: x ? ? 1 有相同焦点,且经过点( 3 2 ,2)的双曲线标准方程,并写 16 4

出其顶点坐标,焦点坐标,离心率,渐近线方程.[来 18.中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 轴与双曲线半实轴之差为 4,离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. 19.已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4.
2 2

,椭圆的长半

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB, 求线段 AB 长度的最小值.

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20.(本题 13 分) P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点, M , N 分别 a2 b2
1 . 5

是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 (1) 求双曲线的离心率;

(2) 过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点, C 为双曲线上一 点,满足 OC ? ? OA ? OB ,求 ? 的值. 21.设椭圆
---? ---? ---?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 y2 2 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 2 a b 2

椭圆截得的线段长为 2 . (1) 求椭圆方程; (2) 过点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,当 ?OAB 面积最大时, 求 AB .
22.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 的焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P ( 2 , 3) , Q ( 2 , ? 3) 在椭圆上, A 、 B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点. ①若直线 AB 的斜率为

1 ,它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

②当 A 、 B 运动时,满足于 ?APQ ? ?BPQ ,试问直线 AB 的斜率是否为定值?若是,请求出定值, 若不是,请说明理由.
y P B A O Q x

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试卷答案
1.D

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据椭圆 =1,得出 b=5,再由|F1F2|=8,可得 c=4,求得 a= ,运用定义整体求解△ABF2

的周长为 4a,即可求解. 解答: 解:由|F1F2|=8,可得 2c=8,即 c=4, 由椭圆的方程 =1(a>5)得:b=5,

则 a=

=



由椭圆的定义可得, △ABF2 的周长为 c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=4 故选:D. 点评:本题考查了椭圆的方程,定义,整体求解的思想方法,属于中档题. 2.A .

3.B

4.B

5.C

6.B

7.A

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8.A

9.C

10.A

11.C

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

12.B

13.不存在

考点:直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由题意设直线 l 的方程为 my=x+1,联立 得到 y ﹣4my+4=0,△=16m ﹣16=16(m ﹣1)>
2 2 2

0.设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) .利用根与系数的关系可得 y1+y2=4m,利用中点坐标公式可得 =2m,x0=my0﹣1=2m ﹣1.Q(2m ﹣1,2m) ,由抛物线 C:y =4x 得焦点 F(1,0) .再利用两 点间的距离公式即可得出 m 及 k,再代入△判断是否成立即可. 解答: 解:由题意设直线 l 的方程为 my=x+1,联立 ﹣1)>0. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) . ∴y1+y2=4m,∴ ∴Q(2m ﹣1,2m) , 由抛物线 C:y =4x 得焦点 F(1,0) . ∵|QF|=2,∴ 故满足条件的直线 l 不存在.
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2 2 2 2 2

得到 y ﹣4my+4=0,△=16m ﹣16=16(m

2

2

2

=2m,∴x0=my0﹣1=2m ﹣1.

2

,化为 m =1,解得 m=±1,不满足△>0.

2

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故答案为不存在. 点评:本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间 的距离公式等基础知识,考查了推理能力和计算能力.

14.

14 4

15.

9 2

16. 2 10

17.

?a 2 ? b2 ? 20 2 2 ? y2 ? ?a ? 12 由题意得, ?18 4 ,所求双曲线标准方程为: x ? ?1 解得 ? 2 12 8 ? 2 ?1 ?b ? 8 2 ? ? b ?a

顶点( ? 2 3,0);焦点( ? 2 5,0); 离心率 e ? c ? 15 ; a 3 渐近线方程y= ? 6 x. 3

18. 略 19.
答案第 8 页,总 11 页

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

20.

(1)点 P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上,有 a2 b2

2 2 y0 y0 x0 y0 1 ? ? ,可得 a 2 ? 5b 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 6b 2 ? 2 ? 1 ,由题意又有 2 x0 ? a x0 ? a 5 a b

则e ?

c 30 ? a 5
? x 2 ? 5 y 2 ? 5b 2 2 2 ,得 4 x ? 10cx ? 35b ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) y ? x ? c ?

(2)联立 ?

5c ? x1 ? x 2 ? ? ---? ---? ---? ---? ? x3 ? ?x1 ? x 2 ? 2 OC ? ? OA ? OB 则? ,设 , ,即 OC ? ( x , y ) ? 3 3 2 ? y3 ? ?y1 ? y 2 ? x x ? 35b 1 2 ? 4 ?
又 C 为双曲线上一点,即 x3 ? 5 y3 ? 5b ,有 (?x1 ? x2 ) ? 5(?y1 ? y2 ) ? 5b
2 2 2
2 2 2

化简得: ?2 ( x1 ? 5 y1 ) ? ( x2 ? 5 y2 ) ? 2? ( x1x2 ? 5 y1 y2 ) ? 5b2
2 2 2 2

又 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 在双曲线上,所以 x1 ? 5 y1 ? 5b2 , x2 ? 5 y2 ? 5b2 由(1)式又有

2

2

2

2

x1 x2 ? 5 y1 y2 ? x1 x2 ? 5( x1 ? c)(x2 ? c) ? ?4x1 x2 ? 5c( x1 ? x2 ) ? 5c 2 ? 10b 2
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得: ?2 ? 4? ? 0 ,解出 ? ? 0 ,或 ? ? ?4

21. 略 22.解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 c 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 b ? 2 3 .由 ? , a 2 ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 2 a 2 a b

x2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 16 12
(2)①解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? 得 x 2 ? tx ? t 2 ? 12 ? 0 由 ? ? 0 ,解得 ? 4 ? t ? 4 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ?t , x1 x 2 ? t ? 12 .四边形 APBQ 的面积 S ?
2

x2 y 2 1 ? 1, x ? t , 代入 ? 16 12 2

1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 ∴ 2

当 t ? 0 , S max ? 12 3 . ②解:当 ?APQ ? ?BPQ ,则 PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k

答案第 10 页,总 11 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

… … … … ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … … 略 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

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? y ? 3 ? k ( x ? 2)??? (1) ? 由 ? x2 y 2 ? 1?? (2) ? ? ?16 12



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