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广东省2015届高三数学(理)一轮复习参考试题:概率和统计



概率和统计
2015 2014 2 2013 2 2012 2

1.【2014 广东(理)高考 6】 【题文】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如 图 2 所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2% 的学生进 行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A. 200 , 20

D. 100 , 10 【答案】A

B. 100 , 20

C. 200 , 10

2.【2013 广东(理)高考 4】已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 X 的数学期望 E(X)=( A. ). 1 2 3

3 5

3 10

1 10

3 2

B .2

C.

5 2

D .3

【答案】A

3.【2012 广东(理)高考 7】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数 为 0 的概率是( A. ) B.

4 9

1 3

C.

? ?

D.

? ?

【答案】D

4.【2013 广东(理)高考 17】 (本小题满分 12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,

他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其 中茎为十位数,叶为个位数.

(1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有 几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 【答案】(1) 22 (2) 4 (3)

16 33

5.【2014 广东(理)高考 17】 (本小题满分 13 分)随机观测生产某种零件 的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:

30 . 42 . 41 . 36 . 44 . 40 . 37 . 37 . 25 . 45 . 29 . 43 . 31 . 36 . 49 . 34 . 33 . 43 . 38 . 42 . 32 . 34 . 46 . 39 . 36 ,根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组 频数
[来源:学科网]

频率

?25,30? ?30,35?
?35,40? ? 40,45? ? 45,50?

3 5

0.12 0.20

8

0.32

n1 n2

f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1 . n 2 . f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1人的日加工零件数落在区间

?30,35? 的概率.
【答案】 : (1) n1 ? 7, n2 ? 2 , f1 ? 0.28, f 2 ? 0.08 ; (2)样本频率分布直方图为
频率 组距

0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率 0.2, 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 ? ,则 ? ~ B(4, 0.2) ,

P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? 0.2)4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904 ,
所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为 0.5904. 6.【2012 广东(理)高考 17】 (本小题满分 13 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率 分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成 绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

【答案】 : (1)图中 x 所对应的组为[80,90]即第五组,

f5 ? 1 ?10 ? (0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054) ? 0.18,
x ? 0.018

所以

(2)由题意知道:不低于 80 分的学生有 12 人,90 分 以上的学生有 3 人 随机变量 ? 的可能取值有 0,1,2 ∴ P(? ? 0) ?
1 1 C92 6 C9 C3 9 C32 1 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? ? 分布列为: , , , 2 2 2 C12 11 C12 22 C12 22

?

0

1

2
1 22

6 9 11 22 6 9 1 11 1 ? ? ? 的数学期望 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 11 22 22 22 2

p

7 错误!未指定书签。 . (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)下列四个命题中,

正确的是 A.已知 ? 服从正态分布 N 0, ? 2 ,且 P?? 2 ? ? ? 2? ? 0.4 ,则 P?? ? 2? ? 0.2 B.已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 1;命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 .则命题“ p ? ?q ”是假 命题 C.设回归直线方程为 y ? 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位 D.已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? by ? 1 ? 0 ,则 l1 ? l 2 的充要条件是
【答案】B 错误!未指定书签。 8. (广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 9 月三校联考数学(理) 试题)已知 ?





?

?

a =-3 b

~ N (3, ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于
B. 0 . 3 C. 0 . 7 D. 0 . 8





A. 0 . 2
【答案】D

错误!未指定书签。 9 . (广东省十校 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题)学校为了解

学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n 个同学进行调查,结果显示这些同学 的支出都在 [10,50)(单 位:元),其中支出在 ?30,50? (单位:元)的同学有 67 人,其频率分布直方图如右 图所示,则 n 的值为 A.100 ( B.120 C.130 D.390 )

【答案】A 错误!未指定书签。 10. (广东省中山二中 2014 届高三 9 月第一次月考数学理试题)设随机变

量错误!未找到引用源。服从正态分布错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。的值为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 【答案】A 错误! 未指定书签。 11. (广东省十校 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题) 在区间 [ ?5,5] 内随机地取出一个数 a ,使得 1?{x | 2 x2 ? ax ? a2 ? 0} 的概率为________.
【答案】

( ) C.5 D.3

3 2 2 2 由 1 ? x | 2 x ? ax ? a ? 0 ,得 a ? a ? 2 ? 0 ? ?1 ? a ? 2 , 10

?

?

所以所求概率为

3 . 10

12 错误!未指定书签。 . (广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 9 月三校联考数学(理)

试题)某小学对学生的身高进行抽样调查,如图,是将他们的身高(单位:厘米)数据绘制的频

率分布直方图.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样 的方法选取 18 人,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为____.

【答案】3 13 错误! 未指定书签。 ( .广东省佛山市南海区 201 4 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试题 )

如图所示, EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆 内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形 OHE (阴影 部分)内”,则 P( B | A) ? ____________.

【答案】

1 4

14 错误!未指定书签。 . (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题)在区间

[0, 2] 上随机取一个数 a ,在区间 [0, 4] 上随机取一个数 b ,则关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? b ? 0
有实根的概率是______.
【答案】

1 3

15 错误!未指定书签。 . (广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题)右图是某

高三学生进入高中三年来第 1 次到 14 次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中 位数为__________. 7 8 9 10 11 9 638 3988415 31 4

【答案】从茎叶图中可知 14 个数据排序为:79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114

中位数为 94 与 95 的平均数 94.5 .
16 错误!未指定书签。 . (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)

已知一盒子中有围棋子 10 粒,其中 7 粒黑子,3 粒白子,从中任意取出 2 粒,若 ? 表示取得白 子的个数,则 ? 的数学期望 E? = _______________ .
【答案】

3 5

17 错误!未指定书签。 . (广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题)在区间

3? 上随机取一个数 x ,使得 x ?1 ? x ? 2 ? 5 成立的概率为__________. ?-3,
【答案】

5 6

18 错误!未指定书签。 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)从某地高中

男生中随机抽取 100 名同学,将他们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直方图(如图).由 图中数据可知体重的平均值为___kg; 若要从体重在[ 60 , 70),[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动,再从这 12 人选两人当正负队长,则这两人身高不在同一组内的概率为 _________. 频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 体重(kg)

【答案】 64 .5

2 3

19 错误!未指定书签。 . (2013-2014 学年广东省(宝安中学等)六校第一次理科数学联考试题)

如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内(含正方体表面)任取一点 M ,则

AA 1 ? AM ? 1 的概率 p ? _____.

