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正弦定理


博山区实验中学 2014 级数学导学案

编制人:韩天天

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课题:正弦定理
【学习目标:】 1、 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; 2、 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 【学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用. 【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【学习过程: 】 一、 课前导学: Rt ? ABC 中 , 设 BC=a,AC=b,AB=c, , 有

a b c ? sin A , ? sin B , 又 s i C n? ? 1 则 c c c

a
sin A

?

b
sin B

?

c
sinC

?c

那么对于任意的三角形, 以上关系式是否仍然成立?可分为锐角

三角形和钝角三角形两种情况:

二、 新知探究: 1.叙述正弦定理的内容:

2.正弦定理的变形 ①边化角: a = ②角化边: sin ? ?

,b = , sin ? ?

,c= , sin C ?

; ;

3.正弦定理的推论: a : b : c ? 利用正弦定理可以解决的问题: 已知两角和任意一边,解三角形—— 唯一解 已知两边和其中一边的对角—— 常见:大一小二 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
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博山区实验中学 2014 级数学导学案

编制人:韩天天

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题型 1 已知两角和任意一边,求其他两边和一角 例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45 , C ? 60 , a ? 12 cm,解三角形.

题型 2 已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角 例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C

例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

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博山区实验中学 2014 级数学导学案

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三、

拓展训练: .

1、在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 a : b : c ?

2.在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形

2

2

2

3.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则角 A 与角 B 的大小关系为( A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B 的大小关系不能确定

)

4. 在?ABC中,若b ? 2c sin B, 则?C ? ______

5、 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 如果 c= 3a, B=30°, 那么角 C 等于( A.120° B.105° C.90° D.75°

)

6、在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 b=2a,B=A+60°,则 A=______.

四、

当堂检测:

1.在 ?ABC 中, B ? 1350 , C ? 150 , A ? 5 ,则此三角形的最大边长为_____

2.?ABC中,?A ? 60? , BC ? 3, AB ? 6, 则?C ? ____.
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博山区实验中学 2014 级数学导学案

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3.已知 ?ABC中 , a ? 4, b ? 4 3, ?A ? 30? ,则 ?B ? ______. 4. 在?ABC中,若?A ? 60? , a ? 4 3, c ? 4, 则b ? ______. 5. 在锐角?ABC中,若a ?

2c sin A, 则?C ? ______

6、在△ABC 中,一定成立的是 A、 a cos A ? b cos B C、 a sin B ? b sin A B、 a sin A ? b sin B D、 a cos B ? b cos A

7.在△ABC 中,A=60°,a= 3,b= 2,则 B 等于( ) A.45°或 135° B.60° C.45° D.135° 2π 8.(2010·北京)在△ABC 中,b=1,c= 3,C= ,则 a=________. 3

9.已知在△ABC 中,c=10,∠A=45°,∠C=30°,则 b=___________. 10.在△ABC 中,已知 a ?

2, b ? 2, A ? 30? ,解三角形。

1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角. 2.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其它两个角,这时三角形解的情况比较复杂, 可能无解,可能一解或两解.例如:已知 a、b 和 A,用正弦定理求 B 时的各种情况.
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