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2013年高考数学40个考点总动员 考点28 直线与圆(教师版) 新课标



2013 年新课标数学 40 个考点总动员 考点 28 直线与圆(教师版)
【高考再现】 热点一 直线的方程与位置关系 1.(2012 年高考辽宁卷文科 7)将圆 x2+y2 -2x-4y+1=0 平分的直线是 (A)x+y-1=0 【答案】C 【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选 C 2.(2012 年高考浙江卷理科 3)设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 (B) x+y+3=0 (C)x-y+1=0 (D)x-y+3=0

l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.(2012 年高考湖北卷文科 5)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分 两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0

4.(2012 年高考上海卷理科 4)若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小 为 (结果用反三角函数值表示). 【答案】 arctan 2 【解析】设直线的倾斜角为 ? ,则 tan ? ? 2, ? ? arctan 2 .

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热点二 圆的方程和性质 5.(2012 年高考山东卷文科 9)圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

(1)若 ?BFD ? 90 0 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2) 若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【解析】(1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p

S ?ABD ? 4 2 ?

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8 . (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B (? x0 , p ?

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【方法总结】 1.利用圆的几何性质求方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而 写出方程. 2.利用待定系数法求圆的方程:(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,则设圆的标 准方程,依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组,从而求出 a,b,r 的值; (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件 列出关于 D,E,F 的方程 组,从而求出 D,E,F 的值. 热点三 直线与圆的位置关系 7.(2012 年高考广东卷文科 8)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x?+y? =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1

8. (2012 年高考天津卷理科 8)设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆

(x ? 1) 2 +(y ? 1) 2 =1 相切,则 m+n 的取值范围是(
(A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] 【答案】D

)

(B) ( ? ?,1 ? 3] [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] [2+2 2,+?)

【解析】 ∵直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) 2 +(y ? 1) 2 =1 相切,∴圆心 (1,1) 到直 线的距离为 d =

|(m ? 1)+(n ? 1) ? 2| (m ? 1) 2 +(n ? 1) 2

=1 ,所以 mn ? m ? n ? 1 ? (

m?n 2 ) ,设 t =m ? n , 2

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则 t 2 ? t +1 ,解得 t ? (??,2 ? 2 2] [2+2 2,+?) .

1 4

10.(2012 年高考重庆卷理科 3)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系 一定是( A.相离 ) B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心

【答案】 C 【解析】直线 y ? kx ? 1 过圆内内一定点 (0,1) . 11.(2012 年高考江西卷文科 14)过直线 x+y=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,

若两条切线的夹角是 60°,则点 P 的坐标是__________。

12. (2012 年高考天津卷文科 12)设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A, 与 y 轴相交于 B,且 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面 积的最小值为 【答案】3 【解析】 直线与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ), B ( 。

1 n

1 ,0) ,直线与圆相交所得的弦长为 m

2,圆心到直线的距离 d 满足 d 2 ? r 2 ? 12 ? 4 ? 1 ? 3 ,所以 d ? 3 ,即圆心到直线的距

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离d ?

1 1 1 1 1 ? 3 ,所以 m 2 ? n 2 ? 。三角形的面积为 S ? ,又 ? ? 2 m n 2 mn 3 m2 ? n2

?1

S?

1 1 1 ? 2 ? 3 ,当且仅当 m ? n ? 时取等号,所以最小值为 3 。 2 2 mn m ? n 6

13. (2012 年高考江苏卷 12)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为

x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆
与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .

14.(2012 年高考浙江卷理科 16)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 = 2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.

【方法总结】 1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

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>0?相交, 判别式 (1)代数法:― ― ― ― ― ― → =0?相切, 2 Δ =b -4ac <0?相离.

? ? ?

(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:d<r?相交,d=r?相 切,d>r?相离.

【考点剖析】 一.明确要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.会求两直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 4.掌握圆的标准方程和一般方程. 5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 6.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 二.命题方向

三.规律总结 一条规律 与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法: 一般地,平行的直线方程设为 Ax+By+m=0;垂直的直线方程设为 Bx-Ay+n=0. 两个防范 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有 斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑.

