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湖南省醴陵二中、醴陵四中两校联考2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题



醴陵二中、醴陵四中 2015 年下学期两校联考高二年级文科数学期中考试试卷 命题学校:醴陵二中 命题人:陈立文 审题人:陈立文

总分:150 分
一、选择题:(每题 5 分,共 60 分)

时量:120 分钟

2 2 1.对于任意实数 a, b, c, d ,命题①若 a ? b, c ? 0, 则 ac ? bc ;②若 a ? b ,则 ac ? bc ;③

若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b ;④若 其中正确的个数是( B ) A.1 B.2

a ? b ,则

1 1 ? ;⑤若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ?bd 。 a b
C.3 D.4

x 2.已知命题 p : 存在 x ? R ,使得 e ? x ,则 ? p 为( C )

A. ?p : 存在 x ? R ,使得 e x ? x C. ?p : 任意 x ? R ,总有 e x ? x

B. ?p : 任意 x ? R ,总有 e x ? x
D. ?p : 存在 x ? R ,使得 e x ? x


2 3.在等比数列 ?an ? 中, a1 , a8 是方程 3x ? 2 x ? 6 ? 0 的两个根,则 a4 ? a5 ? ……( B

A. ? 6

B. ?2

C. ?

2 3

D.2

4. 在△ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 A. 30°或 150°

3 , B ? 600 ,则角 A 的大小为( C )
D. 60°

B. 60°或 120° C. 30°

5. 已知中心在原点的椭圆 C 的上焦点为 F ?0,1? ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是( A ) 2
D.

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=60°,b=2,△ABC 的面积为 2 则边 c 的值为( C )

3,

A. 8
2

B. 8 3
2

C. 4

D.4 3

7.已知命题 p : x ? 9 ? 0, q : x ? x ? 6 ? 0 ,则 p 是 q 的( A ) A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件

C. 充要条件

D.

必要不充分条件
2

8.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且满足 a3 ? a9 ? 2a5

, a2 ? 1 ,则 a1 ? ( B )

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

9.已知 a n ?

2 (n ? N * ) ,则这个数列的前 10 项的和 s10 n(n ? 1)
B.

?(

D



A.

9 10

10 11

C.

20 10

D.

20 11


?x ? 2 ? 0 ? 10.在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域中 z ? x ? y 的取值范围是( C ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2]

D.[1,2] )

11.不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 ,对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围是( B A.(-∞,2] B.(-2,2]
2 2

C.(-2,2)

D.(-∞,2)

12.设 F1 , F2 分别是椭圆

x y ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P ,Q 两点, 2 a b


若 ?F1 PQ ? 60? , PF1 ? PQ ,则椭圆的离心率为( D

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3 3

D.

3 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.等差数列 ?an ? 中, a2 ? a4 ? a6 ? 12 ,则 log2 (a3

? a5 ) =

3

3 sin B 14. ?ABC 中,A=1200,AB=5,BC=7,则 =___ 5 ____ sin C
15.已知方程

(1 , ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__ _
2 3 ? 的最小值为_ 8 ? 4 3 __ x y

3 2

16. 已知 x ? 0 , y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 则

三、解答题(第 17 题 10 分,第 18-22 题各 12 分,共 70 分) 17.已知命题 p:关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,命题 q:

f ( x) ? (3 ? 2a) x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假.求实数 a 的取值范围.

2 解:当命题 p 为真时, ? ? 4a ? 16 ? 0 ,所以 ? 2 ? a ? 2 .

当命题 q 为真时, 3 ? 2a ? 1 ,所以 a ? 1

(4 分)

因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,p,q 为一真一假.

当 p 真 q 假时, ?

?? 2 ? a ? 2 ,所以 1 ? a ? 2 ?a ? 1

当 p 假 q 真时, ?

?a ? ?2或a ? 2 a ? ?2 ,所以 ?a ? 1

(8 分)

? 2] ? [1, 2) 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,

(10 分)

18. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边.已知 a=2

3 ,A=

? . 3

(1)若 b=2

2 ,求角 C 的大小;

(2)若 c=2,求边 b 的长. 解:(Ⅰ)由正弦定理 = ,

∴sinB=

sinA=

×

=



∴B=





∵b<a, ∴ ,





(6 分)

(Ⅱ)依题意,

,即



∴b ﹣2b﹣8=0,

2

又 b>0, ∴b=4. (12 分)

19.在等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 中, a1 ? 1 ,b1 ? 2 ,bn ? 0 ( n ? N * ),且 b1 , a 2 , b2 成 等差数列, a2 , b2 , a3 ? 2 成等比数列. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? abn ,求数列 {cn } 的前 n 和 S n . 解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q(q ? 0) . 由题意,得 ?

