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【整理 】广东省深圳高级中学2012届高三上学期期末试题数学文



深圳市高级中学 2012 届 1 月月考试题 数学(文)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个正确答案) 。
1.已知全集 U ? R , M ? {x ?2 ? x ? 2}, N ? {x x ? 1} ,那么 M ? N ? ( A. {x ?2 ? x ? 1} B. {x x ? 1} C. {x x ? ?

2} D. {x ?2 ? x ? 1} )

2.命题“ ?x ? R, e x ? x ”的否定是 A. ?x ? R, e x ? x B. ?x ? R, e x ? x C. ?x ? R, e x ? x D. ?x ? R, e x ? x )

3.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是( A.

17 10

B.8

C.2

D.

17 5
的值为( )

4.如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a5 ? a7 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ? ? a9 A.18 B.27 C.36

D.54

5.如果执行图 1 的程序框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,那么输出的 p 等于 A. 360 B. 720 C. 240 D. 120 6.已知向量 a ? (1,1), 2a ? b ? (4, 2) ,则向量 a , b 的夹角为 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
( ) D.24
图1

7.设 P 为双曲线 x2-

y2 =1 上的一点,F1、F2 是双曲线的焦点, 12

若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2 的面积为 A.6 3 B.12 C.12 3

8.在一球内有一边长为 1 的内接正方体,一动点在球内运动,则此点 落在正方体内部的概率为( ) A.

6

?

B.

3 2?

C.

3

?

D.

2 3

?
2 2

9. 若点 P 在直线 l1 : x ? y ? 3 ? 0 上, 过点 P 的直线 l 2 与曲线 C : ( x ? 5) ? y ? 16 相切于 点 M ,则 PM 的最小值为 A. 2 B. 2 C.4 D. 2 2
x

10.已知 f ( x ) 为偶函数,且 f (1 ? x) ? f (3 ? x),当? 2 ? x ? 0时, f ( x) ? 3 , 若 n ? N * , an ? f (n) ,则 a2011 ? ( )

A. ?

1 3

B. 3

C. ? 3

D.

1 3

二、填空题(本大题共 4 小题分,每小题 5 分,共 20 分。其中 14,15 小题为选做题,考
生从给出的二道选做题中选择其中一道作答,若二题全答的只计算前一题得分) 11.若复数 z ?

a ? i 为实数,则实数 a ? 1? i



12.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况, 将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图 中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 2 小组的 频数为 12,则报考飞行员的学生人数是 . 13.在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“ ? ”:当 a ? b 时,

a ?b ? a

; 当

a?b

时 ,

a ? b ? b2



则 函 数

2? 的最大值等于___________(其中“ ? ”和“-” f ( x) ? (1? x) ? x ? (2 ? x) , x ???2,
仍为通常的乘法和减法) 14. (几何证明选讲选做题) 如图,AB 是⊙ O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C ,PC ? 2 3 , 若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? . A O B P 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 ?1,0 ? 到直 线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的距离为 . C

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ? ? ?? ? xx xx ? xx xx a? 16. (本题12分)已知向量 aa? · b ?(sin (sin , cos , cos ),), b??(cos (cos , , 33 cos ) ) ,函数 f ( x) ? a b cos b b, 33 33 33 33
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;Ks5u (Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足 b ? ac ,且边b所对的角为 x ,试求 x 的范围及函
2

数 f ( x) 的值域.Ks5u

17.(本题 14 分)某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件,在单位时

间内每个技工加工零件若干,其中合格零件的个数如下表: 1号 甲组 乙组 4 5 2号 5 6 3号 7 7 4号 9 8 5号 10 9

⑴分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合成合格零件的平均数及方差, 并由此比较两组技工的技术水平; ⑵质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行 检测,若两人完成合格零件个数之和超过 12 件,则称该车间“质量合格” ,求该 车间“质量合格”的概率.

18. (本题 12 分)如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知

?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面
ABD ? 平面 BDC(如图乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (1)求证:DC ? 平面 ABC; (2)设 CD ? a ,求三棱锥 A-BFE 的体积.
A

A

F E

D

D B C
C 甲

B 乙

19.(本小题满分 14 分) 已知过点 P(0, 2) 的直线 l 与抛物线 C : y ? 4x 交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点.
2

(1)若以 AB 为直径的圆经过原点 O ,求直线 l 的方程; (2)若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q ,求 ?POQ 面积的取值范围.

20.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2n ? 2 ? 0 ( n ? N ).
?