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|C1-C2| (2)在运用两平行直线间的距离公式 d= 2 时,一定要注意将两方程中的 x,y 系 A +B2 数化为分别相等. 三种对称 (1)点关于点的对称 点 P(x0,y0)关于 A(a,b)的对称点为 P′(2a-x0,2b-y0). (2)点关于直线的对称 设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点 P′(x′,y′),

y′-y ? ?x′-x ·k=-1, 则有? y′+y x′+x ? ? 2 =k· 2 +b,
0 0 0 0

可求出 x′,y′.

(1)求圆的方程需要三个独立条件,所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三 个独立方程. (2)过圆外一定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一个结果,应该考虑切线 斜率不存在的情况. 三个性质 确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
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一条规律 过圆外一点 M 可以作两条直线与圆相切,其直线方程可用待定系数法,再利用圆心到 切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可. 一个指导 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与“几何 法”是从不同的方面和思路来判断的,“代数法”侧重于“数”,更多倾向于“坐标” 与“方程”;而“几何法”则侧重于“形”,利用了图形的性质.解题时应根据具体条 件选取合适的方法. 两种方法

1.(人教 A 版教材习题改编)直线 ax+2y-1=0 与直线 2x-3y-1=0 垂直,则 a 的值为 ( ). A.-3 解析 答案 ( 4 B.- 3 C.2 D.3

? a? 2 由?- ?× =-1,得:a=3. ? 2? 3
D

2.(教材习题改编)圆心在 y 轴上,半径为 1 且过点(-1,2)的圆的方程为 ) A.x2+(y-3)2=1 B.x2+(y-2)2=1 C.(x-2)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=1 解析:设圆心(0,b),半径为 r.则 r=1.∴x2+(y-b)2=1. 又过点(-1,2)代入得 b=2,∴圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 3.(人教 A 版教材习题改编)已知圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置 ).

关系是(

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A.相切 C.相交过圆心

B.相交但直线不过圆心 D.相离

4.(2012·东北三校联考)圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是 ( ). A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

5.(2012·沈阳月考)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、B 两点,则|AB|= ________. 解析

如图,取 AB 中点 C, 连接 OC、OA. 则 OC⊥AB,|OA|=2 2, |OC|= |0-2×0+5| 12+ -
2

= 5,

∴|AC|= 8-5= 3, ∴|AB|=2|AC|=2 3. 答案 2 3

【名校模拟】 一.基础扎实 1.(2012 东城区普通高中示范校高三综合练习(二)理)已知直线 l 过定点 (?1,1) ,则 “直线 l 的斜率为 0”是“直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
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C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.(山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试文)过点 A(2,3)且垂直于直线

2 x ? y ? 5 ? 0 的直线方程为
A. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 7 ? 0 ] D. x ? 2 y ? 5 ? 0

3.(湖北钟祥一中 2012 高三五月适应性考试理)将直线 x+y+1=0 绕点(—1,0)逆时针 旋转 90°后,再沿 y 轴正方向向上平移 1 个单位,此时直线恰与圆 x2+(y—1)2=r2 相 切,则圆的半径 r 的值为 A、

2 . 2
答案:A

B、

3 2. 2

C、 2

D、1.

解析:由题意得,直线 x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 k ? ?1 ,逆时针旋转 900 时,直线的斜 率为 k ? 1 ,此时直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,余弦到直线的距离为 d ? 故选 A。 4.(中原六校联谊 2012 年高三第一次联考文)已知圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心 为抛物线 y2=4x 的焦点,且与直线 3x+4y+2=0 相切,则该圆的方程为( A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? )

2 2 , ?r? 2 2

64 64 B. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 25
D. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

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5.(河南省郑州市 2012 届高三第二次质量预测文)直线 平行,则 a 的值为 A. 2 B. C. D.

与直线 _

答案:D 解析:依题意得知, ?

a 1 5 a 且? ?? ? ,由此得知 a ? ? 2 ,选 D 4 2a 2a 2

7.(浙江省宁波市鄞州区 2012 届高三高考适应性考试(3 月)文)已知圆

C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 过点 A(?1,0) 的直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1 : 2 的两段圆弧,则直
线 l 的方程为 .