D1 A1

C1

M D

B1
C

A
【答案】

B
3 ; 4

20 错误!未指定书签。 . (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)甲乙丙三人商量

周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意.最 终,商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分乙 得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得 4 分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所需抛 币次数为 ? . ⑴求 ? =6 的概率; ⑵求 ? 的分布列和期望.
【答案】解:(1) P ??

?1? ?1? 1 5 ? 6? ? 2 ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 16
3 5

3

2

(2)分布列为:

?

4

5

6

7

P

1 8

1 4

5 16

5 16

1 1 5 5 93 E? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 4 16 16 16 ∴
21 错误!未指定书签。 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)乒乓球单打

比赛在甲、 乙 两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制( 即先胜 4 局者获胜,比赛结束),假设 两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的 分布列.
【答案】解:(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是

1 2

记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A, 1 1 1 3 1 则 P(A)= C4 ( )3·( )4-3· = 2 2 2 8 (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.

因为乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1= C5 ?

3

?1? ?1? ? ·? ? ?2? ?2? ?1? ? ?2?
6 ?3

3

5?3

1 5 · = , 2 32

乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2= C3 6 ? ? ·? 5 所以 P(B)=P1+P2= 16

?1? ?2?

3

1 5 · = , 2 32

22 错误!未指定书签。 . (广东省揭阳一中等 2014 届高三上学期开学摸底联考数学理试题 )某

超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数(人) 结算时间(分钟/人)

x
1

30 1.5

25 2

y
2.5
[来源:Zxxk.Com]

10 3

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客 结算前的等候时间不超过 ...2 钟的概率.(注:将频率视为概率)
【答案】解:(1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得
p( X ? 1) ? 15 3 30 3 25 1 ? , p( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4

p ( X ? 2.5) ?

20 1 10 1 ? , p( X ? 3) ? ? . 100 5 100 10

??

的分布为 ?? X 1 1.5 2 2.5 3

P

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

X 的数学期望为 E ( X ) ? 1? 3 ? 1.5 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2.5 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1.9 20 10 4 5 10 (Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算 前的等候时间不超过 2 钟”, X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第 i 位 顾客的结算时间,则

P( A) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5且X 2 ? 1)
由于顾客的结算相互独立,且 X1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
? 3 3 3 3 3 3 9 ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80

9 80 23 错误!未指定书签。 . (广东省韶关市 2014 届高三摸底考试数学理试题)某高校在 2011 年自 主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组 [80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率;

故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为

(2)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试. ① 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组,求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率; ② 学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试,设第4组中有X名学生被考官 面试,求X的分布列和数学期望. 频率 组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数

【答案】(1) 解:

第三组的频率为0.06 ? 5=0.3; 第四组的频率为0.04 ? 5=0.2; 第五组的频率为0.02 ? 5=0.1 (2)解: ① 设学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的事件为 M

则 P( M ) ?

1 C 28 1 ? 3 C30 145

②X的可能取 0,1, 2 ,抽取的6人中,第3,4,5组人数分别为3,2,1人

P( X ? 0) ?

1 2 C3 ? 1 ? C3 6 ? 2 C6 15 1 1 1 C2 ? C3 ? C2 8 ? 2 C6 15 2 C2 1 ? 2 C6 15

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

X P

0

1

2

2 5

8 15

1 15

E?X ? ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3

24 错误!未指定书签。 . (广东省珠海市 2014 届高三 9 月开学摸底考试数学理试题)某大学一个

专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件,其中有 A、 B、 C 三种软件投入使用,经一学年 使用后,团队调查了这个专业大一四个班的使用情况,从各班抽取的样本人数如下表: 班级 一 二 三 四 人数 3 2 3 4 (1)从这 12 人中随 机抽取 2 人,求这 2 人恰好来自同一班级的概率; (2)从这 12 名学生中,指定甲、 乙、 丙三人为代表,已知他们下午自习时间每人选择一款软件, 其中选 A、B 两个软件学习的概率都是

1 ,且他们选择 A、B、C 任一款软件都是相互独立的. 6

设这三名学生中下午自习时间选软件 C 的人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

【答案】解:(1)设“从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级”的事件为 M

则 P( M ) ?

2 2 C32 ? C2 ? C32 ? C4 13 ? 2 C12 66

答:从这 12 人中随机抽取 2 人,这 2 人恰好来自同一班级的概率是

13 66

1 2、 3 (2) ? ? 0 、、
由题设知,每个 人选软件 C 概率均为

2 3

? P(? ? 0) ? ( )3 ?

1 1 3 27 1 2 2 1 P (? ? 1) ? C3 ( )2 ? ? 3 3 9 1 2 4 P (? ? 2) ? C32 ? ? ( ) 2 ? 3 3 9 2 8 P (? ? 3) ? ( )3 ? 3 27

? 的分布列如下 ?
0

1
2 9

2
4 9

3

P

1 27

8 27

? 的期望是 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2 27 9 9 27



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