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2013—2014学年第二学期高二数学期末复习——导数


2013—2014 学年第二学期高二数学期末复习——导数 知识梳理
f ( x ? ?x) ? f ( x) ?A ?x f ( x ? k ) ? f ( x) 1. 在 R 内可导函数 f ( x) 满足 f ' ? x ? ? 3 , 则 k 无限趋近零时 , 无限趋近 3k
(一)函数在某一点处瞬时变化率就是导数. 当?x ? 0时, 于 .

(二)导数的几何意义 曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 的切线方程_______________________. 2.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ?

x3 ? 10 x ? 3 上,且在第二象限内,已
____. .

知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 3.已知直线 y ?

1 x ? m 是曲线 y ? ln x 的一条切线,则 m ? 2
` ,(a x) ? ___ ,

(三)函数的导数

(C)' ? __

` , ( x n )' ? ____ , (e x) ? ____

(ln x)` ? ____ , (l o ga x)` ? ____ , (sin x)' ? ___ , (cos x)' ? ____ .
函数的和、差、积、商的导数 (u±v)′=_________ ,(uv)′=__________ , ( ) ? ? _______ .
'

u v

复合函数的导数

( f ( g ( x)))' ? __________ .
4.求下列函数导数

1 2 1 1 sin x ? 2 ? 3 , (3) y ? , (4) y ? , x x x sin x x 1 1 cos 2 x (5) y ? ? , (6) y ? , (7) y ? 3 ? x . sin x ? cos x 1? x 1? x (1) y ? , (2) y ?

1 x2

3 2 / (? 1 ) 5.已知 f ( x) ? x ? x f (1) ? x ,则 f ? =



(四)导数在函数中的应用 (单调性、极值、最值) 6.已知函数 y=-x3+ax2-x-1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 7.若函数 f ( x) ? x( x ? a) 在 x ? 2 处有极小值,则 a 的值=
2

.

.

8. 函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x 2 在区间 ? ? , ? 的最大值______,最小值_______. 4 4

? 3 1? ? ?

例题精讲
例 1.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2) 若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? , 对于任意的 t ? [1,2] , 函数 g ( x ) ? x ? x [ f ' ( x ) ?
3 2

m ] 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,求 m 的取值范围. 2

例 2.现有一张长 80 厘米、宽 60 厘米的长方形 ABCD铁皮,准备用它做成一只无盖长方体 铁皮盒, 要求材料利用率为 l0 0%,不考虑焊接处损失. 方案一:如图(1),从右侧两个角上剪下两个小正方形,焊接到左侧中间,沿虚线折起, 求此时铁皮盒的体积; 方案二:如图 (2),若从长方形 ABCD的一个角上剪 下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的 底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,求该铁皮盒体积的最大值.

例 3. 设函数 f ( x ) ? x ? c ( e =2.71828 是自然对数的底数, c ? R ). x

e

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间、最大值;

(Ⅱ)讨论关于 x 的方程

ln x ? f ( x)

根的个数.

巩固练习
1.已知函数 y ? f ( x ) 及其导函数 y ? f '( x) 的图象如图所示,则 y 曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程是
3
2



y ? f ( x) y ? f ?( x)

15 x ? 9 都相 2. 若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ? 4
切,则 a 等于
— ———

1 O
P(2,0)

x

3. 若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 3 既有极大值又有极小
3 2

值,则 a 的取值范围为 4.已知函数 f ( x) ? x ? 8 ln x , g ( x) ? ? x ? 14x
2 2

1题

则函数 f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 若函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间(a, a+1)上均为增函数, 则 a 的取值范围是 . 5. f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, xf / ( x) ? f ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) . ? 0 的解集 x 6. 设 a ? 0 , 函 数 f ( x) ? x?

a2 , g ( x)? x ? l n, x 若 对 任 意 的 x1 , x2 ?[1, e] , 都 有 x
.

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围为
7.已知函数 f ( x) ?
a 3 1 1 x ? ?a ? 1?x 2 ? x ? 3 2 3

?1? 函数f ?x ?的图象在点?2,f ?2??处的切线方程9 x ? y ? b ? 0,求实数a,b的值. ?2? 若a ? 0,求f ?x ?的单调减区间; ?3? 对一切实数a ? ?0, 1?,求f ?x ?的极小值的最大值 .

8.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1) 求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2) 对一切 x ? (0, ??) , 2 f ( x)≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. e x ex

9.已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值;

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

(2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ?[3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 立,求 a 的最小值;

1 1 恒成 ? g ( x2 ) g ( x1 )

(3) (选做)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0,e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得
f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.


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