【答案】 x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 【解析】本题主要考查直线与圆的问题。 设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,直线 l 将圆 C 分成弧长之比为 1 : 2 的两段,则劣弧的 度数为 1200 ,因此圆心到直线的距离为 2 ,即 的方程为 x ? y ? 1 ? 0, x ? y ? 1 ? 0 。 8.(七校联考 数学试卷文)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 12 x ? 12 y ? 70 ? 0 都相切 的半径最小的圆的标准方程为
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2k k 2 ?1

? 2 解得 k ? ?1 ,所以直线 l

.

2 答案: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) =8

解析:如图所示:易得:所求的圆的方程为
y 6 5

1 O
2 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) =8

1

5

6

x

9. (七校联考 数学试卷文)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于 y 轴对称的直线方程 为 .

10. (2012 上海第二学学期七校联考理)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 3 对称的直线方 程为 .

答案: x ? 2 y ? 7 ? 0 解析:设 M(x,y)为所求直线上的任意一点,则其对称点为(6-x,y) 从而有: 6 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 所以直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 3 对称的直线方程为: x ? 2 y ? 7 ? 0 二.能力拔高 11.(湖北省武汉外国语学校 钟祥一中 2012 届高三 4 月联考文)已知从点 (?2,1) 发出

的一束光线,经 x 轴反射后,反射光线恰好平分圆: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的圆周,则 反射光线所在的直线方程为( A. 3 x ? 2 y ? 1 ? 0 ) B. 3 x ? 2 y ? 1 ? 0

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C. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

D. 2 x ? 3 y ? 1 ? 0

12.(成都市 2012 届高中毕业班第二次诊断性检测理)设直线 数) ,圆 ,则

(m 为常

(A) 当 m 变化时,直线 L 恒过定点(-1,1 (B) 直线 L 与圆 C 有可能无公共点 (C) 若圆 C 上存在关于直线 L 对称的两点,则必有 m=0 (D) 若直线 l 与圆 C 有两个不同交点 M、N,则线段 MN 的长的最小值为

13. (山西省 2012 年高考考前适应性训练理)直线 x sin ? ? y cos ? ? 1 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 的 公共点的个数为( ) A.0,1 或 2 【答案】 B B.2 C.1 D.0

【解析】依题意,圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 的圆心坐标是 ?1,.0 ? ,注意到圆心 ?1,.0 ? 到直线

x sin ? ? y cos ? ? 1 ,即 x sin ? ? y cos ? ? 1 ? 0 的距离等于

sin ? ? 1 sin 2 ? ? cos 2 ?

? sin ? ? 1 ? 2 ? 3 ,圆心到直线 x sin ? ? y cos ? ? 1 的距离小于半径,

因此该直线与该圆相交,它们的公共点个数是 2 ,选 B.

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15.(2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试文)已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点

D 使 AB ? 3 AD , E、F 为另一直径的两个端点,则 DE ? DF ? A. ?3 B. ?4 C. ?8 D. ?6
【答案】C 【解析】 DE ? DF ? ( DO ? OE ) ? ( DO ? OF )

??? ( DO ? OE ) ? ( DO ? OE ) ? 1 ? 9 ? ?8 .故选 C.
16. (湖北文科数学冲刺试卷(二))

17.(2012 届高三年级第二次综合练习文)直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交
2 2

于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,则实数 k 的值是



【答案】 ? 或0
【解析】令 A( x1 , kx1 ? 3), B ( x2 , kx2 ? 3) ∴ ?

3 4

?

y ? kx ? 3

2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4

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6 ? 2k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? k ?1 ∴ (k 2 ? 1) x 2 ? (2k ? 6) x ? 6 ? 0 ∴ ? ? xx ? 6 1 2 ? k 2 ?1 ?
∵ | AB |?

( x1 ? x2 ) 2 ? (kx1 ? kx2 ) 2 ? 2 3

∴ (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) 2 ? 12 ∴ (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 12

(6