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安徽省淮南一中、蒙城一中、颍上一中、怀远一中四校联考2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)



安徽省淮南一中、蒙城一中、颍上一中、怀远一中四校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 A、B、C、D 四个 选项中,只有一个是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.) 1. (5 分)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数.若复数 z 满足

(2﹣5i) =29,则 z=() A.2﹣5i B.2+5i C.﹣2﹣5i D.﹣2+5i 2. (5 分)抛物线 y=4x 的准线方程为() A.y=﹣1 B.
2 2 2

C.x=﹣1

D.

3. (5 分)设集合 A={(x,y)|x +y =1},B={(x,y)|x=1},则 A∩B 子集的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 4. (5 分)问题:①某地区 10000 名中小学生,其中高中生 2000 名,初中生 4500 名,小学 生 3500 名,现从中抽取容量为 200 的样本;②从 1002 件同一生产线生产的产品中抽取 20 件 产品进行质量检查.方法:Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法.其中问题与方 法配对较适宜的是() A.①Ⅰ,②Ⅱ B.①Ⅲ,②Ⅰ C.①Ⅱ,②Ⅲ D.①Ⅲ,②Ⅱ 5. (5 分)命题 p:“存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”,则命题 p 的否定是() x0 A.存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) <1 x0 B. 存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1 x C. 任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) <1 x D.任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) ≥1 6. (5 分)要得到 A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 的图象,只需将 y=2sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度
x0

7. (5 分)已知等差数列{an}中,a1=1,an=70(n≥3) .若{an}公差为某一自然数,则 n 的所有 可能取值为() A.3,23,69 B.4,24,70 C.4,23,70 D.3,24,70

8. (5 分)设 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=x +y 的最小值为()

2

2

A.

B.11

C.

D.13

9. (5 分)已知矩形 ABCD 中,AB=2BC=2,现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 P,则满足 的概率是() A. B. C. D.

10. (5 分)设函数

,若关于 x 的方程 af (x)﹣f(x)=0 恰有三个

2

不同的实数解,则实数 a 的取值范围为() A.(0,1] B.[1,+∞) C.[0,1]

D.(1,+∞)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置) 11. (5 分)函数 的定义域是.

12. (5 分)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体所有棱长的取值集合为;

13. (5 分)已知实数 m,n 满足 m?n>0,m+n=﹣1,则

的最大值为.

14. (5 分)运行如图的程序框图,若输出的 y 随着输入的 x 的增大而减小,则 a 的取值范围 是;

15. (5 分)如图所示,在确定的四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD. (1)若 AB⊥CD,则截面 EFGH 与侧面 ABC 垂直; (2)当截面四边形 EFGH 面积取得最大值时,E 为 AD 中点; (3)截面四边形 EFGH 的周长有最小值; (4)若 AB⊥CD,AC⊥BD,则在四面体内存在一点 P 到四面体 ABCD 六条棱的中点的距 离相等.上述说法正确的是.

三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 y=f(x)+g(x)的单调递减区间; (Ⅱ) 在△ ABC 中, A 为锐角, 且角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 求△ ABC 面积的最大值. 17. (12 分)为了解甲、乙两校 2015 届高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两学 校中分别随机抽取 30 名 2015 届高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶 图如图所示: , , .

(Ⅰ)若乙校 2015 届高三年级每位学生被抽取的概率为 0.15,求乙校 2015 届高三年级学生 总人数; (Ⅱ)根据茎叶图,分析甲、乙两校 2015 届高三年级学生在这次联考中地理成绩; (Ⅲ)从样本中甲、乙两校 2015 届高三年级学生地理成绩不及格(低于 60 分为不及格)的 学生中随机抽取 2 人,求至少抽到一名乙校学生的概率. 18. (12 分)如图,在四棱锥 A﹣BCED 中,△ ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,M 为棱 EA 的中点,CE=2BD. (Ⅰ)求证:DM∥平面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 BDM⊥平面 ECA.

19. (13 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 (Ⅰ)求 a1、a2 的值,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:

,n∈N .