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 1 1 1 ,若对任意的正整数 n ,当 m ?? ?1,1? 时,不等式 ? ? ??? an?1 an? 2 an?3 a2 n
1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6

t 2 ? 2mt ?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? x2 ? ax(a ? R) . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程; (2) a ? 3 时,求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间;
* 2 2 2 (3)设 an ? 1 ? ( n ? N ) , 求证:3(a1 ? a2 ??? an ) ? a1 ? a2 ??? an ? ln(n ?1) ? 2n

1 n

深圳市高级中学 2012 届 1 月月考 答题卷
班级: 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 姓名:

二。填空题 11. (选做题)14. 三、解答题 16. 12. 15. 13.

17.

A

A

18.
F E
D B

D
C 甲

B C 乙

19.

20.

21.

深圳市高级中学 2012 届 1 月月考答案
一. 二. 三. 选择题:ADCCA BBDCD 填空题:11. 2 ; 解答题: 12. 48 ; 13.6; 14. 4; 15.

2 . 2

16.解:

? ? x x x x 1 2x 3 2x ( Ⅰ ) f ( x) ? a ? b ? sin cos ? 3 cos cos ? sin ? (1 ? cos ) 3 3 3 3 2 3 2 3 ?? 3分 1 2x 3 2x 3 2x ? 3 ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? 2 3 2 3 2 3 3 2
2x ? ? 5? ? ? ? 2k? ? ,解得, 3k? ? ? x ? 3k? ? , (k ? Z ) . 2 3 3 2 4 4 5? ? ,3k? ? ], (k ? Z ) .???? 6 分 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 [3k? ? 4 4
令 2k? ?

?

?

(Ⅱ) ? b2 ? ac, cos x ?
?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? . ?? ?? 8 分 2ac 2ac 2ac 2

1 ? ? 2 x ? 5? ? cos x ? 1, 0 ? x ? ,? ? ? ? , 2 3 3 3 3 9
?
3 ? sin( 2x ? ? ) ?1 , 3 3

? sin

?? ?? 10 分

? 3 ? sin(

2x ? 3 3 3 即 f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ? )? ? 1? ]. 3 3 2 2 2

综上所述, x ? (0,

?
3

], f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ]. 2

???? 12 分

17、 解: 5、 解: ⑴依题意,x甲 ? 2分

1 1 (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7 ,x乙 ? (6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7 ?? 5 5

1 26 2 s甲 ? [( 4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 ??3 分 5 5 1 2 s乙 ? [( 5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 ??4 分 5
2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ,所以,两组技工的总体水平相同,甲组技工的技术水平差异 ? s乙

比乙组大??6 分 ⑵记该车间“质量合格”为事件 A,则从甲、乙两组中各抽取 1 名技工完成合格零件个 数的基本事件为: (4,5) , (4,6) , (4,7) , (4,8) , (4,9) , (5,5) , (5,6) , (5,7) ,

(5,8) , (5,9) , (7,5) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) , (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 25 种??8 分 事件 A 包含的基本事件为: (4,9) , (5,8) , (5,9) , (7,6) , (7,7) , (7,8) , (7,9) , (9,5) , (9,6) , (9,7) , (9,8) , (9,9) , (10,5) , (10,6) , (10,7) , (10,8) , (10,9)共 17 种??10 分,所以 P( A) ? 答:即该车间“质量合格”的概率为

17 ??11 分。 25

17 ??12 分 25
?

18 解: (1 )证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45

∴ ?ADB ? 45 , ?ABC ? 90 即
? ?

AB ? BD --------------------------------------------2 分 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD
∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥C D.------------------------------------------4 分
? 又 ?DCB ? 90 ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B ∴DC ? 平面 AB.---------------------7 分

(2)解法 1:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC,--------------------------------------------------------8 分 ∴ VA? BFE ? VF ? AEB

A

1 ? S ?AEB ? FE -------------------------9 分 3
?

F E

在图甲中,∵ ?ADC ? 105 ,

∴ ?BDC ? 60 , ?DBC ? 30
?

?

D C 乙

B

1 1 由 CD ? a 得 BD ? 2a, BC ? 3a , EF ? CD ? a --------------------------11 分 2 2
∴ S ?ABC ?

1 1 AB ? BC ? ? 2a ? 3a ? 3a 2 2 2

∴ S?AEB ?

3 2 a 2

∴ VA? BFE ?

1 3 2 1 3 3 ? a ? a? a -------------------------------------------14 分 3 2 2 12

19. 解: (1)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由?

