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理科小综合--函数


2010 届高三理科数学小综合专题练习——函数
东莞中学赵银仓老师提供 一、选择题 1.已知 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是( ) A、 a ? b
2 2

B、 a b ? ab
2

2

C、

1 1 ? 2 2 ab ab

D、

b a ? a b

2. 设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q = ?x | x ? P, 且x ? Q?,如果 P ? x log2 x ? 1 ,

?

?

Q ? x x ? 2 ? 1 那么 P ? Q 等于( )
A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|2≤x<3}

?

?

3. 过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ) (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0

4. 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2

的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ?

l g 设. x

6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( ) 5 2 2
(A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

5. 已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件。现有下列命题:① s 是 q 的充要条件;② p 是 q 的充分条件而不是必要条件; ③ r 是 q 的必要条件而不是充分条件;④ ?p是?s 的必要条件而不是充分条件;⑤ r 是 s 的 充分条件而不是必要条件,则正确命题序号是( ) A.①④⑤ 6. 设 f ? x ? ? ? 值域是( ) B. ?? ?,?1? ? ?0,??? D. ?1,??? B.①②④ C.②③⑤ D. ②④⑤

?x 2 , ? x,

x ?1 , g ?x ? 是二次函数,若 f ?g ?x ?? 的值域是 ?0,??? ,则 g ?x ? 的 x ?1

1 A. ?? ?,?1? ? ? ,???
C. ?0,??? 二、填空题 7. 曲线 y ? 是

1 2 和 y ? x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积 x
.

? ? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? ? 2 2 8. 设 m 为实数,若 ?( x, y ) ? 3 ? x ? 0 ? ? {( x, y ) | x ? y ? 25} ,则 m 的取值范围是 ? ? mx ? y ? 0 ? ? ? ?
_____________. 9. 若不等式 x +ax+1?0 对于一切 x? (0, ) 成立,则 a 的取值范围是(
10.

1 ) 2 已知函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? a x( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称,
2

记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的取 值范围是 .

1 2

三、解答题 11. 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

12. 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

13.设函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 上的导函数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在 ( a, b) 上的导函数为 f ??( x) ,若 在 ( a, b) 上 , f ??( x )? 0恒 成 立 , 则 称 函 数 f ( x ) 在 ( a, b) 上 为 “ 凸 函 数 ” 已 知 .

f ( x) ?

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x . 12 6 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 为区间 (?1,3) 上的“凸函数” ,试确定实数 m 的值; (Ⅱ)若当实数 m 满足 | m |? 2 时,函数 f ( x ) 在 ( a, b) 上总为“凸函数” ,求 b ? a 的最大值.

2010 届高三理科数学小综合专题练习——函数 参考答案
一、选择题:CBDDBC 二、填空题:7. 三、解答题: 11. 解: f ( x ) 的定义域为(0,+?), ????1 分

3 4

8.

4 [0, ] 3

9.

a??

5 2

10. (0, ]

1 2

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

??????3 分

1 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e

? 1? ?1 ? ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x) 取得最小值 ? . ?????????? 6 分 e e ? (Ⅱ)解:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, ?) 上恒成立,
从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ??????5 分 即不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1 , 对于 x ?[1 ? ?) 恒成立 . x
则 g ?( x) ?

????????8 分 ????????10 分

1 , x

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . x x2 x ? x ?

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x?
所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , ?????? 13 分

, 故 g ( x) 是 (1 ? ?) 上的增函数, 1] 所以 a 的取值范围是 (??, .

????????????????14 分

b ?1 1? x 2 ? 0 ? b ?1 ? f )x ? ( 12. 解: (Ⅰ) 因为 f ( x ) 是奇函数, 所以 f (0) =0, 即 a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 1? 2 再由 f (1) ? ? f (?1) 知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1
又 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ? 故 a ? 2, b ? 1 即为所求.

?2 x ? 1 ,此时有 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x ) 是奇函数, 2 x ?1 ? 2

1 ? 2x 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1
为减函数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式:

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0

2 2 2 等价于 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得:

t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 ,
从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .

1 3

解 法 二 : 由 ( Ⅰ ) 知

f ( x) ?

1 ? 2x . 又 由 题 设 条 件 得 : 2 ? 2 x ?1

1 ? 2t 2 ? 2t

2

? 2t

2

? 2t ?1

?

1 ? 22 t 2 ? 22 t
2

2

?k

2

? k ?1

? 0,
2

即 : (22t 整理得

?k ?1

? 2)(1 ? 2t

?2t

) ? (2t

2

?2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

) ? 0,

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 13.解:由函数 f ( x) ?

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x 得, f ??( x) ? x2 ? mx ? 3 ??????3 分 12 6 2

(Ⅰ) 若 f ( x ) 为区间 (?1,3) 上的 “凸函数” 则有 f ??( x) ? x2 ? mx ? 3 ? 0 在区间 (?1,3) , 上恒成立,由二次函数的图像,当且仅当

? f ??(?1) ? 1 ? m ? 3 ? 0 , ? ? f ??(3) ? 9 ? 3m ? 3 ? 0
即?

?m ? 2 ? m ? 2 . ???????????????????7 分 ?m ? 2
2

2 (Ⅱ)当 | m |? 2 时, f ??( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 恒成立 ? 当 | m |? 2 时, mx ? x ? 3 恒成

立.?????????????????????????????8 分 当 x ? 0 时, f ??( x) ? ?3 ? 0 显然成立。 当x ? 0,x? ?????????????9 分

3 ?m x ∵ m 的最小值是 ?2 . 3 ∴ x ? ? ?2 . x 从而解得 0 ? x ? 1 ?????????????????????????11 分 3 当x ? 0,x? ? m x 3 ∵ m 的最大值是 2 ,∴ x ? ? 2 , x 从而解得 ?1 ? x ? 0 . ????????????????????????13 分
综上可得 ?1 ? x ? 1 ,从而 (b ? a)max ? 1 ? (?1) ? 2 ………………………………14 分


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