*



20. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ +ax,a∈R. (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行,求 a 值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)在其定义域内的单调性; (Ⅲ) 定义: 若函数 h (x) 在区间 D 上任意 x1, x2 都有
2



则称函数 h(x)是区间 D 上的凹函数.设函数 g(x)=x f′(x) ,a>0,其中 f′(x)是 f(x) 的导函数.根据上述定义,判断函数 g(x)是否为其定义域内的凹函数,并说明理由.

21. (13 分)设椭圆 E:

=1(a>b>0)过 M(2,2e) ,

两点,其中 e

为椭圆的离心率,O 为坐标原点. (I)求椭圆 E 的方程; (II)过椭圆右焦点 F 的一条直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,若 长. |,求弦 AB 的

安徽省淮南一中、蒙城一中、颍上一中、怀远一中四校联 考 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 A、B、C、D 四个 选项中,只有一个是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.) 1. (5 分)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数.若复数 z 满足(2﹣5i) =29,则 z=() A.2﹣5i B.2+5i C.﹣2﹣5i D.﹣2+5i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解答: 解:由(2﹣5i) =29,得 ∴ . =2+5i.

故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 2. (5 分)抛物线 y=4x 的准线方程为() A.y=﹣1 B. C.x=﹣1 D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由抛物线的准线方程的定义可求得. 解答: 解:因为抛物线 y=4x , 可化为:x = , 则抛物线的准线方程为 y=﹣ .
2 2

故选:D. 点评: 本题主要考查抛物线的定义和性质,比较基础. 3. (5 分)设集合 A={(x,y)|x +y =1},B={(x,y)|x=1},则 A∩B 子集的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 2 2 分析: 找出圆 x +y =1 与直线 x=1 的交点个数,即可确定出交集子集的个数.
2 2

解答: 解:联立得:



解得:x=1,y=0, ∴A∩B={(1,0)}, 1 则 A∩B 子集的个数是 2 =2, 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 4. (5 分)问题:①某地区 10000 名中小学生,其中高中生 2000 名,初中生 4500 名,小学 生 3500 名,现从中抽取容量为 200 的样本;②从 1002 件同一生产线生产的产品中抽取 20 件 产品进行质量检查.方法:Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法.其中问题与方 法配对较适宜的是() A.①Ⅰ,②Ⅱ B.①Ⅲ,②Ⅰ C.①Ⅱ,②Ⅲ D.①Ⅲ,②Ⅱ 考点: 收集数据的方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样和系统抽样的定义即可得到结论 解答: 解:对于①因为地区 10000 名中小学生,分为高中,初中,小学,所以应该采用分 层抽样,故①Ⅱ搭配, 对于②,从 1002 件同一生产线生产的产品中抽取 20 件产品,应该根据系统抽样法,故②Ⅲ 搭配. 故选:C 点评: 本题主要考查抽样方法的判断,比较基础 5. (5 分)命题 p:“存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”,则命题 p 的否定是() x0 A.存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) <1 x0 B. 存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1 x C. 任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) <1 x D.任意 x∈[1,+∞) ,都有(log23) ≥1 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题,写出命题 p 的否定即可. x0 解答: 解:∵命题 p:“存在 x0∈[1,+∞) ,使得(log23) ≥1”, x0 ∴命题 p 的否定是:“¬p:任意 x0∈[1,+∞) ,都有(log23) <1”. 故选:C. 点评: 本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题,是基础题目. 6. (5 分)要得到 A.向左平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度 的图象,只需将 y=2sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度
x0

考点: 两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先根据两角和与差的公式将 平移从而可得到答案. 解答: 解: 根据左加右减的原则,要得到 只需将 y=2sin2x 的图象向右平移 个单位. =2( 化简, 再根据左加右减的原则进行

sin2x﹣ cos2x)=2sin(2x﹣ 的图象,

) ,

故选:D. 点评: 本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角函数的图象平移,三角函数图象平移时, 一定要遵循左加右减上加下减的原则,同时注意提取系数. 7. (5 分)已知等差数列{an}中,a1=1,an=70(n≥3) .若{an}公差为某一自然数,则 n 的所有 可能取值为() A.3,23,69 B.4,24,70 C.4,23,70 D.3,24,70 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 等差数列{an}中,a1=1,an=70(n≥3) ,可得(n﹣1)d=69=1×69=3×23,即可求出 n 的所有可能取值. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1=1,an=70(n≥3) , ∴an=1+(n﹣1)d=70, ∴(n﹣1)d=69=1×69=3×23, ∵n≥3, ∴n﹣1=3 或 23 或 69, ∴n=4,24,70, 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.