? y2 ? 4x ? y ? kx ? 2

得 k x ? (4k ? 4) x ? 4 ? 0 ————————(*)
2 2

——————2 分

2 2 则由 ? ? (4k ? 4) ?16k ? ?32k ? 16 ? 0 ,得 k ?

1 , 2
—————————————4 分

x1 ? x2 ? ?

4k ? 4 4 ? 4k 4 ? , x1 x2 ? 2 , 2 2 k k k
2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ?

8 , k

————————5 分

因为以 AB 为直径的圆经过原点 O ,所以 ?AOB ? 90 ,即 OA ? OB ? 0 ,———6 分
?

??? ? ??? ?

所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 即所直线 l 的方程为 y ? ?

??? ? ??? ?

4 8 1 ? ? 0 ,解得 k ? ? , 2 k k 2
————————————8 分

1 x ? 2. 2

(2)设线段 AB 的中点坐标为 ( x0 , y0 ) , 则由(1)得 x0 ?

x1 ? x2 2 ? 2k 2 ? , y0 ? kx0 ? 2 ? , 2 2 k k

———Ks5u——————9 分 —Ks5u——————10 分

所以线段 AB 的中垂线方程为 y ? 令 y ? 0 ,得 xQ ? 2 ? 又由(1)知 k ?

2 1 2 ? 2k ? ? (x ? ), k k k2

2 ? 2k 2 2 1 1 3 ? 2 ? ? 2 ? 2( ? ) 2 ? , —————————12 分 2 k k k k 2 2

1 1 1 ,且 k ? 0 ,得 ? 0 或 ? 2 , 2 k k
2

所以 xQ ? 2(0 ? ) ?

1 2

3 1 1 ? 2 ,所以 S?POQ ? PO ? OQ ? ? 2 ? xQ ? 2 , 2 2 2
—————————14 分

所以 ?POQ 面积的取值范围为 (2,??) .

20.解 (1)由题意得 an ? an?1 ? 2n(n ? 2) ,通过叠加得 an ? n(n ? 1) (n ? 2) .又 a1 ? 2 符 合此通项公式,? an ? n(n ? 1) ??????????????????????(4 分) (2)通过裂项得 bn ?

n ? 2n ? 3n ? 1
2

1 1 , bn 的最大值为 b1 ? 所以要使不等式恒 1 6 2n ? ? 3 n

成立,须使 t ? 2mt ?
2

1 1 ? 恒成立, m ?? ?1,1? .???Ks5u????(9 分) 6 6

当 t ? 0 时, g (m) ? 0 不成立; 当 t ? 0 时, g ( m) 是一次函数,所以

?

g ( ?1) ? 0 g (1) ? 0

,解得 t ? (??, ?2) ? (2, ??) ??(14 分)

21.解:解:(1) f ( x) ? ln x , f ?( x) ?

1 , f ?(1) ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的 x
??

切 线 方 程 为 y ? 1(x ? 1), 即 x ? y ? 1 ? 0 .
Ks5u

??????4 分
'

2 (2) F ( x) ? ln x ? x ? 3x ,F ( x) ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? 3 ? ? ???6 分 x x x

由 F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ?

1 1 或 x ? 1 , F ?( x) ? 0 ? ? x ? 1 , ??????????8 分 2 2

所以函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间为 ? 0,

? ?

1? ?1 ? ? , ?1, ?? ? ;减区间为 ? ,1? ???9 分 2? ?2 ?

(3)由(2)知 a ? 3 时, F ( x) ? ln x ? x2 ? 3x 在 (1, ??) 上是增函数.

1 n 1 1 2 1 所以 ln(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3(1 ? ) ? ?2 . n n n 1 1 2 1 所以 3(1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? ln(1 ? ) . n n n 1 2 即 3an ? an ? 2 ? ln(1 ? ) . ???????????????????12 分 n
所以 F (1 ? ) ? F (1) ? ?2 .
2 所以 3a1 ? a1 ? 2 ? ln(1 ? 1) ,

1 2 3a2 ? a2 ? 2 ? ln(1 ? ) , 2 1 2 3a3 ? a3 ? 2 ? ln(1 ? ) , 3
??

1 2 3an ? an ? 2 ? ln(1 ? ) . n
2 2 2 所以 3(a1 ? a2 ? ?? an ) ? a1 ? a2 ??? an 2 2 ? (3a1 ? a12 ) ? (3a2 ? a2 ) ? ?? (3an ? an )

2 3 n ?1 ? (2 ? ln ) ? (2 ? ln ) ? ? ? (2 ? ln ) 1 2 n

? 2n ? ln(n ? 1) .
故所证不等式成立. ???????????????????????14 分



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