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专题十九 函数与方程思想、数形结合思想 专题限时集训



基础演练· 夺知识 1.已知全集 U 为实数集,集合 A={x|x2-2x-3<0},B={x|y=ln(1-x)},则图 Z19? 1 中阴影部分表示的集合为( )

图 Z19?1 A.{x|-1≤x<3} B.{x|x<3} C.{x|x≤-1} D.{x|-1<x<1}

?2x-1(x≥0), 1 2

.设函数 f(x)=? 若 f[f(a)]=- ,则实数 a=( 2 1 ( x<0 ) , ?x
A.4 B.-2 1 C.4 或- D.4 或-2 2 (

1

)

3.直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ) A.-3<m<1 B.-4<m<2 C.m<1 D.0<m<1 4.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0≤f(1)=f(2)=f(3)<10,那么( ) A.0≤c<10 B.-6≤c<4 C.c>4 D.c≤-6
x ? ?2 ,x≤0, ? 5. 已知函数 f(x)= 且函数 g(x)=f(x)+x-a 只有一个零点, 则实数 a 的取 ?log2x,x>0, ?

值范围是________. 提升训练· 强能力 π x2 y2 6.过双曲线 C: - =1 的左焦点作倾斜角为 的直线 l,则直线 l 与双曲线 C 的交 4 9 6 点情况是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.两个交点都在左支上 D.两个交点分别在左、右支上 x -2x,x≥0, x-2 ? ? ?2 -1,x≥0, 7. 已知函数 f(x)=? g(x)=?1 则函数 f[g(x)]的所有零点之 ,x<0, ?x+2,x<0, ? ?x
2

和是(

)

1 1 A.- + 3 B. + 3 2 2 C.-1+ 3 3 D.1+ 2 2

8.已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切 线,则实数 m 的取值范围是( ) 1 1 A.(-∞, ) B.( ,+∞) e e 1 C.( ,e) D.(e,+∞) e 9.曲线 C 的方程为 (x-1)2+y2+ (x+1)2+y2 =2,若直线 l:y=kx+1-2k 与曲线 C 有公共点,则 k 的取值范围是( 1 1 A.[ ,1] B.( ,1) 3 3 1 1 C.(-∞, ]∪[1,+∞) D.(-∞, )∪(1,+∞) 3 3 x 1 - 10.函数 f(x)=ln + ,g(x)=ex 2,已知 a∈R,b∈(0,+∞),若 g(a)=f(b)成立,则 2 2 b-a 的最小值为( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 e-3 D.e2-3 )

?x≥1, 11.已知变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则 x +y 的取值范围是________. ?x+2y-9≤0,
2 2

3 12.关于函数 f(x)=( )x-sin x-1,给出下列四个命题: 2 ①该函数没有大于 0 的零点; ②该函数有无数个零点; ③该函数在(0,+∞)内有且只有一个零点; ④若 x0 是该函数的零点,则 x0<2. 其中,所有真命题的序号是________. 13.已知过点(3,0)的直线 l 与圆 x2+y2=3 相交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(其中 O 为 坐标原点),求直线 l 的方程.

14.如图 Z19?2 所示,已知⊙M:(x-4)2+y2=1 和抛物线 C:y2=2px(p>0),抛物线 C 15 → 的焦点为 F,且FM=( ,0).过抛物线 C 上一点 H(x0,y0)(y0≥1)作两条直线分别与⊙M 相 4 切于 A,B 两点,与抛物线 C 交于 E,G 两点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当直线 AH 与 BH 关于直线 x=x0 对称时,求|EG|.

图 Z19?2

15.已知函数 f(x)=ax2(a>0),g(x)=ex. g(x) (1)求函数 φ(x)= (x≠0)的单调区间和极值; f(x) (2)若 f(x),g(x)的图像存在公共切线,求 a 的取值范围.

专题限时集训(十九) ■ 基础演练 1.D [解析] 由题意可求出 A={x|-1<x<3},B={x|x<1},∴A∩B={x|-1<x<1}. 2.C 1 1 1 1 1 [解析] 由 x-1=- ,得 x=1;由 =- ,得 x=-2.所以当 a≥0 时,f(a)= a 2 2 x 2 2

1 1 -1=1,得 a=4 或 f(a)= a-1=-2,得 a=-2(舍去);当 a<0 时,f(a)= =-2,得 a= 2 a 1 1 - 或 f(a)= =1,得 a=1(舍去). 2 a [解析] 由题可知,圆 x2+y2-2x-1=0 的圆心坐标为(1,0),半径为 2,且圆 |1-0+m| 心到直线的距离为 < 2,得-3<m<1,故一个充分不必要条件是 0<m<1. 2 3.D 4.B

?1+a+b+c=8+4a+2b+c, [ 解 析 ] 由 f(1) = f(2) = f(3) , 得 ? 即 ?1+a+b+c=27+9a+3b+c,

? ?a=-6, ?3a+b+7=0, 解得? ? ?b=11. ?8a+2b+26=0, ?

由 0≤f(1)=f(2)=f(3)<10,解得-6≤c<4. 5.(1,+∞) [解析] 由题意,函数 g(x)=f(x)+x-a 只有一个零点,即方程 f(x)=-x
?2x,x≤0, ? +a 有且只有一个解.作出函数 f(x)=? 的图像,如图所示.由图像可知,当 a>1 ? ?log2x,x>0

时,直线 y=-x+a 与 f(x)的图像有且只有一个交点.