8. (5 分)设 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=x +y 的最小值为()

2

2

A.

B.11

C.

D.13

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义进行求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图,z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的 平方, 由图象知 OA 或 OB 的距离最小,



,解得

,即 A(2,3) ,

则|OA|=

=

, ,

圆心到直线 x+y﹣5=0 的距离 d= 则 d<|OA|, 故 z 的最小值为 d = 故选:C
2



点评: 本题主要考查线性规划的应用以及两点间的距离公式的应用,利用数形结合是解决 本题的关键. 9. (5 分)已知矩形 ABCD 中,AB=2BC=2,现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 P,则满足 的概率是() A. B. C. D.

考点: 平面向量数量积的运算;几何概型. 专题: 平面向量及应用;概率与统计. 分析: 先明确是一个几何概型中的面积类型,然后分别求得阴影部分的面积和矩形的面积, 再用概率公式求两者的比值即为所求的概率 解答: 解:满足 即“∠APB≥90°”,

试验的全部结果构成的区域即为矩形 ABCD, 构成事件 A 的区域为直径为 2 的半圆(图中阴影部分) 故所求的概率 P(A)= 故选:A. ;

点评: 本题主要考查几何概型中的面积类型,基本方法是:分别求得构成事件 A 的区域面 积和试验的全部结果所构成的区域面积,两者求比值,即为概率,还考查了定积分的应用在几 何上的应用(求封闭图形的面积) .

10. (5 分)设函数

,若关于 x 的方程 af (x)﹣f(x)=0 恰有三个

2

不同的实数解,则实数 a 的取值范围为() A.(0,1] B.[1,+∞) C.[0,1] 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合;函数的性质及应用.

D.(1,+∞)

分析: 结合方程 af (x)﹣f(x)=0 恰有三个不同的实数解,将问题转化为函数图象交点 的个数判断问题,进而结合函数 f(x)的图象即可获得解答. 解答: 解:由题意可知:函数 f(x)的图象如下: 由关于 x 的方程 af (x)﹣f(x)=0 恰有三个不同的实数解, 其中 f(x)=0,即 x=1 是其中一个解, 则方程 =f(x)恰有 2 个不同的实数解, 即函数 y= 与函数 y=f(x)的图象恰有 2 个不同的交点. 由图象易知: ∈(0,1], 实数 a 的取值范围为[1,+∞) , 故选 B.
2

2

点评: 此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题.在解答的过程当中充分体现了 问题转化的思想、数形结合的思想.值得同学们体会反思. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置) 11. (5 分)函数 的定义域是( , ].

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得可得 特殊点求得 x 的范围. 解答: 解:根据函数 ,可得 ≥1= , ≥1= ,再利用对数函数的单调性和

∴0<3x﹣4≤ ,求得 <x≤ ,故函数的定义域为( , ]. 故答案为: .

点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题. 12. (5 分) 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体所有棱长的取值集合为 ;

考点: 由三视图还原实物图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 观察几何体的三视图,还原为几何体,然后根据空间线段关系求棱长. 解答: 解:由题意,此三视图对应的几何体如图 过 E 作 EF⊥BC,由已知可得 EF⊥平面 ABCD,并且 AB=EF=2,BF=FC=1,所以 CE=BE= ,连接 AF,则 DE=AE= ,

所以该几何体所有棱长的取值集合为 故答案为: .



点评: 本题考查了由几何体的三视图还原为几何体,考查了学生的空间想象能力以及空间 线段长度的求法.