?2(1 ? d ) ? 2 ? 2q ,解得 d ? q ? 3 . 2 ? (2q) ? (1 ? d )(3 ? 2d )
(6 分) (8 分)

∴ an ? 3n ? 2 , bn ? 2 ? 3n?1 . (2) cn ? 3 ? bn ? 2 ? 2 ? 3n ? 2 .

∴ S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n ) ? 2n ? 3n ?1 ? 2n ? 3 .(12 分) 20.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10 )层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单 位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综 合费用最少为多少元? 解:设楼房每平方米的平均综合费用 为 f(x)元,则

f ( x) ? (560 ? 48 x) ?

2160 ? 10000 2000 x

? 560 ? 48 x ?

10800 ( x ? 10, x ? N * ) x

(6 分)

? 48x ?

10800 10800 ? 2 48x ? ? 1440 x x
10800 , 即x ? 15时取等号 , x
(10 分)

当且仅当 48 x ?

所以,当 x=15 时,f(x)取最小值 560+1440=2000 (11 分) 答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层. 每平方米的平均综合费 用最少为 2000 元. (12 分) 21.已知数列 {an } 前 n 项的和 S n ? n 2 ? 4n ,数列 {bn } 为各项为正的等比数列且满足

b2 ? b4 ? 4b3 , b5 ? 16
(1)求 {an } , {bn } 的通项公式;

(2)记 cn ? an bn ,求 {cn } 的前 n 项和 Tn . 解:(1)当 n ? 1时 , a1 ? 5 当 n ? 2时 , an ? S n ? S n?1 ? (n 2 ? 4n) ? [(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1)] ? 2n ? 3 所以 an ? 2n ? 3(n ? N * )
设 {bn } 的公比为 q,因为 b2

? b4 ? 4b3 ,所以 b3 ? 4

又 b5

? 16 且 {bn } 为各项为正的等比数列

所以 q=2, 所以 bn

? b3 q n?3 ? 4 ? 2 n?3 ? 2 n?1

(6 分)

(2)由(1)知, cn ? an bn ? (2n ? 3) ? 2 n?1

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 5 ? 20 ? 7 ? 21 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 2Tn ? 5 ? 21 ? 7 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? ?Tn ? 5 ? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n
2 2 (1 ? 2 n ?1 ) ? 5? ? (2n ? 3) ? 2 n 1? 2

? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n
?Tn ? (2n ? 1) ? 2n ? 1
22.已知椭圆
(12 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴的一个端点为 M (0,1) . 过椭圆左 2 a b 2

顶点 A 的直线 l 与椭圆的另一交点为 B . ⑴求椭圆的方程; ⑵若 l 与直线 x ? a 交于点 P ,求 OB ? OP 的值;
⑶若 AB ?

??? ? ??? ?

4 ,求直线 l 的倾斜角 3

.解:⑴? e ? 1 ?

b2 2 ,b ?1 ? 2 a 2

? a 2 ? 2 , b2 ? 1 ? 椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(4 分)



由⑴可知点 A(? 2,0) ,设 B( x0 , y0 ) ,则 l : y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2

令x?

2 ,解得 y ?

2 2 y0 2 2 y0 ,既 P( 2, ) x0 ? 2 x0 ? 2

??? ? ??? ? 2 2 y0 2( x02 ? 2 y02 ) ? 2 x0 ?OB ? OP ? ( x0 , y0 ) ? ( 2, )? x0 ? 2 x0 ? 2
又? B( x0 , y0 ) 在椭圆上,则 x02 ? 2 y02 ? 2

??? ? ??? ? ?OB ? OP ? 2


(8 分)

当直线 l 的斜率不存在时,不符合题意;当直线 l 的斜率存在时,设其为 k ,则

l : y ? k ( x ? 2)
? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? 由? 可得, (2k 2 ?1) x2 ? 4 2k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 ? ? y ? k ( x ? 2)
由于 ? ? 8 ? 0 , 则设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 可得,x1 ? x2 ? ?

4k 2 ? 2 4 2k 2 x x ? 、 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?
? 解得 k ? ?1 ? 直线 l 的倾斜角为

4 2k 2 2 4k 2 ? 2 4 ) ? 4 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 3

? 3? 或 4 4

(12 分)



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