■ 提升训练 6.D [解析] 直线 l 的方程为 y= 3 x2 y2 (x+ 13),代入 - =1 中,整理得 23x2-8 13 3 4 9

x-160=0,Δ =(-8 13)2+4×23×160>0,所以直线 l 与双曲线 C 有两个交点,由韦达定 理得两个交点横坐标的符号不同,故选 D. 7.B [解析] 由 f(x)=0 得 x=2 或 x=-2.由 g(x)=2 得 x=1+ 3;由 g(x)=-2,得 1 1 1 x=- ,所以函数 f[g(x)]的所有零点之和是- +1+ 3= + 3. 2 2 2 8.B [解析] 由题意可知,f′(x)=ex-m.因为曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线, 1 1 所以(ex-m)e=-1 有解,即 ex-m=- 有解,所以 m=ex+ . e e 1 1 1 因为 ex+ > ,所以 m> . e e e

9.A [解析] 曲线 C 为平面上到两个定点 A(-1,0),B(1,0)的距离的和等于定长 2 的点的轨迹,因为两个定点(-1,0),(1,0)的距离为 2,故曲线 C 的轨迹为线段 AB.直线 l: y=kx+1-2k 即 y-1=k(x-2),它是过定点 C(2,1),斜率为 k 的直线,要使直线 l 与线段 1 AB 有公共点,只需 kAC≤k≤kBC,所以 ≤k≤1. 3 10.A b 1 - [解析] 不妨设 g(a)=f(b)=m,∴ea 2=ln + =m(m>0), 2 2

1 ∴a=ln m+2,b=2· em- , 2 1 故 b-a=2· em- -ln m-2(m>0). 2 1 1 1 令 h(m)=2· em- -ln m-2(m>0),则 h′(m)=2· em- - . 2 2 m 1 易知 h′(m)在(0,+∞)上是增函数,且 h′( )=0, 2 1 1 ∴h(m)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增. 2 2 1 1 故 h(m)=2· em- -ln m-2 在 m= 处取得最小值, 2 2 即 b-a 的最小值为 ln 2. 11.[2,18] [解析] 如图所示,可行域为一个三角形,其三个顶点的坐标分别为 A(1, 1),C(1,4),B(3,3).x2+y2 的几何意义为可行域内的点 P(x,y)到原点的距离 d 的平方.显 然由图可知,当 P 与 A 重合时,d 取最小值 2,当 P 与 B 重合时,d 取最大值 3 2,故 x2 +y2 的取值范围是[2,18].

3 12.②③④ [解析] 设 h(x)=( )x,g(x)=sin x+1,在同一坐标系中作出 h(x),g(x)的 2 π π π 5π 3π 5 图像,如图所示,所以①假②真.当 x= 时,h( )=( ) <2=g( );当 x= 时,h( π ) 2 2 2 2 2 2 2 5π 3 5π =( ) >2=g( ),故该函数在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以③为真命题.若 x0 2 2 2 π π π 是函数 f(x)的零点,由③可知,当 x= 时,h( )<g( ),当 x=2 时,h(2)>g(2),结合图像 2 2 2 可知,x0<2,故④为真命题. 故所有真命题的序号是②③④.

13 . 解: 设直线 l 的方程为 x + ay- 3 = 0(a≠0) , 并设 P(x1 , y1) , Q(x2 , y2) .联立

?x +y =3, ? ?x+ay-3=0,
9-3a2 消去 y,得(a2+1)x2-6x+9-3a2=0,∴x1x2= 2 .① a +1 由方程组消去 x,得(a2+1)y2-6ay+6=0,∴y1y2= y1y2 依题意知 OP⊥OQ,∴ =-1,即 y1y2+x1x2=0. x1x2 9-3a2 6 由①②知, 2 + =0,解得 a=± 5. a +1 a2+1 ∴所求直线 l 的方程为 x+ 5y-3=0 或 x- 5y-3=0. p 14.解:(1)由题意知,⊙M 的圆心 M 的坐标为(4,0),抛物线 C 的焦点为( ,0). 2 15 p 1 ∵圆心 M 到抛物线 C 的焦点的距离为 ,∴ = , 4 2 4 从而抛物线 C 的方程为 y2=x. (2)∵直线 AH 与 BH 关于直线 x=x0 对称, ∴点 H(4,2),∴∠AHB=60°,可得 kHA= 3,kHB=- 3, ∴直线 HA 的方程为 y= 3x-4 3+2. 6 .② a2+1

2

2

?y= 3x-4 3+2, 联立? 2 消去 x 得 3y2-y-4 3+2=0, ?y =x,
∴yE+2= ∴yE= 1 3 = , 3 3

3-6 13-4 3 ,xE= , 3 3 -6- 3 13+4 3 ,xG= , 3 3

同理可得 yG= ∴|EG|=

64 4 2 51 + = . 3 3 3

ex(x-2) ex 15.解:(1)∵φ(x)= 2(x≠0),∴φ ′(x)= (a>0,x≠0), ax ax3 ∴φ (x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间是(0,2). e2 故 φ(x)极小值=φ(2)= ,且该函数无极大值. 4a (2)易知 f(x),g(x)的公切线 l 的斜率存在,设其斜率为 k,l 与 f(x),g(x)图像的切点分别 是 P(x1,ax2 1),Q(x2,ex2),易知 x1≠0.

?ex2=2ax1,① ex2-ax2 1 由题可知 k=2ax1=ex2= ,∴? x2-x1 ?ex2=2ax1x2-ax2 1,②
即 x1=2x2-2, 代入①,得 ex2=4ax2-4a,根据题意可知,此方程有解.

令 h(x)=ex-4ax+4a,则 h(x)有零点.∵h′(x)=ex-4a, ∴h(x)在(-∞,ln 4a]上单调递减,在[ln 4a,+∞)上单调递增. e2 ∴h(x)min=h(ln 4a)=eln 4a-4aln 4a+4a≤0,解得 a≥ , 4 e2 故所求 a 的取值范围是[ ,+∞). 4



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