13. (5 分)已知实数 m,n 满足 m?n>0,m+n=﹣1,则

的最大值为﹣4.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: 利用实数 m,n 满足 m?n>0,m+n=﹣1,可得 (2+ + )≤﹣4,即可求出 的最大值. =﹣(﹣m﹣n) ( + )=﹣

解答: 解:∵实数 m,n 满足 m?n>0,m+n=﹣1, ∴ =﹣(﹣m﹣n) ( + )=﹣(2+ + )≤﹣4, 的最大值为﹣4.

当且仅当 m=n=﹣ 时取等号,即

故答案为:﹣4. 点评: 熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键. 14. (5 分)运行如图的程序框图,若输出的 y 随着输入的 x 的增大而减小,则 a 的取值范围 是[ ) ;

考点: 选择结构. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,可得其功能是分段函数 y= 数 a 的范围 解答: 解:由程序框图,可得其功能是求函数 y= ∵输出的 y 随着输入的 x 的增大而减小即输出的函数 y 单调递减, ∴ , 的值, 单调递减,求参

解可得, 故答案为:

, .

点评: 本题考查了选择结构的程序框图,解题的关键是分段函数单调性的应用. 15. (5 分)如图所示,在确定的四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD. (1)若 AB⊥CD,则截面 EFGH 与侧面 ABC 垂直; (2)当截面四边形 EFGH 面积取得最大值时,E 为 AD 中点; (3)截面四边形 EFGH 的周长有最小值; (4)若 AB⊥CD,AC⊥BD,则在四面体内存在一点 P 到四面体 ABCD 六条棱的中点的距 离相等.上述说法正确的是(2) (4) .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 对四个命题分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解: (1)若 AB⊥CD,则 FG⊥EH,截面 EFGH 与侧面 ABC 不一定垂直; (2) ∵AB∥平面 EFGH, 平面 ABC∩平面 EFGH=GF, ∴AB∥GF. 同理证 EH∥AB, ∴GF∥EH, 同理证 EF∥GH.故四边形 EFGH 平行四边形.设 AF:AC=n,则 FC:AC=1﹣n,又设 AB 与 CD 所成角 θ,则有∠FGH=θ(或 π﹣θ) .∴SEFGH=GF?GH?sin∠FGH=(1﹣n) AB?nCDsin∠FGH=n(1﹣n)AB?CDsin∠FGH 而 AB?CDsin∠FGH 定值,故 n(1﹣n)取最 大值时 SEFGH 最大,当且仅当 n=1﹣n,即 n= 时取得大值.故当 E、F、G、H 分别各边点时 四边形 EFGH 面积最大.故正确; (3)由(2)知, , ,∴ ,∴AB=CD 时,周长为 2(FG+EF)=2AB

为定值,故不正确; (4)若 AB⊥CD,AC⊥BD,则 EFGH 为矩形,∴在四面体内存在一点 P 即矩形对角线的交 点到四面体 ABCD 六条棱的中点的距离相等.正确. 故答案为: (2) (4) . 点评: 本题考查四面体,考查面积、周长的求解,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题. 三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求函数 y=f(x)+g(x)的单调递减区间; (Ⅱ) 在△ ABC 中, A 为锐角, 且角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 求△ ABC 面积的最大值. 考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: f(x)解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简,整理得到结果,g(x)利 用二倍角的余弦函数公式化简得到结果, (Ⅰ)根据 y=f(x)+g(x) ,确定出 y 与 x 解析式,利用正弦函数的单调性确定出 y 的单调 递减区间即可; (Ⅱ)由 f(A)的值,确定出 sinA 的值,进而求出 cosA 的值,利用余弦定理列出关系式, 把 cosA 与 a 的值代入,并利用基本不等式求出 bc 的最大值,即可确定出面积的最大值. , , .

解答: 解:f(x)=sinxcos (Ⅰ)y=f(x)+g(x)= 令 2kπ+ ≤x﹣ ≤2kπ+

+cosxsin

﹣cosxcos

+sinxsin )+1,

=

sinx,g(x)=1﹣cosx,

sinx﹣cosx+1=2sin(x﹣ (k∈Z) ,得 2kπ+

≤x≤2kπ+ ,2kπ+

(k∈Z) ](k∈Z) ;

则 y=f(x)+g(x)的单调递减区间是[2kπ+ (Ⅱ)∵f(A)= ∴sinA= , sinA= ,

又∵A 为锐角, ∴cosA= , 又∵a= ∴cosA= ∴b +c =5+ bc≥2bc, ∴bc≤ ,当且仅当 b=c= 时,bc 取得最大值, .
2 2

, = = ,

∴△ABC 的面积最大值为 bcsinA=

点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的正弦、余弦函数公式,正弦函数的单调性,以 及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17. (12 分)为了解甲、乙两校 2015 届高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两学 校中分别随机抽取 30 名 2015 届高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶 图如图所示:

(Ⅰ)若乙校 2015 届高三年级每位学生被抽取的概率为 0.15,求乙校 2015 届高三年级学生 总人数; (Ⅱ)根据茎叶图,分析甲、乙两校 2015 届高三年级学生在这次联考中地理成绩; (Ⅲ)从样本中甲、乙两校 2015 届高三年级学生地理成绩不及格(低于 60 分为不及格)的 学生中随机抽取 2 人,求至少抽到一名乙校学生的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: ( I)利用等可能事件的概率,直接 2015 届高三年级学生总数. ( II)利用茎叶图甲校有 22 位,乙校有 22 位,判断成绩的平均数较大,方差较小.得到结 果. (III)甲校有 4 位同学成绩不及格,分别记为:1、2、3、4;乙校有 2 位同学成绩不及格,分 别记为:5、6.列出从两校不及格的同学中随机抽取两人的所有基本事件.乙校包含至少有一 名学生成绩不及格的事件为 A,列出 A 包含 9 个基本事件,然后求解概率. 解答: 解: ( I)因为每位同学被抽取的概率均为 0.15,则 2015 届高三年级学生总数 …(3 分) ( I I)由茎叶图可知甲校有 22 位同学分布在 60 至 80 之间,乙校也有 22 位同学分布在 70 至 80 之间,乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大,方差较小.所以,乙校 学生的成绩较好.…(7 分) (III)由茎叶图可知,甲校有 4 位同学成绩不及格,分别记为:1、2、3、4;乙校有 2 位同 学成绩不及格,分别记为:5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能: (1,2) 、 (13) 、 (1,4) 、 (1,5) 、 (1,6) 、 (2,3) 、 (2,4) 、 (2,5) 、 (2,6) 、 (3,4) 、 (3,5) 、 (3, 6) 、 (4,5) 、 (4,6) 、 (5,6) ,总共有 15 个基本事件.其中,乙校包含至少有一名学生成绩 不及格的事件为 A,则 A 包含 9 个基本事件,如下: (1,5) 、 (1,6) 、 (2,5) 、 (2,6) 、 (3, 5) 、 (3,6) 、 (4,5) 、 (4,6) 、 (5,6) .…(10 分) 所以, …(12 分)

点评: 本题考查茎叶图的应用,古典概型的概率的求法,考查计算能力. 18. (12 分)如图,在四棱锥 A﹣BCED 中,△ ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,M 为棱 EA 的中点,CE=2BD. (Ⅰ)求证:DM∥平面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 BDM⊥平面 ECA.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 AC 中点 N,连接 MN,BN 证明 MNBD 为平行四边形,得到 DM∥BN, 然后证明 DM∥面 ABC. (Ⅱ)证明 BN 丄 AC,BD 丄 AC,推出 AC 丄面 BDMN,然后证明面 ECA 丄面 BDM. 解答: 证明: (Ⅰ)取 AC 中点 N,连接 MN,BN,

由于 M、N 分别是 AE、AC 的中点,∴MN

EC,又 BD

EC,

∴MN BD,从而 MNBD 为平行四边形, ∴DM∥BN,又 DM?面 ABC,BN?面 ABC; 所以 DM∥面 ABC;…(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)及△ ABC 为等边三角形,∴BN 丄 AC, 又 BD 丄面 ABC∴BD 丄 AC,BN∩BD=B, 从而 AC⊥面 BDN,即 AC 丄面 BDMN, 而 AC 在平面 AEC 内,∴面 EAC⊥上面 BDMN,即面 ECA 丄面 BDM.…(12 分)

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定定理的证明,直线与平面平行的判定定理的证明. 19. (13 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 (Ⅰ)求 a1、a2 的值,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明: . ,n∈N .
*

考点: 数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)求出数列的前两项,推出 公差的等差数列.然后求解 an=2n﹣1,n∈N . (2)利用裂项法求出数列的和,即可证明结果. 解答: 解: (1)当 n=1 时, 同理求得 a2=3, .…(2 分) 由 知 ,n≥2 时, ,则 ,即 ,即 ,所以 ,又 an>0 易 是以 1 为首项 1 ,又 a1>0,则 a1=1.
*

,得到

是以 1 为首项 1 为

为公差的等差数列. 所以 ,代入 得 an=2n﹣1,n∈N .…(6 分)
*

(2)由(1)知 an=2n﹣1, 所以 = ,…(9 分)

则 所以 .…(13 分)

=



点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,数列的通项公式的求法,数列求和的方法,考 查计算能力. 20. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣ +ax,a∈R. (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行,求 a 值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)在其定义域内的单调性; (Ⅲ) 定义: 若函数 h (x) 在区间 D 上任意 x1, x2 都有
2



则称函数 h(x)是区间 D 上的凹函数.设函数 g(x)=x f′(x) ,a>0,其中 f′(x)是 f(x) 的导函数.根据上述定义,判断函数 g(x)是否为其定义域内的凹函数,并说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、 最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ) 求出函数的导数, 通过 f (x) 在 x=1 处切线与 x 轴平行列出关系式即可求出 a. (Ⅱ)求出函数的导数,通过①当 a≥0 时,②当 a<0 时,判断导函数的符号,得到函数的 单调性. 2 (Ⅲ)推出 g(x)=ax +x+1(a>0) ,x∈(0,+∞) ,通过凹函数的定义证明即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题意 ,从而 a=﹣2…(4 分) (Ⅱ)由 (x>0) ; 又 f(x)在 x=1 处切线与 x 轴平行

①当 a≥0 时,f'(x)>0 恒成立,此时 f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增…(6 分) 2 2 ②当 a<0 时,令 f'(x)>0 得:ax +x+1>0,而方程 ax +x+1=0 有二根, ,且 x1>0>x2, 从而 f (x)在 (0,x1)上递增, (x1, +∞)上递减,…(8 分) 综上,a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上递增;a<0 时,f(x)在(0,x1)上递增, (x1,+∞) 上递减…(9 分) 2 (Ⅲ)由题意 g(x)=ax +x+1(a>0) ,x∈(0,+∞)…10 分 令任意 x1,x2∈(0,+∞)则 ,



所以



=

…(12 分)

也即





故 g(x)是其定义域内的凹函数…. (13 分) 点评: 本题考查函数的导数的应用,切线方程以及函数的单调性,考查分析问题解决问题 的能力.

21. (13 分)设椭圆 E:

=1(a>b>0)过 M(2,2e) ,

两点,其中 e

为椭圆的离心率,O 为坐标原点. (I)求椭圆 E 的方程; (II)过椭圆右焦点 F 的一条直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,若 长. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用已知条件列出方程组求出 a,b,即可求出椭圆的方程. (2)通过 ,得到 ,若直线 l 斜率不存在时,判断是否满足题意;若 |,求弦 AB 的

直线 l 斜率存在时不妨设直线 l 方程为 y=k(x﹣2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线与椭 圆方程,通过韦达定理求出弦长即可.

解答: 解: (1)

;…(6

分) (2)因为 ,得 ,…(7 分)

若直线 l 斜率不存在时,直线 l 方程为 x=2, 此时 A(2, ) ,B(2, )不满足 ,…(8 分)

若直线 l 斜率存在时,不妨设直线 l 方程为 y=k(x﹣2) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2)

联立

又∵



,∴

,…(11 分)

…(13 分) 点评: 本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查分析问题解 决问题的能力.



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